集合问题常见数学思想探析

<正>集合是高中数学的基本知识,为历年必考内容之一,数学思想是数学的精髓和灵魂,解决集合问题也离不开解题思想和解题方法。我们经常运用的几种数学思想主要有补集思想、化归转化思想、分类讨论思想、数形结合思想、方程思想等。一、补集思想例1向50名学生调查对A、B两事件的态度,有如下结果:赞成A的人数是全体的35,其余的不赞成,赞成B的比赞成A的     

文氏图与集合题

文氏图就是用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法,它直观地表现集合之间的关系,可以帮助我们破解问题.例1某班有50名学生报参加两项比赛,参加A项的学生有30人,参加B项的学生有33人,且A、B项都不参加的学生比A、B项都参加的学生的三分之一多一人,则只参加A项的学生有     

概率求解的技巧

概率知识与现实生活息息相关,因此,概率问题越来越受到命题者的青睐,并且概率问题具有一定的难度,学生学习及运用中会产生许多困惑,为了让学生能正确地理解并掌握概率,提高求解概率问题的技巧,需做好以下2个方面的工作.1正确转译分解概率事件,挖掘巧用数学思想方法1.1正确转译和分解事件较多学生在求解概率题时,不知道从何处下手,用什么样的公式,怎样来列表达算式.出现这样的情况,是因为这些学生不会把概率问题转译成数学语言,不会把一个复杂事件分解为若干个互相排斥或相互独立,既不重复也不遗漏的简单事件,这一点正是求解概率的关键,也是考察学生分析问题、解决问题的能力的重要环节.由于事件是借助集合运算来实现的,如果事件不能准确地翻译成集合语言,那么解答概率问题的正确性可想而知了,因此事件与集合语言之间的互译就成为本章教学的另一个重点和难点.例1若A,B,C是3个事件,试用集合表示下列各事件:①A发生而B与C都不发生;②A与B都发生而C不发生;③A,B,C都发生;④A,B,C中恰有1个发生;⑤A,B,C中恰有2个发生;⑥A,B,C中至少发生1个;⑦A,B,C都不发生;⑧A,B,C不同时发生;⑨A,B,C中不多于1个发生.分析各事件...     

“单值对应”例谈

例1某班有学生50人，教室共有50个座位，每个学生坐一个座位，问这些学生组成的集合A到50个座位组成的集合B的对应是否为单值对应?学生人数为45人，55人的情况又如何?     

第十一届美国数学竞赛试题及解答

第11届美国数学竞赛于1982年5月4日举行。下面是这届竞赛的试题及我们所拟的一份解答。限于水平,不妥之处,祈请读者指正。 1.一次集会有1982个人参加,其中任意的四个人中至少有一个人认识其余的三个人。问在这次集会上,认识全体到会者的人至少有多少位? 解我们证明认识全体到会者的人至少有1979名。换句话说,至多有三个人不认识全体到会者。采用反证法。假设至少有四个人不认识全体到会者。A为其中之一,A不认识B。这时,除A、B两人外,还有C不认识全体到会者。假如C不认识D,并且D不是A、B,那么在A、B、C、D这四个人中,每一个都不全认识其余的三个人,与已知矛盾。因此C不认识的人一定是A或B。这时,除A、B、C、三个人外,还有D不认识全体到会者。根据刚才对C的同样的推理,D所不认识的人一定是A、     

概率与统计(1)

_.选择题, 1.某学校有高中学生1200人,其中高一、高二、高三各年级的学生人数分别为 450、400、350。采用分层次抽样的方法抽取一个容量为72的样本,那么高一、高二、 高三各年级抽取的人数依次为(’)。‘ A.26,24,22 B.27,24,ZIC‘27,23,22 D.26,24,21‘ J .2.设A、”是随机事件,兮瓦0相似文献   

要去掉两个“6分钟”

一、从集合的角度认识互斥事件、对立事件和独立事件1 .A、B事件互斥 ,即A发生则B必不发生 ,即不可能同时发生 ,但可以同时不发生(如图甲 ) .计算公式 :P(A +B) =P(A) +P(B)2 .A ,B事件对立 ,即A发生则B必不发生 ,即不可能同时发生 ,但必有一个不发生(如图乙 ) .计算公式 :P(A) +P(B) =1 .3.A ,B事件独立 ,即A发生则B可能发生也可能不发生 ,可能同时发生 ,也可能同时不发生 (如图丙 ) .计算公式 :P(AB) =P(A)P(B)二、各事件之间的关系1 .等可能事件不一定是互斥 ,互斥事件也不一定是等可能事件 .2 .对立事件是互斥事件 ,但互斥…     

