第47届IMO预选题(下)

1．有n（n≥2）盏灯L1,L2，…，Ln它们要么开着，要么关着．我们每秒钟按照下列方法同时改变某些灯的开关状态：若前一秒钟Li（i=1，2，…，n）和与其相邻的灯（当i=1或i=n时，仅有一盏灯与其相邻，其他情况有两盏灯与其相邻）处在相同的开关状态，则将Li关上；否则，将Li开着．开始时，只有最左边的一盏灯是开着的．证明：     

第47届IMO预选题(中)

代数部分 1.实数列a0，a1,…定义如下：对于所有非负整数i，ai＋1=[ai]{ai}，其中，a0是任意一个实数，[ai]表示不大于ai的最大整数，{ai}=ai-[ai]．证明：对于足够大的i，有ai=ai＋2．[第一段]     

第46届IMO预选题(中)

数论部分 1．本届1510第1题． 2．本届1510第2题． 3．已知正整数口、b、c、d、e、f满足和S=a＋b＋c＋d＋e＋f     

第45届IMO预选题(中)

1.一所大学有10 001名学生,一些学生一起参加并成立了几个俱乐部（一个学生可以属于不同的俱乐部）,有些俱乐部一起加入并成立了几个社团（一个俱乐部可以属于不同的社团）.已知共有k个社团.假设满足下列条件：     

第46届IMO预选题(下)

组合部分 1．一幢房子有偶数盏灯分布在若干个房间内，每个房间内至少有3盏灯．每盏灯恰和另外一盏灯共用一个开关（不一定是同一个房间中的灯）．每改变一次开关的状态，共用这个开关的两盏灯同时改变它们的开关状态．证明：对于一个初始状态，都存在有限次操作，使得每个房间中的灯既有开着的，又有关着的．     

第42届IMO预选题解答(上)

1．设T表示由非负整数组成的三元数组（p,q,r)所构成的集合．求所有函数f:T→R，     

第50届IMO预选题(三)

几何部分 1.本届IMO第4题. 2.本届IMO第2题. 3.已知ABC的内切圆分别与边AB、AC切于点Z、Y,BY与CZ交于点G,点R、S满足四边形BCYR和四边形BCSZ是平行四边形.证明:GR=GS.     

第50届IMO预选题(四)

数论部分1. 本届IMO第1题. 2.若正整数N满足N=1或N可以写成偶数个质数的乘积(不需要是不同的质数),则称N是"平衡的".给定正整数a、b,定义多项式P(x)=(x+a)(x+b).     

第45届IMO预选题(上)

代数部分1.本届IMO第4题.2.已知无穷实数列a0,a1,a2,…满足条件an=|an 1-an 2|,n≥0,其中a0、a1是两个不同的正数.问这个数列是否有界?3.是否存在一个函数f:Q→{-1,1},使得如果x、y是两个不同的有理数,且满足xy=1或x y∈{0,1},则f(x)f(y)=-1?证明你的结论.4.本届IMO第2题.5.设a     

第46届IMO预选题(上)

代数部分1.求所有次数为2且首项系数为1的整系数多项式P(x),使得存在一个整系数多项式Q(x),满足P(x)Q(x)的所有系数均为±1.2.设R+表示正实数集.求所有的函数f:R+→R+,使得对所有正实数x、y,有f(x)f(y)=2f(x+yf(x)).3.已知实数p、q、r、s满足p+q+r+s=9,p2+q2+r2+s2=21.证明:存在(p,q,r,s)的一个排列(a,b,c,d),使得ab-cd≥2.4.求所有的函数f:R→R,对于所有实数x、y,满足f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+2xy+1.5.本届IMO第3题.几何部分1.已知△ABC满足AB+BC=3AC,I为△ABC的内心,内切圆与边AB、BC的切点分别为D、E.点D、E关于点I的对称点…     

第43届IMO预选题解答(上)

数论部分1.求最小正整数n ,使得x31+x32 +… +x3n=2 0 0 2 2 0 0 2有整数解 . (乌兹别克斯坦提供 )解 :因为 2 0 0 2 ≡4 (mod 9) ,4 3 ≡1(mod 9) ,2 0 0 2=6 6 7× 3+1,所以 ,2 0 0 2 2 0 0 2 ≡4 2 0 0 2 ≡4 (mod 9) .又x3 ≡0 ,± 1(mod 9) ,其中x是整数 ,于是 ,x31,x31+x32 ,x31+x32 +x33 4 (mod 9) .由于 2 0 0 2 =10 3 +10 3 +13 +13 ,则2 0 0 2 2 0 0 2 =2 0 0 2× (2 0 0 2 667) 3=(10× 2 0 0 2 667) 3 +(10× 2 0 0 2 667) 3 +(2 0 0 2 667) 3 +(2 0 0 2 667) 3 .所以 ,n =4 .2 .本届IMO第 4题 . (罗马尼亚提供 )3.设p1,p2 …     

一道IMO预选题的简证

题目如图1，已知□ABCD。一条过点A的动直线l与射线BC、DC分别交于点X、Y，△ABX中〈BAX内的旁心为K，△ADY中〈DAY内的旁心为L．证明：〈KCL为定值．     

第49届IMO预选题（三）

1．本届IMO第1题． 2．已知梯形ABCD满足AB∥CD,在CB的延长线上有一点E,在线段AD上有一点F,使得∠DAE=∠CBF．设直线CD、AB与朋分别交于点I,J,线段EF的中点为K,且K不在直线AB上,证明：点I在△ABK的外接圆上的充分必要条件是点K在△CDJ的外接圆上．     

第48届IMO试题解答

2．设A、B、C、D、E五点中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BCED是圆内接四边形．设l是通过点A的一条直线，l与线段DC交于点F（F是线段DC的内点），且l与直线BC交于点G．若EF=EG=EC，求证：l是∠DAB的平分线．（卢森堡供题）     

第51届IMO预选题(一)

代数部分1.本届IMO第1题.2.已知实数a、b、c、d满足a+b+c+d=6.a~2+b~2+c~2+d~2=12.证明:36≤4(a~3+b~3+c~3+d~3)-(a~4+b~4+c~4+d~4)≤48.3.已知x_1,x_2,…,x_(100)是非负实数,且对于     

第62届IMO预选题(四)

<正>数论部分1.求所有的正整数n,使得存在正整数对(a,b),满足不存在一个素数的立方整除a²+b+3,且ab+3b+8/a²+b+3=n.2.本届IMO第1题.3.求满足下述性质的所有正整数n:存在n的所有正因数的一个排列(d₁,d₂,…d_k),使得对于每个i=1,2,…,k,均有d₁+d₂+…+d_i是一个完全平方数.     

第45届IMO预选题(下)

数论部分1.设τ(n)表示正整数n的正因数的个数.证明:存在无穷多个正整数a,使得方程τ(an)=n没有正整数解n.2.已知从正整数集N 到其自身的函数ψ定义为ψ(n)=∑nk=1(k,n),n∈N ,其中(k,n)表示k和n的最大公因数.(1)证明:对于任意两个互质的正整数m、n,有ψ(mn)=ψ(m)ψ(n);(2)证明:对于每一个a∈N ,方程ψ(x)=ax有一个整数解;(3)求所有的a∈N ,使得方程ψ(x)=ax有唯一的整数解.3.一个从正整数集N 到其自身的函数f满足:对于任意的m、n∈N ,(m2 n)2可以被f2(m) f(n)整除.证明:对于每个n∈N ,有f(n)=n.4.设k是一个大于1的固定的整数,m=4k2-5.…