一类美妙的海伦数组

请看下列三角形: 它们有两个特征: (1) 各边长都是整数; (2) 面积也是整数。这种三角形称为海伦(Heron)三角形。其边长构成的数组,如 (5,5,6),(13,20,21),(25,51,52),(41,104,105),…(*)称为海伦数组。将三角形三边由小到大依次记为a_n、b_n、c_n。△_n表示面积,s_n为半周长,h_n为c_n边上的高,p_n为a_n在c_n边上的射影,q_n为b_n在c_n边上的射影。     

中国的海伦公式

提到海伦公式S_△=(s(s-a)(s-b)(s-c))~(1/2),我们并不陌生。初中代数第四册166页,有关于它的习题:《教学参考书》157页,有关于它的证明。但提到中国的海伦公式——秦九韶公式,由于中学教材没有作介绍,恐怕就没那么熟悉了。秦九韶公式,是我国南宋时期的数学家秦九韶,在他的著作《数书九章》中独立提出来的(距今有740多年)。在这部书中,他详尽地叙述了利用“三斜”(即三边)求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积。”这段文字用现代公式表示,就是 S_△=(1/4[c~2a~2-((c~2+a~2+b~2)/2)~2])~(1/2) 秦九韶公式与海伦公式都是已知三边求三角形的面积,形式各异而实质相同。虽然它较海伦公式提出得晚一些,但却是秦九韶独立发现的,这就十分可贵了。所以人们亲切地称秦九韶公式是“中国的海伦公式”,还把它与海伦公式合并称为“海伦——秦九韶公式”。     

一类海伦数组美妙特征的证明

命题:以公式a.=nZ (” 1).b.=”(”2 艺” 2)e.=(” 1)(”2 ” 1)(1)构成的数沮(a。,b,,〔·,。)是海伦数组,且具有如下特征: (l)半周长S:=(” 1)3:(2)面积△,=”了” 1)2(nZ ” l);(3)e二边上的高h。=2”(” 1);(4)。.在e。上的射影,P二~2” !;b,在e,上的射影叭=价(” 2):(5)a。一h,~1,e,一b,=1.其中”~1,2,‘’‘ 证:而证e.>b.)a.,且a, b,一c,=2”(n l)>。,.’.(a。,久,c.)可作成三角形的三边长标入}冲“(1)(2)丫以(几,证略.△.=J‘(s,一。,)(,一6,)(“万万 ~f:(” l):(护 ,: 1)b.,c.)为边的三角形各边长和面积都是整数,二(a.,b.,c.)是…     

类似于海伦公式的四面体体积公式

平面几何中,有一个叫做海伦——秦九韶的三角形面积公式 S_△=(p(p-a)(p-b)(p-c))~(1/2), 其中a、b、c是三角形三边的长,p是周长的一半。有趣的是,在立体几何中,也有一个与之相类似的四面体体积公式 V四面体=1/3abc··(sinωsin(ω-α)sin(ω-β)sin(ω-γ))~(1/2),①其中a、b、c是共顶点的三条棱的长,α、β、γ是相邻棱组成的面角,ω是这三个面角和的一半。公式①的证明: 设四面体M—ABC中,MA=a,MB=b,MC=c,∠AMB=α,∠BMC=β,∠CMA=γ。作BO⊥平面MAC,垂足为O。作OA′⊥MA,垂足为A′。作OC′⊥MC,垂足为C′。连结BA′、BC′,则BA′⊥MA,     

从海伦公式谈起

设△ABC的三边长分别为、、abc,p= ()/2abc ,△ABC的面积为S,则 ()()()Sppapbpc=---. 这就是著名的海伦公式,它的证明主要应用三角形的面积公式及三角形的余弦定理,简证如下: ∵1sin2SabC=, ∴22224sinSabC=. ∵222cos2abcCab -=, ∴22222224(1())2abcSabab -=- 222222()4abca     

从海伦公式谈起

众所周知 ,每个数学分支的形成 ,都有其深刻的数学背景 ,每个数学结论的给出 ,都有其坚实的数学依据 ,数学公式的产生当然也不例外 .海伦 (Heron)公式公元 1世纪 ,希腊数学家海伦在其所著《度量论》一书中给出一个用三角形三边表达三角形面积的著名公式———海伦公式 :若a、b、c为三角形三边长 ,则该三角形面积为S =p(p-a) (p -b) (p -c) .这里 ,p=12 (a +b +c)表示三角形半周长 .这个公式简洁、对称 ,极具美感 ,深深揭示数学之美、数学之妙[1] .据称《度量论》一书曾一度失传 ,直至1 896年舍内 (R .Sch ne)在土耳其发现了它的手抄本后 ,…     

海伦公式及其应用

海伦公式及其应用兰州通用机器厂中学李铎初中代数第四册复习参考题十五第１７题给出了一个三角形面积公式式中ａ、ｂ、ｃ表示△ＡＢＣ的三边，Ｓ△表示三角形的面积，Ｓ表示三角形的半周长，即。这个公式首先由希腊数学家海伦发现，因此一般叫做海伦公式。我国南宋数学家...     