用集合的分划指导解题

设π ={Ai|i∈k}是集合A的某些非空子集的集合 .如果集合A的每一个元素在且只在其中之一Ai中 ,即如果(1 )Ai∩Aj= ,当i≠j时 ;(2 )∪i∈kAi=A ,则称集合π是集合A的一个分划 .每个Ai 称为这个分划的一个分划块 .图 1中 ,集合π ={S1,S2 ,S3,S4 }就是集合A的一个分划 ,S1,S2 ,S3,S4 都是这个分划的一个分划块 .用集合的分划可以指导我们将如下一类数学问题化归为一次方程组问题 ,解方程组即可完成对原问题的求解 .例 1　一次数学竞赛 ,仅有A、B两题 ,参赛学生1 5人 .不能解出A题的有 5人 ,仅能解出A题的有 8人 .两题都能解出的有几…     

2007年高考数学模拟试卷(二)

第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.1.集合A={x|x2-4=0},B={x|ax-2=0},若A∪B=A,则实数a的值为()A.1B.-1C.-1或1D.-1或0,或12.函数y=log21(x2-1)的定义域是()A.[-2,-1)∪(1,2]B.(-2,-1)∪(1,2)C.[-2,-1)∪(1,2]D.(-2,-1)∪(1,2)3.函数f(x)=x|x a| b是奇函数的充要条件是()A.ab=0B.a b=0C.a=bD.a2 b2=04.5名身高互不相等的学生站成一排照像,要求从中间向两边身高依次降低,共有站法()A.10种B.8种C.6种D.以上都不对5.等差数列{an}的前n项和为Sn…     

第三届“学用杯”全国数学知识应用竞赛

高一年级初赛试题(本卷满分 1 50分 ,考试时间 1 2 0分钟 )　　一、填空题 (每小题 5分 ,共 40分 )1 报纸由河南安阳市运送到河北的黄骅市 .两地相距S千米 ,汽车匀速行驶 ,最大速度为c千米 /小时 ,已知汽车每小时的运输成本 (以元为单位 )由可变部分和固定部分组成 ,可变部分与速度v(千米 /小时 )的平方成正比 ,比例系数为a ,固定部分为b元 .全程运输成本 y(元 )关于v(千米 /小时 )的函数为　　 .2 课程改革后 ,向 1 0 0名老师调查对新旧版本的态度 ,有如下结果 :赞成旧版本的人数是全体的五分之二 ,其余的不赞成 ,赞成新版本的比赞成旧…     

品味一道江苏竞赛数学题

2014年全国高中数学联赛江苏赛区预赛试题中有这样一道填空题:设集合S={1,2,…,8},A、B是S的两个非空子集,且A中最大的数小于B中最小的数,这样的集合对(A,B)的个数是____.这道题目以集合为背景,题意简单明了,犹如一盏香茗,清新淡雅却又令人回味无穷.1.解法赏析解析1:先确定A中的最大元素,再确定A、B中的其余元素.利用特值法探求思路,设A中的最大元     

巧用概率解排列组合应用题

新教材增加了概率知识 ,我们知道计算概率的基础是排列组合数 ,但反过来知道某事件的概率又可求解一类排列组合应用题 ,拙文略举几例以资说明 .例 1　 6名学生站成一排 ,其中某甲不站在排头 ,也不站在排尾 ,共有多少种站法 ?解　把 6名学生站成一排这件事看作一次随机试验 ,则该试验所含基本事件的总数n= P66,设事件 A为“某甲不站在排头 ,也不站在排尾”,事件 B为“某甲站在排头”,事件C为“某甲站在排尾”,则由于 6名学生站在排头的可能性相同 ,站在排尾的可能性也相同 ,可得 P(B) =P(C) =16 ,而P(A) =P(B C) =1- P(B C) =1-[P(B)…     

