第二节 不等式（组）

初中知识回顾 一、一元一次不等式组的定义 形如{a1x＋b1＞0,a2x＋b2＞0（a1≠0,a2≠0）的不等式称为——。     

解绝对值不等式题根探讨

【题根】解不等式｜x^2-5x＋5｜〈1． 【思路】利用｜f（x）｜〈a（a〉0）←→-a〈f（x）〈a,去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等式组-1〈x^2-5x＋5〈1,即求解     

两个优美的无理不等式

本文旨在建立两个新的无理不等式． 定理1若a,b〉0,满足a＋b=1,则 √a^-1-a＋√b^-1-b≥√6.（1）证：令x=ab,则0〈x≤（a＋b）^2/4=1/4.     

不等式的恒成立、恰成立与能成立

例题 对于不等式x^2-（a＋1）x＋a〈0，求涟足下列条件时，实数a的取值范围：（1）对x∈（1，2），不等式恒成立；（2）不等式的解集是（1，2）；（3）存在x∈（1，2），使不等式成立．     

第六章 不等式

一、解不等式 [例30]已知函数f（x）=x^2/ax＋b（a,b为常数）且方程f（x）-x＋12=0有两个实根为x1=3,x2=4．     

构造一等式证明一类不等式

我们知道,利用等式证明不等式是证明不等式的一种重要思想方法.在不等式中,对于可化为（a/（b＋c））、（b/（c＋a））、（c/（a＋b））（其中a、b、c〉0）的一类对称不等式,若令x=（a/（b＋c））,y=（b/（c＋a））,z=（c/（a＋b））（x、y、z〉0）,则x、y、z满足等式（x/（x＋1））＋（x/（y＋1））＋（z/（z＋1））=1（）（1/（x＋1））＋（1/（y＋1））＋（1/（z＋1））=2（）xy＋yz＋zx＋2xyz=1（以下记此三式依次为①、②、③式）,这样,利用这几个恒等式.     

用均值不等式证高次不等式

1．设a,b,c∈R^＋,求证： （a＋2b/a＋2c）^n＋（b＋2c/b＋2a）^n＋（c＋2a/c＋2b）^n≥3． 证明a＋2b/a＋2c＋b＋2c/b＋2a＋c＋2a/c＋2b≥3 ←→（a＋2b）（b＋2a）（c＋2b）＋（b＋2c）（c＋2b）（a＋2c）     

例说解不等式恒成立的几种方法

1 参数分离法 例1 若对任意x〉0,x≤a（x2＋3x＋1）恒成立,则a的取值范围是——．     

一个不等式猜想及证明

猜想（数学问题315．2）设xi〉0,i=1,2,…,n（n≥3）,则有Sn=x2/x1（x3＋x4＋…＋xn）＋x3/x2（x4＋…＋xn＋x1）＋…＋xn/xn-1（x1＋x2＋…＋xn-2）＋x1/xn（x2＋x3＋…＋xn-1）≥（n-2）n∑i=1xi.     

对一道含参不等式考题的解评

例题（2013年天津理）已知函数f（x）=x（1＋a｜a｜x）。设关于x的不等式f（x＋a）〈f（x）的解集为A,     

一元一次不等式错解剖析

一、忘记改变不等号的方向 例1 解不等式3（x-1）≤4x＋10. 错解：去括号，得3x-3≤4x＋10． 移项合并同类项，得-x≤13． 把系数化为1，得x≤-13．     

一元一次不等式组解题新思路探究

一、解一元一次不等式组 例1 解不等式组{3（x-2）＋8〉2x x＋1/3≥x-x-1/2,并把它的解集在数轴上表示出来．     

一元一次不等式组专题训练

1．将不等式{x＋8〈4x-1, 1/2x≤8-3/2x的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）．     

浅析一道不等式的解法

例题 设f（x）=ax^2＋b且-3≤f（1）≤-1,-1≤f（2）≤6,求f（3）的取值范围。 错解 依题意可得：f（1）=a＋b,f（2）=4a＋b,     

巧用贝努利不等式的变式解三角不等式

贝努利不等式：若x〉-1,n∈N且n≥2,则（1＋x）^n≥1＋nx．当且仅当x=0时,等号成立．     

析解含字母系数的不等式组问题

1．不等式组无解问题 例1 若不等式组{x＋a≥0,1-2x〉x-2无解，则实数a的取值范围是（ ）     

巧用贝努利不等式的变式证明三角不等式

贝努利不等式：若x〉-1,n∈N且n≥2,贝4（1＋x）^n≥1＋nx．当且仅当x=0时,等号成立．若在此不等式中,令t=1＋x,就可得变式：若t〉0,n∈N且n≥2,则t^n≥n（t-1）＋1．当且仅当t=1时,等号成立．     

一个不等式的推广及证明

文献[1]给出了如下一个不等式： 设a,b,x,y∈R^＋,则 a^2/x^2＋b^3/y^2≥（a＋b）^3/（x＋y）^2,     

一个含双参不等式及其对一类分式不等式的证明

定理设实数x,y,z满足xy＋yz＋zx=λ（x＋y＋z）＋μ,则有（x—k）^2＋（Y—k）^2＋（z—k）^2≥2k^2-2μ-2λk—λ^2．（1）     

“浓度”不等式在物理中的应用两例

在数学中有一条不等式a/b〈（a＋x）/（b＋x）（a〈b〉,笔者称该不等式为“浓度”不等式．因为该不等式可以这样简单证明：如果有一杯氯化钠溶液，总质量为b，其中氯化钠的质量为a，则浓度为a/b．在该溶液中加入质量为x的氯化钠（未饱和），