读者与编者

一道训练题的解答一些读者来信希望提供如下一题的题解(题见本刊编辑部组织编写的《中学数学方法与单元、综合测试训练》第36页),现证明于下: 题:若0<θ<1/2π,证明 2θ相似文献   

对理科(20)题的思考

1999年高考理科(20)题:设复数 z=3cosθ i·2sinθ,求函数 y=θ-argz(0<θ<π/2)的最大值以及对应的θ值.笔者参加了此题的高考阅卷工作,对此题的各种解法,错识情况,能力要求等方面作了一些思考,形成此文.1 试题背景此题是以考查复数为背景,求角的最值.立意是考查     

2.更简洁的解法

题:求函数y=1 Sin2θ (4/sin2θ)(O<θ<(1/2)π)的值域。贵刊1990年第一、六期,1991年第五期分别给出四种解法,这里给出一个更简洁的解法。解:∵sin2θ>0,     

漫谈 x 1/x=2cosθ

六年制重点中学《代数》第二册上,有这样一道题(见P、110练习七第11题):“求证|x 1/x1≥2,x≠0”,这个命题告诉我们这样一个事实:只要x是非零实数,那么|x 1/x|≥2。既然这个命题正确,那么它的逆否命题:“如果|x 1/x|<2,则x不是实数”,也自然就正确了。对于x 1/x=2cosθ来说,显然满足|x 1/x|=2|cosθ|≤2,等号在θ=kπ时成立,因此,只要θ≠kπ,那么x 1/x=2cosθ中的x就一定不是实数了。     

一道高考题的简捷解法

八五年高考理科数学第五题: 设o为复平面的原点,z_1和z_2为复平面内的两个动点。并且满足: (1)z_1和z_2所对应的复数的辐角分别为定值θ和-θ(0<θ<π/2); (2)△Oz_1z_2的面积为定值S。求△Oz_1z_2的重心z所对应的复数的模的最小值。解:在△Oz_1z_2中,中线|OA|≥高|OB|(如图1),     

一个二面角公式的推导与应用

立体几何教材中有这样一道习题:如图1,AB和平面α所成的角为θ₁,AC在平面α内,AC和AB的射影AB′所成的角为θ₂,设∠BAC=θ,则有cosθ₁ cosθ₂=cosθ.将其引申,得如下结论:命题AB和平面所成的角是θ₁,AC在平面α内,AC和AB的射影AB′所成的角为θ₂,设二面角B-AC-B′为ψ,     

一道常见错题的探讨

浙江教育出版社钱孝华、许纪传等编写的《高中数学精编》(解析几何)P.119第54题: 、_、__4。_。。。,。__。设方程ρ=4/2-λcosθ表示椭圆,那么λ的取值范围是 (A)0<λ<1(B)-1<λ<0 (C)0<λ<2(D)2<λ<4 给出的答案是(C),这是不正确的.此题在各类数学书刊和试题中也经常出现,所给答案均是0<λ<2,因此有必要对此作一探讨和更正.     

计算某些复数方幂和的特殊方法

“数学教学通讯”1982年第1期的“关于复数题的分类”一文中,有这样一个例题: “已知x+1/x=1,求x~(14)+1/(x~(14))~n此题可以看成是下面问题的特例:(θ=π/3n=14) “已知,x+1/x=2cosθ.求x~n+(1/x~n)~n一般的解法是由已知条件求出x=cosθ±isinθ,     

小议一道题的错解

北京海淀区教师进修学校主编的《高一代数辅导与练习》第125页(85年第一版)有这样一道题: 已知:sinθ=(|sint|)~(1/2),cosθ=(|cost|)~(1/2)且0≤θ≤π/2,问当实数t取何值时,θ适合     

用三角代换法证明不等式(高一、高二、高三)

题1设x∈(1,2),求证:1/x 1/(2-x)>2.证明设x=2sin2θ(θ∈(π/4,π/2)),则1/x 1(2-x)=1/2csc2θ 1/(2cos2θ)=1/2csc2θ 1/2sec2θ=1/2(1 cot2θ 1 tan2θ)=1/2(2 tan2θ cot2θ)≥1/2(2 2(tan2θcot2θ)~(1/2)(但等号不成立)     

