奥赛中“奇偶性问题”解法例析

奇偶数有许多性质，常用的有：①相邻的两个自然数总是一奇一偶；②两个偶数的和或差都是偶数，两个奇数的和或差都是偶数，一个奇数和一个偶数的和或差都是奇数；③两个奇数的乘积是奇数，一个奇数和一个偶数的乘积是偶数。灵活运用奇偶数的这些性质，可以轻松地解决奥赛中的许多问题。例１任意取出连续的２００２个自然数，它们的总和是奇数还是偶数？分析与解：２００２个连续自然数中，不管第一个自然数是奇数还是偶数，其中必有２００２÷２＝１００１个奇数，１００１个偶数，根据奇偶数性质，１００１个奇数的和是奇数，１００１个偶…     

趣题两道

同学们，请到数学乐园走一走。借以下两道趣题与大家共享新年的快乐。①１＋２＋３＋４＋……＋２００２＋２００３的和是奇数还是偶数？因任意个偶数相加的和是偶数，奇数个奇数相加的和是奇数，偶数个奇数相加的和是偶数，而２００２÷２＋１＝１００２（奇数的个数）所以１＋２＋３＋４＋……＋２００２＋２００３的和是偶数。②在３３３３……３ ４×３３３３……３ ３的乘积中，有多少个数是２００３个数位２００３个３偶数？解法一：因为４×３＝１２，积中有１个偶数；３４×３３＝１１２２，积中有２个偶数；３３４×３…     

奇偶性分析、数字化方法和不变量——存在性问题的解法之一

论证某种对象的存在或不存在,称为存在性问题。简单的奇偶性分析(即分析有关整数的奇偶性),常是解决存在性问题的有力手段之一。作奇偶性分析时,用到的是一些熟知的奇数和偶数的性质,如: 奇数±奇数=偶数;偶数±偶数=偶数;奇数±偶数=奇数;奇数个奇数之和=奇数; 奇数×奇数=奇数;奇数×偶数=偶数。 -1的奇数方为-1;-1的偶次方为1等等。例1 求证:不存在这样的勾股三角形(即三边长都是整数的直角三角形),它的两条直角边长是两个相差为2的质数。     

大于2的偶数能用一组或多组两个素数之和来表示

要证明大于2的偶数能用一组或多组两个素数之和来表示,须先证明大于2的偶数能用两个奇数之和来表示。 证明如下:大于2的偶数都是2的倍数,而2=1 1是两个最小奇数之和,即2能用两个最小奇数之和来表示,所以大于2的偶数也     

奇偶分析及简单的两色问题

整数可以分为奇数和偶数两大类,凡能被2整除的整数叫做偶数,被2除余1的整数叫奇数.通常用2k 表示偶数,用2k 1(或2k-1)表示奇数,这里 k 为整数.奇数与偶数有下面一些常用性质:(1)奇数≠偶数;两个连续整数中必有一个奇数一     

利用奇偶性解题

奇数和偶数是整数知识的两个基本概念.它们有许多有趣的性质：如： 偶数±偶数 奇数±奇数 奇数×偶数 =偶数 偶数×偶数 偶数个奇数和 奇数±偶数 奇数×奇数 =奇数 奇数个奇数和这些性质看起来简单,我们灵活运用这些性质,可以解决许多实际问题.例1 有五个都不超过13的正整数的和是37,它们的积是18480,问这五个数分别是多少?分析：这五个数一定都是18480的因数.因为18480=24×3×5×7×11,所以这五个数一定是1、2、3、5、7、11中一个数或几个数的公倍数.     

一道竞赛题的简单解法

题目 把1，2，…，2004这2004个正整数随意放置在一个圆周上，统计所有相邻3个数的奇偶性得知，3个数全是奇数的有600组，恰有2个数是奇数的有500组．问：恰有1个奇数的有几组？全部不是奇数的有几组？[第一段]     

奇数与偶数

整数按奇偶性分为两部分,其中能被2整除的整数称为偶数,通常表示为2k的形式,不能被2整除的整数称为奇数,通常表示成2k±1的形式,其中k为整数,注意:0是偶数。奇数与偶数有以下简单而又重要的性质: 性质1 奇数个奇数之和是奇数;偶数个奇数之和是偶数,偶数之和为偶数。性质2 如果若干个整数的乘积是奇数,那么其中每一个因     

试析多面体的定义

有这样一道竞赛题:“证明不能有这样的多面体存在,它有奇数个面,而它的每一个面都有奇数条边。(1956年北京市数学竞赛题)”其证明如下:“设有一多面体,它的面数F为奇数,各面的边数e_1、e_2、……e_F都是奇数。将各面的边数加在一起,就得到棱数E的2倍:e_1 e_2 … e_F=2E,这是由于每一条棱曾作为两个相邻面的边数两次。但左端是奇数个奇数的和,因而是奇数;而右端是偶数;所以得到矛盾     

