利用一元二次方程根的定义解题

若x1，x2是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的两根，则有ax1^2＋bx1＋c=0，ax2^2＋bx2＋c=0．反之，若ax1^2＋bx1＋c=0，ax2^2＋bx2＋c=0，且x1≠x2，则x1，x2是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0的两根。     

解含有二次方程根非对称式问题的方法

对于一元二次方程ax^2＋bc＋c=0（a≠0）的两根x1、x2,可以求出以x1,x2对称的代数式值．如x1^2＋x2^2＋、1/x^1＋1/x^3、x1^3＋x2^3、｜x1-x2｜等,但对于非对称式问题怎样解呢？举例介绍其解法如下：     

妙用方差解题

方差是一个刻划数组x1,x2,…,xn。波动大小的概念,若数组x1,x2,…,xn的平均数为x,则其方差为s^2=[（x1-x^-）^2＋（x^2-x^-）^2＋…（xn-x^-）^2]=1/n[（x1^2＋x2^2＋…xn^2）-nx^-2]     

二次分式函数最值的求法

本文介绍定义域受限时f（x）=（a1x2＋b1x＋c1）/a2x2＋b2x＋c2））a1^2＋a2^2≠0）的二次分式函数最值求法．     

巧求非对称式的值

在一元二次方程似αx^2＋bx＋c=0（α≠0）中，我们对于一些根的对称式，如：x1＋x2，x1x2，x1^2＋x2^2，x1^3＋x2^3，1/x1＋1/x2能熟练地运用根与系数的关系直接求出，但对于一些非对称式，就显得不那么容易了．所谓非对称式，即是把代数式中的两个字母互换后，所得代数式不等于原来的代数式，对于这一类非对称式的求值问题，我们可以归结为以下几种常用的方法．     

一个猜想的证明及推广

文[1]由不等式：若0≤x，y，x1，y1≤1，x＋x1=1，y＋y1=1，则L2=√x^2＋y^2＋√x^2＋y1^2＋√x1^2＋y1^2≤2＋√2（1），猜想不等式：若0≤x，y，z，x1，y1，z1≤1，x＋x1=1，y＋y1=1，z＋z1=1.[第一段]     

又谈不动点法求数列的通项公式

文[1]利用函数f（x）的“不动点”巧妙地求出了形如an=aan-1＋b/can-1＋d（c≠0,ad≠bc）,及an=aan-1^2＋b/2aan-1＋c（a,b,c均不为0）的数列通项公式,读后深受启发,经过研究,笔者发现利用函数f（x）的“不动点”还可解决对于初始值a0≠f（a0）,a1≠f（a1）（其中f（x）=x^2-q/2x-2p）递推关系形如an＋1=anan-1-q/an＋an-1-2p（p,q∈R）的通项公式．     

一个不等式的推广

文[1]给出了一个试题：设x、y、z为正数，且xyz=1，求证： 1/（2x＋1）^3＋1/（2y＋1）^3＋1/（2z＋1）^3≥1/9.…（1） 本文给出它的一个推广.     

根与系数关系作用大

在一元二次方程似ax2^＋bx＋c=O（0≠0）中,若两根为x1 、x2,则X1＋X2=-b/a,x1＊x2=c/a.     

选择公式求方差

1．基本公式 s^2=1/n[（x1-x^-）^2＋（x2-x^-）^2＋…＋（xn-x^-）^2] 例1已知一组数据10,8,9,x,5的众数是8,那么这组数据的方差是——．     

两根之差公式的解题功能

若一元二次方程ax^2＋bx＋c=0的两根为x1，x2，则二次函数y=ax^2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴的两交点间的距离为两根差的绝对值：｜x2-x1｜=√（x1＋x2）^2-4x1x2=√b^2-4ac/a,利用这个公式可以很方便地解决与此有关的较棘手的一些问题．     

例析善用方法巧解数学题提高思维能力

一、巧用方差解方程组 设n个数据x1,x2,…,xn的平均数为^-x,则其方差为s^2=1/n[（x1-^-x）^2＋（x2-^-x）^2＋…＋（xn-^-x）^2]=1/n[（x^21＋x^22＋…＋x^2n）-1/n（x1＋x2＋…＋xn）^2].     

帮你巧算方差

我们已经知道,方差是反映一组数据波动大小的基本量．其计算公式是s^2=1/n[（x1-x）^2＋（x2-x）^2＋…＋（xn-x）^2]。方差越大,数据的波动越大;     

用运动的观点分析两条二次曲线相切的问题

1具体问题 案例1圆（x＋2）^2＋y^2=4与抛物线y^2=4x相切于原点．由这两个方程消去Y后得x^2＋8x=0,根的判别式△=64≠0．     

解题研究三例

题目1 10名运动员参加乒乓球比赛,其中每两名恰巧比赛一场．在比赛过程中,第1名胜x1局、负y1局,第2名胜x2局、负y2局,……,第10名胜x10局、负y10局,试比较x1^2＋x2^2＋…＋x10^2与y1^2＋y2^12…＋y10^2的大小．     

一类方程组的求解方法及其应用

早在上个世纪八十年代初，笔者就在文献[1]中看到过形如 ｛1/x＋1/y＋z=1/a,（1） 1/y＋1/x＋z=1/b,（2） 1/z＋1/x＋y=1/c,（3） （abc≠0，且a＋b-c≠0，b＋c-a≠0，c＋a-b≠0）的方程组，可惜该书没有提供这道题的参考答案，当时笔者也未能求解出结果，然而，事隔十几年之后，在2000年的理科综合的压卷题求解过程中，又碰到了这种方程组，但同样地，参考答案也仅给出最后结果，     

一类不等式的推广与应用

文[1]给出了不等式x1^2＋y1＋x2^2/y^2≥（x1＋x2）^2/y1＋y2,其中：xi∈R,y1∈R^＋,i=1,2当且仅当x1/y1=x2/y2时,式中等号成立。     

一道自主招生试题的简证及推广

2010年浙江大学自主招生试题,题目如下： 有小于1的正数x1,x2,．．．,xn．且x1＋x2＋…＋xn=1,求证：1/x1-x1^2＋1/x2-x2^2＋…＋1/xn-xn^2〉4.     

新课程中的数学创新题初探

运算模型 例1设[x]表示不超过x的最大整数（如[2]=2,[5/4]=1）．对于给定的n∈N^＊,定义Cn^x=n（n-1）…（n-[x]＋1）/x（x-1）…（x-[x]＋1）,x∈[1,＋∞],则C8^3/2=_.当x∈[2,3）时,函数C8^x的值域是_．     

圆方程一般式的妙用

圆的一般式方程XC：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0（D2＋E2-4F〉0）．当点P（x0,Y0）不在圆C上时,x0^2＋y0^2＋Dxo＋Ey0＋F≠0,该数值有何几何意义呢？