关于单形的一个不等式

设P是△A1A2A3内部任一点,延长A1P,A2P,A3P,分别与A2A3,A23A1相交于B1,B2,B3记R1=|A1P|,公则当且仅当P为△A1A2A3重心时等号成立·本文将三角形这一不等式推广到n维欧氏空间中的单形不等式．定理设P是n维欧氏空间产（n≥2）中单形A1A2A3…A（n 1）内部任一点,延长A1P分别与其第i界面的n－1单形相交于记则当且仅当P为单形A1A2…A（n 1）的重心时等号成立．本定理可推出n维空欧氏空间的Child不等式,观奖益武在1997年《数学通报》第11期）．设P是n维欧氏空间En（n≥2）中单形A1A2…A（n 1）;内部任一点,点P到各顶…     

关于三角形内点的一个不等式与推广

本文给出关于三角形内点的一个不等式 .并将它推广到三维空间、n维欧氏空间 .定理　设 P是△ABC形内的任意一点 ,AP,BP,CP分别交对边于点 A′,B′,C′.则有 APAA′· BPBB′· CPCC′≤ 82 7.当且仅当 P为△ABC的重心时 ,(1)式等号成立 .证明　如图 1所示 ,记点 A,P到 BC边的距离分别为 ha,hp,S△ A BC=S,S△ P BC=S1 ,S△ P A C=S2 ,S△ P A B=S3,则 S=S1 S2 S3.图 1∵ PA′AA′=hpha=12 · BC· hp12 · BC· ha=S1 S.∴ APAA′=1-PA′AA′=1- S1 S=S2 S3S .同理可得　 BPBB′=S1 S3S ,CPCC…     

Weisenbck不等式的推广

命题1 设三角形三边长分别为a、b、c,面积为S。则a~n b~n c~n≥2~n·3~((4-n)/4)S~(n/2)(n∈N),当且仅当a=b=c时等号成立。 这个命题是Weisenbck不等式a~2 b~2 c~2≥4 3~(1/2)S的推广形式。 证明:当n=1时,     

一个不等式的推广

文 [1 ]给出了下面一个三角形不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,则13 ≤ a2 +b2 +c2(a +b +c) 2 <12 ,①当且仅当a =b =c时等号成立 .本文将不等式①推广为 :设△ABC的三边长分别为a、b、c .对于任意正整数n ,n >1 ,有13 n - 1≤ an+bn+cn(a +b +c) n<12 n- 1,②当且仅当a =b =c时等号成立 .证明 :根据文 [2 ],有an+bn+cn3 ≥ a +b +c3n,当且仅当a =b =c时等号成立 .由此易知第一个不等式成立 ,取等号的条件也成立 .下面证明第二个不等式 ,这等价于an+bn+cn<12 n - 1(a +b +c) n.③用数学归纳法 .当n =2时 ,由式①知式③成立 .设n …     

第37届IMO预选题及解答(上)

由于①式当且仅当a=b时等号成立,故②式当且仅当a=b时等号成立。同理,③式当且仅当b=c时等号成立,④式当且仅当c=a时等号成立。故原不等式当且仅当a=b=c=1时等号成立。     

破解电学极值题的两个不等式(初三)

以下的两个基本不等式:1.(m+n)2≥4mn(即(m-n)2≥0)2.当m,n>0时,(以上不等式中的等号,当且仅当m=n时成立)     

谈一个不等式的加强与弱化

本刊94年第1期《也谈一个不等式的加强》一文（下称文[1]），用数学归纳法证得如下命题设n∈N,n≥2，则当且仅当n=2时，等号成立．本文用数列不等式对下限不等式作进一步加强，对上限不等式作进一步弱化，得出一系列新的不等式．定理设n∈N,n≥2，则当且仅当n=2时，等号成立．证构造数列{xn}，这里上是增函数．故x_(n l)＜x_n即{x_n}是单调递减数列．当且仅当n=2时，等号成立．构造数列{y_n}，这里故y_(n 1)＞y_n{y_n｝是单调递增数列．即y_(n 1)≥y_n≥y_(n-1)≥…≥y_3≥y_2．n=2时，等号成立．当且仅当n=2时，等号成立．当取b=3/5，或b=…     

巧用贝努利不等式的变式证明三角不等式

贝努利不等式：若x〉-1,n∈N且n≥2,贝4（1＋x）^n≥1＋nx．当且仅当x=0时,等号成立．若在此不等式中,令t=1＋x,就可得变式：若t〉0,n∈N且n≥2,则t^n≥n（t-1）＋1．当且仅当t=1时,等号成立．     

一道课本不等式的推广及应用

高中《代数》(必修)下册P18有如下一道例题: 如果a,b∈R+,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2. 此不等式结构对称和谐,其内涵十分丰富,应用它的推广能简捷巧妙地解决许多数学问题. 一、推广 命题 1 当 a,b∈R+,则a3+b3≥a2b+ab2 等号成立当且仅当a=b. 命题2 若a,b∈R+,m,n∈Z且mn>0,则am+n+bm+n≥ambn+anbm 当且仅当a=b时取“=”号. 由(am+n+bm+n)-(ambn+anbm)=(am-bm)(an-bn)不难得到命题2的证明. 二、应用     

