浅谈用数学归纳法证明数学竞赛题

数学归纳法是一种常用的证题方法,在数学竞赛中不仅随处可见,而且所用技巧较高,形式也更加灵活多样。 1.一般情况下,关于n=k或n≤k时的假设,结论往往只有一个。但对于有些较特殊的问题,需要在归纳假设中作出几个结论,才能一次完成命题的证明。     

一个数学竞赛题的推广和背景剖析

近期,有学生向笔者请教两道老题：（1）已知实数a、b、c互不相同,满足a＋1/b=b＋1/c=c＋1/a=k,试求k的值.（2）（2003年全国初中数学联合竞赛试题）已知实数a、b、c、d互不相同,满足a＋1/b=b＋1/c=c＋1/d=d＋1/a=k,试求k的值[1].很显然,题（1）和题（2）是同一类型的两个问题,两题的做法也极为相似.笔者用如下方法给学生做了解答.     

两圆相交为背景的数学竞赛题

近年来,以两圆相交为背景的试题在各类数学竞赛中频频出现,为方便读者研究,本文列举出两圆相交的有关性质,并举例进行解析．     

对一道我国数学竞赛题的探究

题目:一个凸十一边形,它由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠、无间隙地拼成,求此凸十一边形各个内角的大小,并画出一个这样的凸十一边形的草图。这是87年全国部分省市数学通讯赛的最后一题,认真思考一番,不难得到答案。解答:因为凸十一边形是由正三角形和正方形拼成的,所以各内角的大小只可能是60°、90°、120°、150°,设这四个角的个数分别为x、y、z、w,则 (2)式化简得:2x 3y 4z 5w=54 (3) (1)×5-(3)得:3x 2y z=1。因x、y、z都是非负整数,所以x=y=0,z=1,再代入(1)得w=10。这说明,所求凸十一边形一个内角是120°,它由两个正三角形的内角拼成;其余十个内角都是150°,是由一个正三角形的内角和一个正     

例析以正方形为背景的数学竞赛题

正方形作为一种简单而优美的图形,既反映了特殊四边形的所有特征,又能与图形变换等重要的几何方法有机地融为一体．因此,近年来以正方形为背景的试题在各级各类数学竞赛中屡屡现身．本文采撷几例作分类解析．     

一道竞赛题的背景

1 试题及其解答1998年全国初中数学竞赛试题第12题是:设抛物线y=x~2 (2a 1)z 2a 5/4的图象与 x 轴只有一个交点.(1)求 a 的值;(2)求 a~(18) 323a~(-6)的值.今给出与已发表的解答不同的、虽不是最简捷但较为自然的解法如下:由题设可推得     

雪花与数学竞赛题

仔细观察雪花,你会发现它并非呈一个简单的六角星形,用放大镜去看,形状如图1。 1906年,数学家科克提出了如何构造能够描述雪花的曲线——科克曲线:     

谈一道数学竞赛题

合肥市1983年高中数学竞赛的第4题是“设在△ABC中有cosA/(sinB)+cosB/(sinA)=2,证明△ABC是一个直角三角形。”从表面上看,此题似乎很平常,大概只要和差化积、积化和差,几步就可得出结论,其实不然,它还是有一定的深度和难度的。这不是一道陈题,但却是由课本上的一道练习题脱胎而成的。统编高中数学课本第一册,第168页有一道题“在△ABC中,求证:     

一道数学竞赛题的启示

一、问题如图(1),△ABC 的∠A=45°,∠B=30° D在AB上,直线DE将△ABC分成面积相等的两块(注:这图可能不确切;E也许是在CB上,而不是在AC上)。则比AD/AB是( )。 (A)1/2~(1/2); (B)2/(2+2~(1/2)); (C)1/3~(1/2); (D)1/6~(1/3); (E)1/(12)~(1/4)。(第38届美国中学数学竞赛试题第30题)。     

