两圆外切的若干性质及其应用

人教版九年义务教育初中几何第三册p .14 4页有这样一道例题 :已知 :如图 1,⊙O1 和⊙O2 外切于点A ,BC是⊙O1 和⊙O2 的公切线 ,B、C为切点 .求证 :AB⊥AC .图 1解题过程不难理解 ,关键在于作出两圆的内公切线 ,下面简证如下 :证明 :过点A作⊙O1 和⊙O2 的内公切线交BC于点O ,因为OB、OA是⊙O1 的切线 ,所以OB =OA .同理OC =OA ,所以OB =OC =OA .即OA =12 BC ,所以AB⊥AC .这个例题的基本特点是△ABC构成了直角三角形 ,我们不妨称△ABC为切点三角形 ,容易证明切点三角形具有如下性质 :( 1)切点三角形是以两圆的公共点…     

一道填空题引发的思考

<正>题目:△ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,已知→OH=m(→OA+→OB+→OC),则实数m=.分析:作为填空题,要求m的值,可以考虑△ABC为直角三角形这一特殊情形(如图1).显然→OH=→OB,→OA+→OC=0,故→OB=→OA+→OB+→OC,即m=1.再对△ABC为其他特殊情形(等边三角形、顶角为30°的等腰三角形等)进行验证,由此可以推断在一般情形下亦有m=1.     

由向量关系式判断三角形形状

一、由向量运算性质来判断例1在ΔABC中,有AB→.BC→ AB→2=0,则△ABC为____三角形.分析:AB→.BC→ AB→2=0(?)AB→·(BC→ AB→)=0(?)AB→·AC→=0(?)AB⊥AC,则△ABC为直角三角形.例2已知0为△ABC所在的平面内一点,且满足(OB→-OC→)·(OB→ OC→-2OA→)=0,判断△ABC的形状.     

数学奥林匹克问题

本期问题初 1 4 3　凸四边形ABCD的四边都与⊙O相切 ,且各边长分别为a、b、c、d .求证 :OA·OC OB·OD =abcd .(黄全福　安徽省怀宁县江镇中学 ,2 4 6 1 4 2 )初 1 4 4　已知ABCD是正方形 ,P是边BC上的一点 ,直线DP交AB的延长线于点Q .若DP2 -BP2 =BP·BQ ,试求∠CDP的度数 (答案不能用反三角函数表示 ) .(吴伟朝　广州大学数学与信息科学学院 ,51 0 4 0 5)高 1 4 3　设△ABC的垂心H位于形内 ,O为△ABC的外心 .若OH⊥OA ,则π4 <∠A <π3.(阚政平　安徽师范大学附中 ,2 4 1 0 0 1 )高 1 4 4　已知a、b、c为正实数 .证…     

向量视角下的三角形“四心”

三角形有外心、内心、重心、垂心,在平面几何中研究过三角形的“四心”的作法,在解析几何中可以利用方程的思想方法求三角形的“四心”,这两种方法,前者侧重几何特性,后者侧重代数运算.由于向量具有代数和几何的双重属性,以向量为视角,研究三角形的“四心”,可以揭示三角形“四心”与顶点及各心之间的联系.一、“四心”依托顶点,各具特色结论1设O是ABC所在平面内一点,则O为ABC外心的充要条件是|OA|=|OB|=|OC|(即点O到3个顶点距离相等)(OA OB)·AB=(OB OC)·BC=(OC OA)·CA=0(即O为三边垂直平分线的交点).证明如图1,设ABC的三…     

杠杆中的数学(初二、初三)

1．相似三角形与杠杆例1 如图1是一个简易吊车装置,现要吊起重为G=200N的物体,已知OA=7m,OC=3m,DC= 4m,OD=5m,求力F多大? 分析对于杠杆OA,O是支点,F的力臂是OC,G的力臂是OB．由于△DOC∽△OAB, 所以 OD/OA=DC/OB,OB=5．6m．根据杠杆平衡条件,有 F·OC=G·OB, 所以 F≈373N． 2．勾股定理与杠杆     

