应用乘法公式求勾股数组

若正整数a、b、c满足a2 b2 =c2 ,我们就称(a,b,c)为一组勾股数 .关于求勾股数组的方法甚多 ,但都比较繁琐 ,且不易掌握 .本文独辟蹊径 ,介绍一种简单而又新颖的方法———应用乘法公式求勾股数组 .1　应用平方差公式的转化变换求勾股数由公式 (a b) (a -b) =a2 -b2 得 :a2 =b2 (a b) (a -b) (1 )令 (a b) (a-b) =n2 ,不妨设n2 =pq(p >q) ,这里 p、q分别为n2 的两个奇因数或偶因数 ,则有 :a b=pa-b =q 解得a =p q2b =p - q2当n为奇数时 ,取 p =n2 ,q =1得n,n2 - 12 ,n2 12 是一组勾股数 ;当n为偶数时 ,取p=n22 ,q= 2 ,得n ,(n2 ) 2 - 1…     

编制勾股数组的四种方法

在自然数范围内,我们把满足方程a~2 b~2=c~2的三个数(a,b,c)称为一组勾股数。如何编制勾股数组呢?下面介绍四种方法。一、任取两个互质数m和n,即(m,n)=1,其中一个是偶数,另一个是奇效,当m>n时,则编制成的勾股数组为(m~2-n~2,2mn,m~2 n~2)(1)公式(1)不是方程a~2 b~2=c~2的一般解,因为不是每一组勾股数a、b、c都能满足公式(1)。例如,公式(1)就没有给出勾股数组(9,12,15)。但是,如果这组勾股数约去公因数,得到的勾股数组(3,4,5)则可由公式(1)在m=2,n=1时直接给出。     

基本勾股数及其性质

不定方程x~2+y~2=z~2的正整数解叫做勾股数,记作(x,y,z),而当(x,y,z)不含有公约数时,则称之为基本勾股数,如(3,4,5),(5,12,13),(8,15,17)等。每一组基本勾股数与自然数相乘,结果仍得勾股数,如由基本勾股数(3,4,5)可以得到(6,8,10),(9,12,15),…以这些勾股数为边的直角三角形都是相似的。含有公约数的勾股数被称为可约勾股数。在研究勾股数的性质时,人们总是着眼于基本勾股数。在包罗一切勾股数的公式一: 中,当a,b同为奇数或同为偶数时,得出是可约     

有相同偶数的三维本原勾服数求解及算法

我们把满足不定方程x^2＋y^2＋z^2=w^2的正整数的解a,b,c,d称之为三维勾股数．当（a,b,C,d）=1时,又叫三维本原勾股数．三个整数a,b,C中必有一个奇数两个偶数^[1],不妨设a为奇数,b,c是偶数．在本原三维勾股数中,出现许多具有两个相同偶数的奇妙解．     

四元勾股数的矩阵构造

我们称不定方程x_1~2+x_2~2+x_3~2=x_4~2的一个正整数解(a,b,c,d)为一组4勾股数。其几何意义是可构造一个三边和体对角线均为正整数的长方体。最基本的四元勾股数是(1,2,2,3),许多四元勾股数可由它产生出来。当基本数组(1,2,2,3)用下面三个矩阵A、B、C中的每一个相乘时,都得出一组四元勾股数。其中     

广义勾股数组之非拉氏形态探索

广义勾股数组除了被拉钦斯基发现(n+1)∶n型之外,近来又发现了一些不具备这一形态的广义勾股数组,这些统称为非拉氏形态的广义勾股数组.1.文中找出了10000以内的所有非拉氏形态的广义勾股数组,共20组;2.利用根的结构形式,探索所有广义勾股数组中,其前后区数字个数之比范围;3.利用PELL方程,找出2n∶n型,3n∶n型非拉氏形态广义勾股数组的通式.     

两邻奇,两邻偶与中间数的勾股关系(初二、初三)

你知道吗?两个相邻的奇数和它们算术平均数的算术根的2倍为一组勾股数;两个相邻的偶数也有同样的性质.     

勾股数的有趣性质

我们知道,满足不定方程x~2 y~2=z~2的正整数组(x,y,z),称为勾股数,在勾股数中最小的一组为(4,3,5,)可记作(x_0,y_0,z_0)。性质一:对任何一组勾股数,必有: x_0整除x(注意x、y可以互换位置的特点),     

奇偶性分析、数字化方法和不变量——存在性问题的解法之一

论证某种对象的存在或不存在,称为存在性问题。简单的奇偶性分析(即分析有关整数的奇偶性),常是解决存在性问题的有力手段之一。作奇偶性分析时,用到的是一些熟知的奇数和偶数的性质,如: 奇数±奇数=偶数;偶数±偶数=偶数;奇数±偶数=奇数;奇数个奇数之和=奇数; 奇数×奇数=奇数;奇数×偶数=偶数。 -1的奇数方为-1;-1的偶次方为1等等。例1 求证:不存在这样的勾股三角形(即三边长都是整数的直角三角形),它的两条直角边长是两个相差为2的质数。     

求勾股数的几种方法

求勾股数的几种方法张永梅能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。即当正整数ａ、ｂ、ｃ适合等式ａ２＋ｂ２＝ｃ２时，就称数组（ａ、ｂ、ｃ）为一组勾组数，勾股数是无限多的。如何求勾股数呢？下面介绍几种方法。解法一：如果指定两个正整数ｍ与ｎ（设ｍ...     

