平均值的几点应用

用算术平均值A=sum from i=1 to n(a_i)/n作代换,可以把a_i(i=1,2,3……n)写成a_i=A+bi(i=1,2,3……n)的形式。若a_i(i=1,2,3……n)成等差,公差为d,则a_i(i=1,2,3……n)可写成……,A-2d、A-d、A、A+d、A+2d、……的形式(n为奇数);或写成……,A-3d/2、A-d/2、A+d/2、A+3d/2,……的形式(n为偶数)。若A=(a+b)/2,则a、A、b成等差,可把a、A、     

广义循环不等式初探

1 广义循环不等式 1954年,美国数学家萨碧洛曾提出猜想:设a_1∈R~+,i=1,2,…,n,n≥3,n∈N,则 sum from i=1 to n(a_i/(a_(i+1)+a_(i+2)))≥n/2 (1)其中,a_(n+1)=a_1,a_(n+2)=a_2,此即著名的循环不等式[1]。此不等式和谐匀称优美,但遗憾的是当n为不小于14的偶数及不小于25时,(1)式不成立,反例见[1]。为使(1)式成立,[2],[3]等文献分别从加强条件和改变结论两方面对(1)式进行校正。本文旨在对(1)式校正并加以推广,主要结果是:     

一个不等式隔离的初等证明、推广与应用

本刊[1]文中将不等式 1/n sum from i=1 to n a_i~n≥multiply from i=1 to n a_i(a_i∈R~+,i=1,2,…,n) 作了如下隔离 1/n sum from i=1 to n a_i~n≥(1/n sum from i=1 to n a_i)~n≥multiply from i=1 to n a_i (1) 但美中不足的是其证明过程中运用了二阶导数和凸函数的有关知识,不宜中学生阅读和接受。为此,本文给出(1)式的一个简捷的初等证明。证明:由算术—几何平均     

关于《一个不等式的推广》问题

胡道煊同志在文[1]中曾绐出了如下的不等式:sum from i=1 to n((a_i~m)/(b_i))≥n~(2-m)·((sum from i=1 to n(a_i))~m/sum from i=1 to n(b_3))。(1)其中a_i、b_i>0,(i=1,2,…,n),且|m|≥1。 此处我们说(1)是一个不恒成立的不等式。例如取n=2,b_1=a_1,b_2=a_2,m=3/2,则有     

构造柯西不等式,用取等号条件解题

我们知道,柯西不等式:a_i,b_i∈R,则sum from i=1 to n a_i~2 sum from i=1 to n b_i~2≥(sum from i=1 to n a_ib_i)~2……(1)当且仅当a_i=kb_i(i=1,2,…,n)不等式等号成立。它可以作如下变形: 由(1)得(sum from i=1 to n a_i~2 sum from i=1 to n b_i~2)~(1/2)≥sum from i=1 to n a_ib_i,添项变为sum from i=1 to n a_i~2 2 (sum from i=1 to n a_i~2 sum from i=1 to n b_i~2)~(1/2) sum from i=1 to n b_i~2≥sum from i=1 to n a_i~2 2sum from i=1 to n a_ib_i sum from i=1 to n b_i~2,或sum from i=1 to n a_i~2-2 (sum from i=1 to n a_i~2 sum from i=1 to n b_i~2)~(1/2) sum from i=1 to n b_i~2≤sum from i=1 to n a_i~2-2 sum from i=1 to n a_i b_i sum from i=1 to n b_i~2,分别配方,并开方转     

一个代数不等式猜想的否定

文献[1]提出如下一个代数不等式猜想:猜想设 a_1>0,i=1,2,…,n,3≤n∈N.证明或否定:f(a)a_1/a_1a_2…a_(n-1) a_2aa_2…a_(n-2) … a_1 1 a_2/a_2a_3…a_2a_3…a_(n-1) … a_2 1 … a_n/a_1…a_(n-2) a_na_1…a_(n-3) … a_n 1≤1.文[1]作者指出:当 n=3时已给出初等证明,当 n≥4时仍为猜想.笔者指出:当 n≥4时,此不等式猜想不成     

第35届IMO试题解答

1.(法国)设m和n是正整数,a_1,a_2,…,a_m是集合{1,2,…,n}中的不同元素,每当a_i a_j≤n,1≤i≤j≤m,就有某个k,1≤k≤m,使得a_i a_j=a_k。求证:(a_1 a_2 … a_m)/m≥(n 1)/2。 证明 不妨设a_1>a_2>…>a_m,关键在于证明,对任意i,当1≤i≤m时,有     

关于一个不等式的隔离及应用

当a_1,a_2,…,a_n为正实数时,有 1/n sum from i=1 to n(a_i~n)≥multiply from i=1 to n(a_i)当且仅当a_1=a_2=…=a_n时取等号。事实上,该不等式可用(sum from i=1 to n(1/n)a_i)~n分隔,即(1/n)sum from i=1 to n(a_i~n)≥((1/n)sum from i=1 to n(a_i))~n≥multiply from i=1 to n(a_i)当且仅当a_1=a_2=…=a_n时取等号。     