三角形“四心”向量式的充要条件

2005年高考全国卷1(安徽、河南、河北、海南、山西)文科卷中有这样一道选择题:点O是△ABC所在平面内的一点,满足OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点O是△ABC的()A.三条内角的平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点将已知的向量等式变形:OA·OB=OB·OC     

璀璨欧拉线 精彩高考题(高一、高二、高三)

题△ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,OH=m(OA OB OC),则实数m=.(05年全国高考卷Ⅰ)解如图1所示,O为△ABC外心,H为△ABC垂心.过O点作OMBC,则M为BC的中点.过A、B、C三点分别作对边的平行线,它们的交点设为A'、B'、C',则     

平面向量单元练习

一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若向量a,b满足a=b=1,a⊥b,(2a 3b)⊥(ka-4b),则k为(A)-6(B)6(C)3(D)-32.把函数y=2x-2 3的图像按向量a平移,得到函数y=2x 1-1的图像,则a为(A)(3,-4)(B)(-3,4)(C)(3,4)(D)(-3,-4)3.在四边形ABCD中,AB·BC=0,BC=AD,则四边形ABCD是(A)直角梯形(B)菱形(C)矩形(D)正方形4.已知点O是△ABC所在平面内的一点,且(OB-OC)·(OB OC-2OA)=0,则△ABC为(A)等腰三角形(B)等边三角形(C)直角三角形(D)斜三角形5.已知0≤θ<2π,向量OP1=(c…     

基于OA(向量)+OB(向量)=0的类比联想

<正>我们知道,若OA(向量)+OB(向量)=0,则OA(向量)与OB(向量)互为相反向量.从形上考虑,O是线段AB的中点,线段OA与OB长度相等.这是一维的情形.已知ABC,若OA(向量)+OB(向量)+OC(向量)=0,则O是ABC的重心,且S_(△OAB)=S_(△OBC)=S_(△OCA).这是二维的情形.运用类比联想,对于三维的情形有如下猜想:猜想1已知四面体ABCD,     

巧用公式■=(■+λ■)/(1+λ)妙解向量题

1　定理定理 1　若A、B、C三点共线 (如图 1) ,且AC=λCB ,O为任意一点 ,则有OC =OA+λOB1+λ .证明　∵OC =OA +AC =OA +λCB=OA+λ(OB- OC) ,　　　　图 1∴OC =OA+λOB1+λ .变式　若A、B、C三点共线 ,且AC=mn CB ,O为任意一点 ,则有OC =nOA +mOBn+m .定理 2　若OC =λOA +μOB　 (λ ,μ∈R) ,则A、B、C三点共线的充要条件是λ +μ =1.证明　 (必要性 )如果A、B、C在一直线上 ,则存在一个实数m ,使得AC =mCB ,由定理 1得OC =OA +mOB1+m =11+m OA+m1+m OB .令λ=11+m,μ =m1+m,所以λ+μ =1.(充分性 )如…     

一道IMO预选题的探索

第37届IMO预选题的第16题[1]为:设△ABC是锐角三角形,外接圆圆心为O,半径为R,AO交△BOC所在的圆于另一点A′,BO交△COA所在的圆于另一点B′,CO交△AOB所在的圆于另一点C′.证明:OA′·OB′·OC′≥8R3.①并指出在什么情况下等号成立?由于不等式①即OA′·OB′·OC′≥8OA·OB·     

课本习题与姐妹竞赛题

“如图1,在梯形A BC刀中,若A刀1 BC,AC和BD交于点O,则S么。,。=s。。。。。”这是部编几何第一册第2巧页的第10题。由此题又容易推出:S:·52=士OA厂沐、、::入.OD:i砍150。一a)·一卜OB·OCoin(180。一:才a)=士OA.O Bsin“·从么石去OC·ODsina=S。·S。=S:2。心 下面就应用_L述结论帅来解儿道姐妹竞赛题。 例1已知一凸五边形的面积为S,且相邻三顶点所成的三角形的面积都相等,求相邻三顶点所成三角形的面积。(1990年第一届“希望杯”数学邀请赛初二竞赛备选题)解如右FYI,设对角线A,滩3和摊:且交于O,’·‘S八』‘3””·‘…     