基本勾股数公式的几何证明

(一) 通常把能构成一个直角三角形三边长度的一组正整数,称为勾股数。由勾股定理及其逆定理,求所有勾股数,就是求方程 a~2 b~2=c~2 ①的全休正整数解。我国最早的算经之一《周髀算经》中就有一组勾股数的记载:“勾广三、股修四、径隅五”。即数组3、4、5是方程①的一个解。显然,对任何正整数m,数组3m、4m、5m也是①的解。一般地,如果a、b、c是一     

“勾股数组”初探

我们学习初二几何时,知道能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,被称为勾股数或勾股弦数,也可称之为商高数或毕达哥拉斯数．我们能举出许多常见的勾股数组,如3,4,5；5,12,13以及由他们的整数倍所产生的6,8,10；10,24,26等等．前者三个数之间无公约数,是互质的,我们称其为基本勾股数组．基本勾股数组有无穷多组,有没有一个能够求出所有勾股数组的公式呢？     

对两道小学数学题解的评析

例1从1~9这9张牌中任取4张,这4个数所组成的和或是奇数或是偶数,哪种可能性更大?这是苏教版数学六年级奥数读本第92页练习十二中的第12题。在该书224页给出了这样的"参考答案":"因为这9个数非奇即偶(共有五奇四偶),从选出的4个数组成的和来看,如果是奇数,只有这样两种可能:(1)奇+偶+偶+偶,(2)奇+奇+奇+偶;如果是偶数,就有三种可能:(1)偶+偶+奇+奇,(2)偶+偶+偶+偶,(3)奇+奇+奇+奇。由此看出,组成的和是偶数的可能性大。"     

求勾股数的方法

设x、y、z是三个正整数,如果x~2+y~2=z~2,(1)则它们称做勾股数,也称毕达哥拉斯三元数组(Pythagorean Triples).当x,y,z满足(1)时,x或y必为偶数,否则有z~2=x~2+y~2≡2(mod4),这是不可能的. 如果勾股数x,y,z互素,就说是本原     

勾股数杂谈

如果一个直角三角形的三边长正好都是正整数,那么这三个正整数叫做勾股数(也叫勾股数组).一般地,如果正整数a、b、c能满足a~2 b~2=c~2,则它们叫做勾股数.按我国古代的叫法,如果勾股数的关系为a相似文献   

勾股数杂谈

如果一个直角三角形的三边长正好都是正整数,那么这三个正整数叫做勾股数(也叫勾股数组).一般地,如果正整数a、b、c能满足a2 b2=c2,则它们叫做勾股数.按我国古代的叫法,如果勾股数的关系为a＜b＜c,则a叫勾数,6叫股数,c叫弦数.……     

勾股数的基本组及其性质

本文给出勾股数基本组的某些性质,并由此得出排列勾股数基本组的一个方法。定义1 如果正整数a,b,c能满足不定方程 a~2+b~2=c~2,(1)则它们叫一组勾股数,用[a,b,c]表示。定义2 如果[a,b,c]为一勾股数组,且(a,b)=1,则[a,b,c]叫一个勾股数的基本组;全体勾股数的基本组用集合A表示。     

如何设计滑轮组

(一)求出滑轮组绳子股数n设计滑轮组是比较难以掌握的一种题型,为了帮助大家掌握好这类题型,现归纳出解答设计滑轮组的对照表.二)确定所滑轮组个及绳子始方位(1)动滑轮N动=n/2(n为偶数)(n-1)/2(n为奇数 )(2)定滑轮N定=N动(n为偶数端力向下)(n为奇数端力向上 )N动+1(n为奇数端力向下)N动-1(n为偶数端力向上 )(3)绳子始端固定方位:(偶定、奇动),n为偶数,绳子始端在定滑轮钩上;n为奇数则连在动滑轮钩上。三)组装滑轮组:在完成(一)求出,(二)确定的基础上,绳子由里至外一圈地绕置即可。[例1]用某滑轮组提升重G=300牛的货物,已知每股绳子只…     

勾股数组知多少?

我们知道,满足a~2 b~2=c~2的自然数a、b、c称为勾股弦数组.那么,以21为勾数或股数的勾股弦数组共有多少组呢?本文就给出解决这类问题的一般方法. 定理 若x~2可分解为x~2=a_1b_1=a_2b_2=…a_nb_n,其中a_i与b_i(a_i>b_i∈N,i=1、2、…、n)的奇偶性相同的所有因数组只有这n组,则以自然数x为勾数或股数的所有勾股弦数组只有以下n组     

根据奇偶性分类枚举

[题目]能否找到两个自然数A和B,使A2=2006 B2。[分析与解]解这道题,可先将A、B按奇偶性进行分类,然后再分别判断。(1)A、B的奇偶性不同。如果A是奇数、B是偶数,那么A2是奇数,B2是偶数,2006 B2的和是偶数,这与A2=2006 B2相矛盾;如果A是偶数,B是奇数,那么A2是偶数,B2是奇数,2006 B2的和是奇数,这与A2=2006 B2相矛盾。(2)A、B同为奇数。如果A、B均为奇数,那么A除以2余1,A2除以4余1,B除以2余1,B2除以4余1,2006 B2除以4