杨辉恒等式的推广与三类组合恒等式

杨辉恒等式即现行高中数学教材中所述组合数的第二个基本性质:C_(n-1)~(i-1) C_(n-1)~i=C_n~i(1≤i≤n-1)(1) 我们可以结合等差数列将其推广为定理设a_0,a_1,…,a_n是一个等差数列,则当0≤i≤n时,恒有 a_iC_n~i=a_nC_(n-1)~(i-1) a_0C_(n-1)~i(2) 证明:当i=0或n时,按规定有C_(n-1)~n=0,C_(n-1)~(-1)=0,此时,(2)式显然成立。当1≤i≤n-1时,设等差数列a_0,a_1,…,a_n的公差为d,则a_i=a_0 id (0≤i≤n),于是     

求条件和sum from i=1 to n(a_i/X_i)最小值的一个公式

命题设χ_i,a_i∈R~ (i=,2,3……,n),且sum from i=1 to n(χ_i)=(定值),则当χ_i=m(a_i)~(1/2)/sum from i=1 to n(i=1,2,……,n)时,和sum from i=1 to n(a_i/χ_i)取最小值,其最小值为1/m((sum from i=1 to n(a_i~(1/2)))~2     

一些存在性问题的解法

(本讲适合初中) 首先,我们介绍存在性原理,这是指如下关于实数的命题: 命题1 设有n(n≥2)个实数a_1,a_2,…,a_n,如果a_1 a_2 … a_n=A,则必存在实数a_i,a_j(1≤i,j≤n),使得 a_i≥A/n,a_j≤A/n。     

关于一个代数不等式猜想

文献[1]提出如下一个代数不等式猜想:猜想设 a>0,i=1,2,…,b,3≤n ∈N,证明或否定:f(a)=a/(1 a_1) a_1a_2 …… a_1a_2…a_(n-2) a_1a_2…a_(n-1)     

完善一个不等式链

拙作[1]建立了下述不等式链: multiply from i=1 to n (1+(1/a_i))≥(1+(1/G))~n≥(1+(1/A))~n≥(1+(1/Q))~n。(1) 其中的a均为正数,G、A、Q分别是这n个a的几何平均数、算术平均数和平方平均数。本文则给出不等式 multiply from i=     

1995年中国数学奥林匹克试题解答

一、证明 (i)如果a_1≤b_1,则由递推关系式立知a_i≤b_i,i=2,…,n,结论显然成立。 (ii)如果存在2≤i_0≤n-1,使a_i_0≤b_i_0且a_(i_0 1)≤b_(i_0 1),则当i_0=n-1时,立得结论;而当2≤i_0≤n-2时,由递推关系式亦知,对一切i≥i_0 2,均有a_i≤b_i,从而结论亦成立。     

余弦定理在四面体中的另一种推广及应用

文[1]、[2]给出了三角形余弦定理在四面体中的推广:定理1:如图1,在四面体ABCD中,设顶点A,B,C,D所对面的面积分别为S_1,S_2,S_3,S_4,其中每两面所夹的二面角分别为a_(ij)(i,j=1,2,3,4,i≠j,a_(ij)=a_(ji)),则有S_1~2=S_2~2 S_3~2 S_4~2- 2S_2S_(3cosα23)-2S_3S_(4cosα34)-2S_4S_(2cosα42)(可     

限定条件下Ⅱ_(i=1)~n(x_i 1/(x_i))的最小值

文[1]证明了下述结果:设x_i∈R~ ,i=1,2,……,n,且Ⅱ_(i=1)~nx_i=1,则Ⅱ_(n=1)~n(x_i 1/(x_i))≥(n 1/n)~n (1)文[2]在末尾提出了如下猜想:设x_i∈R~ ,i=1,2,……,n,且Ⅱ_(i=1)~nx_i=k, k≤(2 5~(1/2))~(1/2),则Ⅱ_(i=1)~n(x_i 1/(x_i))≥(k/n n/k)~n (2)文[4]提出以下的改进:     

再谈介于调和平均和算术平均间的平均值链

本文将文[1]中的平均值进一步统一在更加广泛的平均值下,并且给出了新平均值的序关系.一、平均值的推广设a_1,a_2,…,a_n为几个给定的正数,沿用文[1]的记号,和式S_k=∑a_(i1)a_(i2)…a_(ik)表示从a_1,a_2,…,a_n中无序不重复取出k个数作出的所有乘积之和,并规定S_0=1.在文[1]中,我们已经得到以a_1,a_2,…,a_n为边长的n维长方体的k维表面积为2~(n-k)∑a_(i1)a_(i2)…a_(ik)=2~(n-k)S_k①(1≤k≤n)     

等差数列的两个不等量性质

定理1 设{a_n}为一公差为d的等差数列,而a_i、a_j、a_k、a_r为其中的四项(i相似文献   

二分图的正交[0,ki]m1-因子分解

设G是二分图,k1,k2,…,km是正整数.若二分图G的边能划分成m个边不交的[0;k1]-因子F1……,[0,km]-因子Fm,则称F={F1,…,Fm)是二分图G的一个[0,ki]m1-因子分解,又若H是二分圈G的一个有m条边的子图,若对任意的1≤i≤m有|E(H)⌒E(F1|=1,则称F与H是正交的.本文主要研究二分图的正交[0,k1]m1因子分解,并给出一个结果.     

一道IMO预选题的简解

第二十九届国际数学奥林匹克竞赛有一道非常难的预选题: 命题 设a_i>0,β_i>0(1≤n,n>1),且sum from i=1 to n a_i=sum from i=1 to n β_i=π. 证明:sum from i=1 to n cosβ_i/sina_i≤sum from i=1 to n ctga_i　(1) （蒙古提供)