初一数学(有理数意义)练习题

一、填空题(每空3分共48分)1.将下列各数,填人相应的集合内一7,一0 .01,0,2217’0.5 ,_、6一(一3)一二 7..…’} .,…} ……} ……}一卜引.!一41正数集合{负数集合{整数集合{负分数集合{2.数轴是规定了3一二的相反数是 34.若、二}一21,则、=B.符号不同的两个数,称它们互为相反数;C.一个数的相反数的相反数是这个数本身;D.绝对值等于它本身的数只有正数。4.若x簇。,日、二m,则。是()八_爪灯OR_矶》OC‘爪=0 Dm)O5.若lx一生 _Zl=生,如 直线。,它的绝对值是A一%二0C.二=O或x=1B.%二1D.以上都不对6.一个数的相反数的倒数是2李,则这个数是 …     

挑战2020年公务员考试题

例1.已知甲、乙两个学校的在校生人数之比为5∶3,甲学校如果转入30名学生,再将85名学生转到乙学校,则两个学校在校生人数相同。此时乙学校学生人数在以下哪个范围内?(2020年北京公务员考试《行政职业能力测验》)A.不到200人B.在200~240人之间C.在241~280人之间D.超过280人。     

集合解题八项注意(高一)

解集合问题时,若对集合的基本概念理解不透彻,或思考不全面,常常致错,为此,本文对集合解题时提出“八项”注意,希望引起同学们的重视. 1.注意集合中元素的互异性集合中任何两个元素都是不同的,相同元素归入同一集合时只能算作一个元素,因此集合中元素是没有重复的,忽视互异性会引出错解. 例1 A={1,2,3,a},B={3,a~2},A∪B =A,求实数a的值.     

2005年高考数学模拟试题（四）

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={x｜(x-1)(x+1)(x-2)=0},集合N={y｜x2=y,x∈M},则M∩N是()(A){1,2,3}(B){1,4}(C){1}(D)Φ2.某校为了调查高三年级2000名学生的数学学习情况,按下列两种方式抽样:①从全体学生中用抽签法抽取200人;②按理化、理生、政史等各种组合每种随机抽取各种组合人数的110(假设各种组合的学生数均为10的倍数),这两种抽样方式分别为()(A)①为随机抽样,②为分层抽样(B)①为随机抽样,②为系统抽样(C)①为分层抽样,②为随机抽样(D)①为…     

从一道高考题谈集合的几类计数问题

2006年全国高考数学(Ⅰ)第12题:设集合 I={1,2,3,4,5},选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最小的数大于 A 中最大的数,则不同的选择方法共有A.50种 B.49种 C.48种 D.47种解:当 B={5}时,有2~4-1=15种;当 B 中最小数为4时,有2×(2~3-1)=14种;当 B 中最小数为3时,有2~2×(2~2-1)=12种;当 B 中最小数为2时,有2~3=8种.∴共有49种,选 B.推广:设集合 I={a_1,a_2,a_3,…,a_n},选择I的两个非空子集 A 和 B,使 B 中最小的数大于 A 中最大的数,则不同的选择方法有多少种(a_1相似文献   

试析一个谬误

文(1)中有这样一个结论:奇函数如果存在反函数,其反函数也是奇函数,但偶函数一定不存在反函数.笔者认为偶函数一定不存在反函数是一个错误结论.从映射的概念可以知道,函数实际上就是集合A到集合 B 的映射,其中 A、B 都是非空的数的集合.对于自变量 x 在定义域 A 内的任何一个值。在集合 B 中都有唯一的函数值 y 和它对应;自变量的值相当于原象,和它对     

注意集合运算盲点

集合概念与运算是高中代数的重要内容之一,集合运算题经常出现在高考模拟试卷与综合练习卷中.由于集合概念抽象,学生理解困难,在运算中存在着一些盲点,解题时稍有不慎,就会导致解题错误.下面列举数例,进行分类剖析,研究解决对策,供解题及教学时参考.1误解集合意义 例1已知集合A二1列y二了,a>0且a护1},B‘{y{y=l嵘,b>0且b并1},则集合A门B中的元素个数() (A)为0个;(B)至少有1个; (C)至多有1个;(D)恰好2个. 解:从集合意义知A、B两个集合是函数值域. 则A=ly}y>叫,B二{y{y任R}, 所以AnB二{川y>。}.选B. 例2已知x、y任R,尸=}二}尹二一二 拒…     

集合中何时分类讨论

1.当集合可能为空集时,需要分类讨论如果忽视了一些集合可能为空集的情况,就很容易出错.如在A∩B =(?),A∩B=A,A∪B=B,A(?)B,A (?)B中,都隐含着A可能为空集的情况.