一道赛题的另解及推广

2004全国高中数学联赛第4题:O为ABC内部一点,且有OA+2OB+3OC=0,则ABC的面积与AOC的面积之比为()(A)2(B)23(C)3(D)35原解OA+2OB+3OC=0可变形为(OA+OC)+2(OB+OC)=0.(*)如图1,取AC中点M,BC中点N,则OA+OC=2OM,OB+OC=2ON,代入(*)有2OM+4ON=0,OM=-2ON.∴M、O、N共线,且|OM|=2|ON|,∴S OAM=S OMC=2S ONC.设S ONC=S,则S OAM=S OMC=2S,∴S OAC=4S,S MNC=3S.∵MN为ABC中位线,∴S ABC=4S MNC=12S,∴SS OABACC=142SS=3.现提供另一种解法,并将问题推广到一般情形.另解如图2,分别延长OB到B1,OC到C1…     

集锦

2004年高中联赛向量题的别解及空间推广吴爱龙胡国胜熊全发(江西省丰城中学331100)题目设O点在△ABC内部,且有OA+2 OB+3 OC=0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比为().(A)2(B)23(C)3(D)35文[1]运用三角形的重心性质给出其一简解及推广.本文另辟蹊径给出其另一简解,并由此将其予以空间推广.图1简解如图1,由OA+2 OB+3 OC=0,知12BO=14OA+34OC.因41+43=1,故在线段AC上必存在一点D,使OD=14OA+34OC,且有12BO=OD.进而知点B,O,D三点共线,且BD=3 OD.于是S△ABC=3S△AOC.选C.这里,巧用三点共线的充分条件使问题轻松获解,且易于…     

一道高考题的多角度思考

2005全国卷1理科15题:△ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,OH=m(OA OB OC),实则数m=_.     

05年全国初中数学竞赛试题(初三)

一、选择题 1.如图1,有一块矩形纸片ABCD,A刀一8, 八D=6.将纸片折登,使得八1〕边落在AB边上, 折痕为AE,再将△AED沿DE向右翻折,AE与 仪二的交点为F,则△〔卫F的面积为() 离分别为OA、(沼,且满足 〔处3〔)A 2一_二,,‘,, 一了,则m的位宁丁—· 。.D。 口)一“骂{ L B 一…了” 图1 (A)2.(B)4.(C)6. 2.若M=sx,一8却 9夕2 13(x,y是实数),则M的值一定是( (D)8. 一4x 6, ) (A)正数.(B)负数.(C)零.(D)整数. 3.已知点I是锐角三角形ABC的内心, A,,Bl,C,分别是点I关于边BC,〔姚,月刀的对 称点.若点B在△AIB:C;的外接圆上,则 匕…     

五道竞赛题的统一证明

1.(AIME—10)在ΔABC中,A′、B′和C′分别在BC、CA和AB上,已知AA′、BB′、CC′共点于O,且AO/OA′ BO/OB′ CO/OC′=92.求AO/OA′·BO/OB′·CO/OC′的值。     

利用等腰三角形的一个性质证明一类几何题

性质:如图1,△ABC中,AB=AC,D为BC上任意一点,则AC2-AD2=BD·CD.证明过点A作AO⊥BC,垂足为O.因为AC2=AO2+OC2,AD2=AO2+OD2,所以AC2-AD2=(AO2+OC2)-(AO2+OD2)=OC2-OD2=(OC+OD)(OC-OD)=CD(OC-     

递归数列x_(n 1)=(Cx_n D)/(Ax_n B)的周期性

A‘2 (B一c)‘一D=0称为数列{x·飞的特征方程,根为a,口,△=(B一C)“ 4AD为判别式。据〔1〕、〔2〕列出{x。}为无穷数列的条件: J一。,、B、,~C 1.AD=BC,x,斗一若,通项x。=气 ‘.--一一‘”‘’A,~一八‘’“AB一A 一 午 a 一一 X.(n)2)。 11 .AD年BC夕△=O,通项x。=a(或内(n夕