1999年高考理科第(20)题的几何背景

1999年全国高考数学(理科)第(20)题:设复数 z=3cosθ i·2sinθ.求函数 y=θ-argz(0<θ<π/2)的最大值以及对应的θ值.本文将揭示其几何背景,并给出新解法.将问题一般化:设复数 z=acosθ i·bsinθ,a>b>0,θ∈(0,π/2).求函数 y=θ-argz 的最大值及对应θ的值.设复数 z 在复平面上对应点 M(x,y),     

拟柱体体积公式的作用——兼谈对中学数学选学内容的处理意见

今年苏州市中学数学竞赛中有这样一道题:“一个盛满水的半球容器,将它倾斜θ角,使容器内的水恰好倒掉2/3,求证θ<30°。”不少学生     

从一个错误答案谈起

高中数学第二册P.188,习题二十三第9题化极坐标方程为直角坐标方程的(1)小题:ρ=5tgθ在高中数学第二册教学参考书中P.217的答案是x(x~2+y~2)~(1/2)=5y。这是一个错误的答案。对于原题9(1)ρ=5tgθⅰ) 若以-ρ代ρ,同时以π-θ代θ,方程不变,即     

从一道课本习题看三角公式之间的关系

高中数学(人教版)第一册(下)第88页题19:已知sinθ+cosθ=2/3, 求sin2θ的值．现将sinθ+cosθ=2/3两边平方,易得sin2θ=-5/9．顺水推舟,由2sinθcosθ=-5/9两边乘以-1后再加1得(sinθ-cosθ)2=14/9,解方     

代换法在解题中的应用探索

<正>在数学解题中,用代换法通常可以把分散的条件集中起来,或者把条件和结论联系起来,使问题化繁为简。本文将例析代换法在解题中的妙用,仅供参考。1.三角代换例1求函数y=x+(1-x²)2)^(1/2)的值域。解:因为1-x2≥0,所以-1≤x≤1。设x=cosθ,则(1-x(1/2)的值域。解:因为1-x2≥0,所以-1≤x≤1。设x=cosθ,则(1-x²)2)^(1/2)=sinθ(θ∈[0,π]),即     

浅谈利用a cosθ b sinθ =(a~2 b~2)~(1/2)sin(θ φ)解题

本文着重讨论:当θ∈[θ_1,θ_2],且0<θ_2-θ_1<2π,特别是ψ为非特殊值时,f(θ)=a cosθ b sinθ值域的求法及其一般规律。解题的途径是利用a cosθ b sinθ=(a~2 b~2)~(1/2)sin(θ ψ)。     

一个引理与一道CMO题的解

2003年中国数学奥林匹克(CMO)第3题:给定正整数n,求最小的正数λ,使得对任何θi∈(0,(π/2)(i=1,2,…,n),只要tan θ1·tan θ2·...·tan θn=2(n/2),就有cosθ1 cosθ2 ... cosθn不大于λ.     

用几何法巧证三角不等式

有些三角不等式问题蕴含着丰富的几何直观性。此时,可考虑构造直观的几何图形来解决此类问题。例1在锐角三角形中,求证 求证:sin2θ·tgθ/2≤1/2 sinA sinB sinC>cosA cosB cosC 证明:(1)当π/2≤θ<π,θ=0时, 证明:△ABC是锐角三角形,如图1,     

极坐标法证三点共线

本文应用极坐标法对三点共线问题进行归类证明,下列是与证题有关的公式和方程: 1.两点间距离公式:d=(p_1~2+p_2~2-2p_1p_2cos(θ_1θ_2))(1/2)表示两个点与之间的距离。 2.经过P_1(p-1,θ-1)与P_2(p-2,θ_2)两点的直线的斜率公式:(O≤α<π)。 3.三点P_i(p-i,θ_i)(i=1,2,3)共线的充要条件:     

浅析一道题的错误解法

一般数学命题都是由题设和结论两部分组成,人们解题往往只注意利用题目明显条件而忽视题目的隐含条件.这样就易犯错.本文就山东教育出版社出版的高中代数基础训练第一册85页例15的错误解法分析一下: 例15 已知sinθ=|sint|~(1/2),cosθ=|cost|~(1/2),且0≤θ≤π/2.问:当实数t取什么值时,θ适合0≤θ≤π/4? 此题在很多高中数学书上出现,比较典型.它们的解法都是这样的: