勾股定理的应用

勾股定理是初中数学中重要的定理之一,应用十分广泛.学习勾股定理时,一定要正确理解定理的内容,记清定理成立的条件,区别定理与逆定理,只有这样,才能在解题时恰当地运用.1.已知图形中有直角时,可考虑选用勾股定理例1如图1,在矩形纸片ABCD中,AB=AB CFDEO图1AB PDC图2AB CQP图36,BC=8,将纸片折叠,使得A、C两点重合.求折痕EF的长.解析:连结AC交EF于点O,连结CF.因为A、C两点关于折痕EF对称,所以折痕EF是线段AC的垂直平分线,从而CF=AF.在矩形ABCD中,因为AB=6,BC=8,所以AC=$AB2 BC2=10.所以OA=OC=5.在Rt△CDF中,由勾…     

折纸问题

折纸问题在中考试卷上经常“亮相”,现举例说明其解法.例1(《几何》课本第二开第118页)如图CF1 图B1,折叠长方形的一边AD,点D落在BC边的点F处,已知AB一scm,Bc一10cm,求EC的长. 解设EC为xcm,则DE为(8一x)cm,由图知EF~刀E一(8一x)cm. 又在Rt△ABF中, BF一了AFZ一ABZ一丫1护一8”一6. :。FC一4. 在Rt△EFC中,EcZ+FcZ一EF“,即护十42一(8一x)2,解得x一3.即Ec的长为3 em. 例2(2 000年济南市高中招生试题)如图2,折叠矩形纸片ABCD,先折出折痕(对角线)BD,再折叠,使AD落在对角线BD上,得出折痕上兀子,若八B一2,BC一1,则AG一 …     

中考试卷中折纸问题的解法分析

近年来的中考试题中出现了抗纸问题的几何计算题．由于这类题的题型新颖，条件隐蔽，许多考生感到无从下手．其实，折纸问题就是轴对称问题，折痕所在直线就是对称轴．解题时应充分应用轴对称的性质、勾股定理油似三角形等知识．现以中考题为例，分析折叠问题的解题思路．例1如图1，在矩形ABCH中，AB一6cm，BC—scm，若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF的长为＿cm．（1996年济南市中考题）分析欲求EF的长，必须添加辅助线，构成以EF为一边的直角三角形，为此，过F作FG入AH于G，易知FG一CD一AB—6cm．由勾股定理知BH一10cm…     

匀股定理中的数学思想

数学思想是数学的“灵魂”,总结概括数学思想有利于透彻地理解所学知识,提高独立分析问题和解决问题的能力,现把与勾股定理有关的数学思想总结如下：一、方程思想例1如图1．有一张直角三角形纸片ABC,两直角边AC=5 cm,BC=10cm,将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则CD的长为( )。     

勾股定理热点题型例析

勾股定理及其逆定理在各类考试中高频出现,根据近几年中考中出现的热点题型举几例,以飨读者. 一、折叠问题: 例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,按图中所示方法将△BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的C’点,那么△ADC’的面积是____. 解析:在Rt△ABC中,∠C =90°,BC=6cm,AC=8cm,利用勾股定理计算AB =10cm,由折叠知,DC=DC’,△BCD与△ABD面积比为6∶10,而这两个三角形面积和为三角形ABC的面积为1/2×8×6 =24,因此△BCD的面积为9cm2与△ABD面积为15cm2,由折叠可以得到△ADC’为9cm2,所以,△ADC’的面积是15-9 =6cm2     

如何选用勾股定理及其逆定理

勾股定理及其逆定理是平面几何中的重要定理之一，其应用极其广泛．如何根据已知条件选用勾股定理及其逆定理呢？本文总结几条规律供大家参考．一、已知条件中有直角时，可考虑选用勾股定理．例1如图１，矩形ABCD中，AB＝８，BC＝１０，沿AF折叠矩形ABCD，使点D刚好落在BC边上的E点处，求CF及折痕AF的长．（２００２年泰州市中考试题）解：由折叠关系可知△AEF≌△ADF，故AE＝AD＝１０，EF＝DF．在Rt△ABE中，由勾股定理有AB２＋BE２＝AE２，故８２＋BE２＝１０２，解得BE＝６．∴CE＝BC－BE＝１０－６＝４．在Rt△…     