高灵不等式的加强

1981年,高灵得到不等式(1):a′(-a+b+c)+b′(a-b+c)+c′(a+b-c)≥4(3ΔΔ)~(1/2).本文给出一个加强.定理 a,b,c,a′,b′,c′与Δ,Δ′分别表示两个三角形 ABC 和 A′B′C′的边和而积,则a′(-a+b+c)+b′(a-b+c)+c′(a+b-c)≥4(3ΔΔ)~(1/2)+2((ab′)~(1/2)-(a′b)~(1/2))~2等式当且仅当ΔABC 与ΔA′B′C′均为正三角形时成立.应用如下两条引理立得:引理1(2)符号如定理,则     

一个三角不等式的推广

一、引言文[1]建立了如下结论：在任意当且仅当△A_1A_2A_3为正三角形时，（1）式取等号．本文将不等式（1）推广为定理在任意凸n边形A_1A_2…_A_n中当且仅当A_1A_2…A_n是等角n边形时（2）式取等号．二、几个引理引理1凸n边形至多有两个内角不超证明用反证法及n边形外角和定理．引理2当n≥3时，关于x的函数族：分别都是增函数．证明引理3证明：不妨设0＜α≤β≤/4，和差化积．引理4当n≥3时，成立不等式递增知（4）（5）成立；当n=3，4，5，6，7时．经验算知（4），（5）也成立．三、定理的证明据引理1及0＜A_1＜π（i＝1，2，…，n）…     

用基本不等式求物理极值(初二、初三)

将不等式(m-n)2≥0作简单的变形,可得到(1)m2 n2≥2mn; (2)(m n)2≥4mn. 显然,当且仅当m=n时,等号成立. 用上述不等式求极值,比配方法或判别式法更简捷.     

一个不等式的加强

1938年,费恩斯列尔——啥德维格尔提出了如下的不等式: 设ΔABC的三边为a、b、c,面积为Δ,则 a~2+b~2+c~2≥4(3~(1/2))Δ+(a-b)~2+(b-c)~2+(c-a)~2 (1) 其中等号当且仅当a=6=c时成立。 1983年,王玉怀首次把不等     

一个不等式推广问题的研讨

文[1]给出了如下: 定理1设a、b、c为正实数,l、m、n是不全为零的非负实数,则有 2aabcabc++l+m+nl+m+n, (1) 其中表示对a 、b、c的循环和,等号当且仅当abc==或0,0lm=n=时成立. 文[2]将定理1推广为: 定理2 设a、b、c为正实数, l、m、n是不全为零的非负实数,2m,则有 213()mmmaabcabc--++l+m+nl+m+n,(2) 其中表示对a、b、c的循环和,当m>2时,等号当且仅当abc==时成立;当m=2时,等号当且仅当abc==或0,l筸=n0=时成立.. 本文从项数方面入手,将定理2推广为: 定理3 设1,2,,nxxxL为正实数,12,,ll ,nlL是不全为零的非负实数,2m,则有 11122mnnxxxx…     

一个代数不等式的加强与一组几何不等式

肖振纲老师在[1]中以基本不等式x~2 y~2≥2xy为基础，导出了一个简单的代数不等式；设α，β，r,α′，β′皆大于零，而k＞－1，则这是一个应用极为广泛的母不等式，由它可导出许多著名的几何不等式。本文以不等式x~2 y~2≥2xy的加强为基础，导出一个比(1)更强的代数不等式，由此可进一步加强匹多(D．Pedoe)不等式等著名不等式。引理若a，b∈R，0≤x＜1，则a~2 b~2≥2ab x(a-b)~2(2)式中等号当且仅当a=b时成立．定理设A，B＞0，0≤x_2＜1,(i=1,2,…,n)，则对任意两组实数a_1,a_2…an_3b_1,b_2…，b_n，有式中等号当且仅当a_1=A/Bb_i(i=1…     

一道不等式例题的引伸及应用

由一道不等式例题引伸得到降幂不等式 :tn nt- (n - 1)　 (其中t 0 ,n∈N且n 2 ,当且仅当t=1时 ,等号成立 ) ,并举例说明该不等式在证明高次不等式、分式不等式及求最值、解方程组、证明等式问题中的应用     

一个几何定理的高维推广

本文将文[5]中一个几何定理推广到n维欧氏空间E~n中的单形去,得到了n维单形中的一个几何定理,即文中的定理4。     

一个加强不等式的推广

对于高中课本上的不等式笔者在《也谈一个不等式的加强》(见本刊94年第1期)中加强得到:若n∈N,n≥2,则当仅当n=2时等号成立。 本文进一步把加强不等式(2)作指数推广,得到     

用组合知识证明一组不等式

常见如下两个不等式: (I)若x、y、z均为正数,且x y z=1,则题中,等式成立。 现在,我们来证明以上猜想是正确的.(卜幼(l 分(‘ 分》6‘,命题1的证明’.’x‘)o,(i=1,2,n)当且仅当x=y二:=粤时,等号成立. O(I)若x,y皆为正数,且x十y=1, .._倔xl、,弄_.’n一V 11xj i一l(平均值定︸理则(l 韵‘ (1 封’>5”·又’:兄x;二1 1~了l、_. 月吕—岁‘n一 几几xi当且仅当x=y=粤时,等号成立.一一--一一2一‘’一’--一- 观察这两个不等式的右端:64=(3 1)3,50=2(22 1)“.使我们猜想_(I)和(1)能否依次推广为如下一组不等式:由上式及组合知识可知:买炭翔…     

关于一个分析不等式的注记

用初等方法证明了一个与高维NeubergPedoe不等式有关的推广分析不等式:设k、n∈N,μ>0,xi>0,i=1,?n,且=niix1=λ,则当knμ+1时有Ek(mlml--nxx,,1L)kn(nμ)k,等号成立当且仅当x1=?xn=nl.