一道数学竞赛题的解法

2006年全国初中数学竞赛预赛暨2005年山东省初中数学竞赛刚刚结束，其中第13题是这样的：     

一个数学竞赛题的推广

有一个数学竞赛题是:设0≤a,b,c≤1,     

一道数学竞赛题的推广

1987年上海市中学生数学竞赛中有这样一道试题:[1] 正七边形A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7,内接于单位圆⊙O中,P在OA_1的延长线上,且|OP|=2,则|PA_1|·|PA_2|…|PA_7|等于多少? 下面我们把这道富于思考性的试题推广成: 定理设正n边形A_1A_2A_3…A_n内接于圆x~2+y~2=R~2,P(rcosθ,rsinθ)为平面上任意一点,则|PA_2|·|PA_2|·…·|PA_n|=(r~(2n)-2r~nR~ncosnθ+R~(2n))~(1/2)。     

巧解数学竞赛题

<正>学生在平时的解题过程中,如果能有意识地注意数学解题技巧的积累与培养,无疑对提高解题能力是十分有益的.现结合实例将一些解题的技巧介绍如下.一、巧观察就是要学生善于观察题目的结构特点,要从全局把握,从细微处入手.例1 一列数71,72,73,…,72001,其中末位数是3的有___个.分析这是一个数字规律性的问题,关键是我们通过观察发现7n的末位数的变化规律.全解经观察不难发现7n的末位数以4为周期,按7,9,3,1     

国外数学竞赛题集锦

〔代数〕 1.(第16届全俄数学竞赛)试求这样的常数‘,使函数 “x,二a rc,g一;宗 tg〔一八一x)〕二‘g〔一‘92一ar·‘g;一土2多飞一4X-=一Zx。于是tgf(x)=tg〔一f(一x)〕。在区间 解(一告,奋,上是奇函数·设所求的常数:存在,使厂(x)在又f‘x),一f‘一x)均在(一号所以厂(x)=一八一x).即厂(x)为奇函数.冬)i一41了(一)上是奇函数,则f(0)=a retgZ ‘=0.于是‘为唯一可能的值是一arCtg2. 2.(第3届拉丁美洲数学竞赛)a,b,c,d,P,叮为自然数,且适合 一一1一bd 下面我们证明,在区间(一音上,函数 “x,=a rc“圣诺釜一ar·‘92 L__;a、P、cU“一U‘…     

一道奥林匹克数学竞赛题

在匈牙利举行的第六届国际数学教育会议上,我与一位澳洲友人谈及他们刚主办了的第廿九届国际奥林匹克数学竞赛,他说其中一道题目貌虽简单,却连大学里好些数论专家也没能马上解答,反是参赛学子解得该题者大不乏人,可云后生可畏!我既非“后生”,又非数论专家,自是属于没能马上解答的一群了。不过,在往复探索的过程中,除了亲尝那份从未知到理解的乐趣以外,我还觉得这段过程有点教育意义,拿来谈谈,或可引起同行们的兴味。     

萨温数学竞赛题选

1．有一百个7写成一行．现在允许其中某些数字之间插入“ ”号或“-”号，那么你能使运算结果等于当年的公元数(如2004、2005…)吗?     

一道数学竞赛题的推广

一九八七年全国初中数学联赛第一试选择题第2小题: 在一条直线上已知四个不同的点,依次是A、B、C、D,那么到A、B、C、D的距离之和最小的点。 (A)可以是直线AD外的某一点; (B)只是B点或C点; (C)只是线段AD的中点; (D)有无数多个点。推广一:设A_1、A_2、…,A_n(n∈N)依次为直线l上的n个点,求点P使P到A_1、A_2,…,A_n的距离之和最小,即 PA_1 PA_2 … PA_n最小。分析:要确定P点的位置,分两步考虑:第一,P点在直线l上,还是在直线l外?第二,P点若在直线l上,则应在什么位置?很容易证明:P点一定在l上,否则,假设P