如何提升初中数学试卷讲评课的效率

正一、试题多解,优化学生的解题思维例1如图,折叠矩形纸片ABCD,先折出折痕(对角线)BD,再折叠,使AD落在对角线BD上,得折痕DG,若AB=2,BC=1求AG。解法1:利用对称性质与勾股定理及三角形相似有关知识。     

“折叠背景下的勾股定理”教学实录与反思

<正>一、教学实录1.合作探究师:在折叠背景下对勾股定理的研究是初中数学中的重点内容之一.今天我们就来研究这类问题.例1(2011年宜宾中考题)如图1所示,在矩形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,求AB的长.师:"折叠纸片使AB边与对角线AC重     

直角三角形中折痕长度的计算

三边长分别是3、4、5的三角形,我们十分熟悉.把这个简单的三角形进行折叠,做一做就会发现许多有趣的结论.下面就结合三角形的相似与勾股定理、直角三角形的面积等探究折叠这个最简单的直角三角形,计算折痕长度的问题,供参考.1经过短直角边上的某一等分点(距离斜边端点较近)计算折痕长度.例1如图1,已知△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4.D是BC的三等分点,且D距离B点较近,沿着过点D的直线折叠图形,使得点C折叠后落在斜边AB上,计算折痕DE的长度.     

例析方程思想在立体几何探索性问题中的应用

立体几何探索性问题是较棘手的问题 ,谨以以下几例浅析如何运用方程思想解决此类问题 .例 1　已知空间四边形 ABCD的各边长分别为 AB =3 ,AC =AD =BC =BD =CD= 2 ,E、F分别是 AB、CD的中点 ,问 :在线段EF上是否存在一点 O,使 O到 A、B、C、D四点的距离相等 ?图 1分析 :易证明 EF是ABCD公垂线段 ,因此问题转化为 EF上是否存在一点O,使得 OA =OC,设 OE =x,由 OA =OC得关于 x的方程 ,考虑方程是否有解即可 .简解 :在 Rt△ AEF中 ,EF =AF 2 -AE2 =(3 ) 2 -(33 ) 2 =32 ,则 OF =32 -x,OA2 =AE2 + OE2 =x2 + (32 ) 2 =…     

轴对称性质在折叠问题中的应用

在近年来各地中考数学试卷中 ,常见到一些折叠问题的试题 ,这类问题实际上是轴对称问题的具体应用 ,因此 ,抓住轴对称性质是解答这类问题的关键。下面举几例加以说明 ,供大家参考。例 1.如图 ,有一张矩形纸片 ABCD,AD =9,AB=12 ,将纸片折叠 ,使 A、C两点重合 ,求折痕 MN的长。解 :由轴对称性质可知 ,折痕MN垂直平分对角线 AC,从而易证 OM=ON,△ A OM∽△ ABC,∴ OM9=12 AC12 =12 × 92 +12 212 =58,∴ OM=4 58,∴ MN=2 OM=4 54 ,即折痕 MN的长为 4 54 。例 2 .如图 ,已知等边△ABC中 ,D为 AC上一点 ,把△ABC折叠 ,使点 …     

借勾股定理解矩形的三种折叠问题

例1 如图1,把一张长为8 cm,宽为4 cm纸片矩形ABCD沿着EF折叠,点C恰好落在点A上,求AF的长, 解:因为四边形ABCD是矩形,AB =4,BC =8, 所以AB =CD =4,BC=AD=8,∠D =90°. 因为四边形AEFG是由四边形ECDF通过以EF为折痕折叠而得, 所以:GF=DF,AG =CD =4,∠G=∠D =90°.     

初二几何单元练习1相似形

一、填空题 1、如果7:9=(3-x):2x,则x=___. 2、己知点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC和BC上,且DE∥BC,EF∥AB,AD:BD=2:3,BC=20cm,则BF=__. 3、如图,△ABC中,DE∥AC,则AB:BD=__. 4、Rt△ABC 中,CD是斜边上的高, AC/BC=2/3,则AD/DB=__.     