关于海伦公式的证明

希腊数学家海伦的关于由三角形三边表示面积的著名公式是 K=创S(S一a)(S一乙)(S一c)其中。、“、。是三角形三边的长,“=合(。 “十c)称为半周长. 它的证明方法常见的有以下两种:C凡g三6乙2 e,一a, 2乙口图1(1)由余弦定理知cosA=一心杀S‘S一a,‘“一“’‘“一“,所以1一cosA=     

海伦公式的向量证法

有的初等数学问题如果应用向量代数的方法来处理,无论是其证明方法还是求解过程都较简捷。海伦公式:S_(△ABC)=(p(p-a)(p-b)(p-c))~(1/2),其中p=1/2(a+b+c)。如果采用向量证法,过程也较简单。下面给出证明过程,供大家参考。如图,设△ABC     

海伦公式的多种推导

初中代数课本第四册,P_(166),17题:“三角形面积公式:S_△=(s(s-a)(s-b)(s-c))~(1/2)其中s=1/2(a+b+c),a,b,c是三角形三边的长,”这个“公式”远在古希腊阿基米德就知道,后由希腊人海伦(Hero)(生于公元前125年)在他的著作“Merprka”一书的“度量表”章中首先证明了这一公式,还举了求边为13,14,15之三角形面积一例。在与世隔绝的中国南宋时期(约公元1247年),数学家秦九韶,在他的《数学九章》中曾独创地讨论到它,名为“三斜求积”,大斜、中斜、小科分别表示三角形三边,求面积。把他的结论用现代算式表示是:     

海伦公式的行列式表示

我们知道,三角形的面积可用它的顶点坐标的行列式表示:设△ABC三个顶点坐标为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),则三角形面积为: 由于三角形的边长也可以用它的顶点坐标不表示,BC=a,AC=b,AB=c,有     

等差数列的等差平均项公式

定理:设 a_(n_1),a_(n_2),…,a_(n_m)是公差为 d 的等差数列{a_n)}中的 m 项,若(n_1 n_2 … n_m)/m=q r/m(0≤r≤m),则a_(n_1) a_(n_2) … a_(n_m)=(m-r)a_q ra_(q_1)(1)或(a_(n_1) a_(n_2) … a_(n_m))/m=a_q (r/m)d (1′)     

由海伦公式想到梯形的面积公式

三角形具有稳定性,三边之长确定后,其面积就完全确定了．工程建筑或机械制造中常焊接一些三角形来起加固的作用．除了三角形外, 梯形也是常用的一种形状,那么它是否且有类似三角形的稳定特性呢?本文导出海伦公式的一个推广形式一梯形的面积公式,可回答此问题．     

用余弦定理证明海伦公式

海伦公式,用三边长求三角形面积,是计算几何一个重要定理.一般用纯几何方法证明,比较困难和繁杂.现用余弦定理来证,就比较简便.     

用勾股定理证明海伦公式

设三角形的三边依次为a,b,c,且令p=1/2(a+b+c),则三角形的面积为 S_■=(p(p-a)(p-b)(p-c))~(1/2)。《中学数学实验教材》几何2册下P.143用余弦定理证明了这个公式。余弦定理是以勾股定理为基础的。因此,这个公式也可以直接应用勾股定理来证明。如图,AD是△ABC中BC边上的高。     

海伦公式的一个简洁证明

若已知任一△ABC的三边长为a,b,c,则其面积可表示为A=√s（s-a）（s-b）（s-c）,其中s=a＋b＋a/2,此即海伦公式．关于海伦公式的证明,笔者已在文[1]中给出了中外数学史上的有关证明方法．分析发现,历史上的证法均为几何证法（添加辅助线,利用全等三角形的边、角关系或者相似三角形中的比例关系进行推导）,各种方法堪称精巧美妙,但略显复杂．本文拟给出海伦公式的一个代数证法．     

海伦公式的纯几何证明

一种纯几何证明方法。证明过程如下: 设△ABC中各边BC,AC和AB的长分别是a、b和c,o为内切圆之圆心,D,E,F均为切点,在BC的延长线上截取CH=AF,连BO,作OK⊥BO交BC于L点,又作CK⊥BC交OK于K点,连BK,因∠BOK=∠BCK=Rt∠,故B,K,C,O四点共圆,连CO则,∠COB+∠BKC=180°,又因∠1+∠2+∠3=90°,∠3+∠AOF=90°,所以∠1+∠2=∠AOF,∠COB+∠AOF=180°,于是     

海伦公式的一个简证

由三角形三边表示面积的海伦公式的常见证法一般都较冗繁,它往往需要添置辅助线,而且涉及的知识和运算也较多.本文拟给出一个简证,它只用到少许的知识和运算即可.证明:设△ABC 三内角 A、B、C 所对的边分