“奇数与偶数活动课”教学片段与评析

学完“偶数与奇数”后,我安排了一节数学活动课,目的是让学生进一步探讨奇数与偶数的一些特性,巩固对奇数和偶数的认识,提高探究能力。第一次试教:师:我们已经学习了偶数与奇数,谁能举出一些这样的例子。生(1):偶数有2、4、6、8、10、12……奇数有1、3、5、7、9、11……生(2):偶数还有20、56,128……奇数还有15、21、397……”师:下面请小朋友任意选择一些偶数与奇数,通过加、减、乘的计算,看看你们能从中发现什么。(3分钟后)生(1):我发现在加法中,两个偶数或两个奇数相加都是等于偶数,一奇一偶相加等于奇数。生(2):我发现在减法中,两个偶数…     

从统计数据中看"哥德巴赫猜想"

以两位数、三位数、四位数等为例，综述了各位数的偶数表示为两个质数之和的组合形式的发展趋势．得出了一个偶数，无论以两质数之和，或以两纯奇数之和，或以一个质数与一个纯奇数之和去表示．总是偶数越大表示为两数之和的组合数越发具有多样性的共同的规律．由此提出了对“哥德巴赫猜想”深信不疑的根据．     

“每一个大于2的偶数都是两个素数之和”的一种证明

该文用素因子的个数重新定义素数法和归谬法 ,两个渠道采用两种方法归纳出四个定理和三个推论 ,论证了“大于 2的素数都是奇数”.另外 ,利用奇数的性质论证了“每一个大于 2的偶数都是两个素数之和”.     

竞赛常用知识手册

7奇数和偶数1.若一个整数能被2整除,则这个整数叫偶数;若一个整数被2除余1,则这个整数叫奇数.奇数集合和偶数集合都是以2为模的同余类.2.奇数个奇数的和(或差)是奇数,偶数个奇数的和(或差)是偶数.任意多个偶数的和(或差)为偶数.一个奇数与一个偶数的和(或差)是奇数.两个整数的和与差有相同的奇偶性.3.任意多个奇数的积是奇数.若任意多个整数中至少有一个偶数,则它们的积是偶数.8完全平方数1.若a是整数,则a2叫做a的完全平方数.2.完全平方数的个位数只能是0,1,4,5,6,9.3.奇数的平方的十位数是偶数.4.个位数是5的平方数,其十位数是2,百位数是偶…     

一场无谓的争论

一位老师教完了“能被2整除的数的特征”之后，紧接着给出了偶数和奇数的定义：能被2整除的数叫做偶数；不能被2整除的数叫做奇数。他为了巩固概念，进一步组织变式训练，以冀从正反两个方面来     

萨温数学题选

1．请回答：在自然数中是否任何一个偶数都可以表示为两个加数的和，而且这两个加数都纯由奇数数字所构成呢?     

从统计数据中看“哥德巴赫猜想”

证明哥德巴赫猜想是一个困难的问题。本文以两位数、三位数、四位数等为例，综述了各位数的偶数表示为两个质数之和的组合形式的发展趋势。得出了一个偶数，无论以两质数之和，或以两纯奇数之和，或以一个质数与一个纯奇数之和去表示，总是偶数越大表示为两数之和的组合数越发具有多样性的共同的规律。由此提出了对“哥德巴赫猜想”深信不疑的根据。     

平均数、众数、中位数

说明：众数是重复出现次数最多的数据．确定中位数时，要注意，当个数是奇数时，最中间的一个数据是中位数；当个数是偶数时，则最中间两个数据的平均数叫中位数，这两个概念，不能混为一谈。     

从两个命题的真伪性谈起

在某些数学教学辅导材料中，有下面两个命题：命题1 一个等差数列共有2n十1项，其中奇数项之和为305，偶数项之和为276，试求第n 1项．     

证明哥德巴赫猜想并且系统化——数学的相对论

文章运用函数理论系统化地提出了数学的相对论——相对差与相对和的理论,从而创立了两个偶数性质定理和两个奇数性质定理,并且顺理成章地证明哥德巴赫猜想,可使人们对偶数和奇数产生系统的认识和深刻的理解,并可加固完善数学大厦的理论基础。     

一道复习题的引申

人教初中代数第二册P4 7有这样一道题 :求证 :当n是整数时 ,两个连续奇数的平方差 ( 2n + 1 ) 2 -( 2n - 1 ) 2 是 8的倍数。分析 :利用平方差公式进行因式分解 ,可以证明。证明 :( 2n + 1 ) 2 - ( 2n - 1 ) 2　　 =[( 2n + 1 ) + ( 2n - 1 ) ][( 2n + 1 ) - ( 2n - 1 ) ]　　 =4n× 2　　 =8n本题的条件“连续奇数”具有特殊性 ,如果把“连续奇数”改成“任意奇数”后 ,命题的结论仍然成立。这样命题具有一般性的规律。即有如下命题 :两个任意奇数的平方差是 8的倍数。证明 :设这两个任意奇数是 2a + 1 ,2b + 1 (a ,b为整数 )则 :( 2a + 1…