不作辅助线求解更简捷

“梯形”练习题中有这样一个问题:已知等腰梯形ABCD,AD//BC,对角AC⊥BD,AD=3cm,BC=7cm,求梯形的面积S.参考书中通常介绍如下三种作辅助线的方法(如图1).然而不作辅助线,是否也能求解呢?答案是肯定的.解法如下:如图2,因为ABCD是等腰梯形,所以AB=DC,∠ABC=∠DCB,又知BC=BC,所以△ABC≌△DCB(SAS),所以∠1=∠2,AC=BD,而AC⊥BD,所以∠1=∠2=45°,故△BOC等腰直角三角形.同理可知△AOD也为等腰直角三角形.由勾股定理得OA=OD=姨22AD=23姨2cm.OB=OC=姨22BC=7姨22cm.所以AC=OA OC=5姨2cm.于是S梯形ABCD=S△ABC S…     

《探索勾股定理》测试题

(时间:60分钟;满分:100分)一、选择厄(每小题5分，共20分)，哦笋︺努男1.直角三角形的斜边比一条直角边长2 cm，另一条直角边长是6 cm，则斜边长为() A.4 em B.8 em C.10em D.12em 2.Rt△A BC的斜边月B的长为10，Ac:Bc=3:4，则这个直角三角形的面积是() A.6 B.8 C.12 D.24 3.如图1，有一个直角三角形纸片ABC，两直角边AC=6，BC=8.现将纸片沿直线AD折叠，使沌C落在斜边月B上，且与AE重合，则刀E的长为() A .2 B.3 C. 4 D.5 4.如图2，Rt△ABC中，乙B二9()。，AD、cE分别是边BC、AB上的中线，月3D=5，cE二ZVIO.贝归C的长…     

一道中考题的多解及变式

2005年淄博市中考数学试题第21题为:如图1,一副三角尺叠放在一起,含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边恰好重合.(1)求∠AEB的度数(2)若含30°角的三角尺的短直角边BD长为a,求两三角尺重叠部分△ABE的面积.解法1(1)由∠DAB=30°及∠BAC=45°知∠CAE=15°,那么∠AEB=∠CAE+∠C=105°.图1图2(2)如图2,过E作EO垂直于AB交AB于O点.由∠CBA=45°知△OEB为等腰直角三角形,则OB=OE.由于BD=a,由∠DAB=30°得AD=2a,由勾股定理得AB=3a.易知△OEA∽△BDA,则BODE=AABO,即BODE=ABA-BOE.所以有OE=AB.BDAB…     

巧用翻折、旋转的“不变性”解题

新课程标准下的初中数学教材,增加了翻折、旋转等贴近生活的内容.此类问题涉及到了“动”———翻折或旋转.解此类问题,我们首先把握好“动”前后图形或图形的部分不变性,从而找到相等的元素,然后,才能正确的解决此类问题.为此,本文举例如下:例1如图1,在长方形ABCD中,AD=10,AB=8,E是CD上一点,若以AE为折痕,将△ADE翻折过来,顶点D恰好与BC边上的点F重合,求△AEF的面积.分析翻折后,△AFE≌△ADE(“动”后的不变性),所以AF=AD=10,∠AFE=∠D=Rt∠,EF=ED.要求△AEF的面积,我们只要求直角边EF即可,在Rt△ABF中,AB=8,AF=10,…     

图形折叠与轴对称

小明解题遇到了困难,来找Z老师“求援”.这是2004年重庆市的一道初中竞赛题:如图1,在□A BCD中,对角线BD=43姨cm,∠ADB=30°,将△BCD沿BD折叠,点C落在点E处,BE与AD交于点H,若AH∶DH=1∶2,则S□ABCD=.小明说:折叠问题常见的图形是矩形或正方形,本题是平行四边形,不知该如何下手?     

利用空间向量轻松求解夹角

一求异面直线的夹角例1如图1,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,AE⊥PD于E,PD与底面成30°角.求异面直线AE与CD所成的角.分析:如图1建立空间坐标系.依题意知A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,2a,0).在Rt△ADE中,∵∠PDA=30°,∴ED=3姨a,作EF⊥AD于F,则EF=3姨2a.在Rt△AEF中,AF=12a,∴E(0,12a,3姨2a).∴cos〈AE,CD〉=AE·CDAECD=2姨4.则异面直线AE与CD所成角的大小为arccos2姨4.点评:本题关键在于求E点坐标,进而求AE的坐标表式以便应用空间向量的夹角…     

谈几何教学中模型思想的运用价值及实施探索

<正>一、存在问题常州市2014-2015学年第一学期九年级期末考试中曾经出现这样一道题:"如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,点D是边BC的中点,点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合),沿DE翻折△DBE使点B落在点F处,连接AF,则线段AF长的最小值是."