“a+b~(1/2)”一题确有不妥

编辑同志要我对关于“a+、b~(1/2)”的讨论,谈一点看法,我仔细阅读了前两期中读者提出的意见和建议,原教材中所列该题确有不妥,现对该题谈点个人看法,说一说不妥之处:不妥之一是与教材正文不引入、(-1)~(1/2)的精神不符.即在 b<0时,b~(1/2)本身在教材上未曾定义.如按“b<0时、b~(1/2)=(-b)~(1/2)i”的传统说法来理解,则 a+b~(1/2)当 b<0时为虚     

a±2b~(1/2)的算术平方根

荞乞功/, 形如。士2、/了的算术平方根在数学竞赛中是经常遇到的.如何正确、迅速地计算,本文作一简单介绍. 根据根式的乘方法则,我们知道, (丫百十丫厂牙),一3十2、/万+2一5十zv行百, …物厂了+、万)是5+2勺沪下的算术平方根.但是5+Zv/万的算术平方根只有一个,所以 丫5+2勺/万一了了+丫万.同样,丫(了万一了厄一)2~3一2丫万+2一5一2侧万, …丫5一:厅一厂了一侧万. 观察上面的两个结果,可以看出,5是3与2的和,6是3与2的积. 一般地,若x+y一。,xy一b,那么 丫。+2甲z了一丫(了丁一+厂歹)2一、厂牙+丫丁.丫。一:厅一了(万一万)2一存一万(x>,)这里…     

关于(a±b~(1/2))~(1/2)形式的根式化简

在计算cos15°的值时,学生通常都是利用差角公式求得     

“a+a~(1/2)”讨论

本刊“83—1”刊登了《关于 a+b~(1/2)的讨论》综述以后,在各地读者中引起了热烈讨论,不少学校数学组还作为教研组活动,开展集体讨论.到目前(4月10日)为止,本刊共收到全国19省105份来稿,发表各自的意见.这不仅说明广大读者对本刊《教材讨论》专栏的关心、支持和爱护,同时也说明读者们为了提高教学质量而努力钻研业务的新气象,为了进一步开展讨论,本期发表了《a+b~(1/2)的讨论(续)》,下一期(83—4)本刊将约请人民教育出版社教材编写组的同志,就这一问题发表看法,以完善这一讨论.     

(a~2 +b~2 +k_1ab)~(1/2)+(b~2 +c~2 +k_2bc)~(1/2)>(a~2 +c~2 +k_3ac)~(1/2)的探究——反思、与读者也与自己对话

我们在文 [1 ]的案例 3中 ,谈了数形结合的双向沟通 ,顺便对题目 (文 [1 ]例 3、4、5 ,此处统一为例 1 )例 1　已知a >0 ,b >0 ,c >0 ,求证 :( 1 )a2 +b2 +ab +b2 +c2 +bc>a2 +c2 +ac;( 2 )a2 +b2 -ab +b2 +c2 -bc ;≥a2 +c2 +ac,( 3 )a2 +b2 -ab +b2 +c2 -bc>a2 +c2 -ac.从特殊到一般作出了推广 :a2 +b2 +k1ab +b2 +c2 +k2 bc≥a2 +c2 +k3ac .①其中 |ki|<2 ,i=1 ,2 ,3 .这对b +k1a≥ 0且b +k2 c≥0 (特别地k1≥ 0 ,k2 ≥ 0 )时 ,结论是显然的 ,有左边≥a +c=a2 +c2 +2ac >右边 .但当k1、k2 中出现负数呢 ?文 [2 ]指出 ,推广式①并非永远…     

关于asinα+bcosα=(a~2+b~2)~(1/2)sin(α+)的应用

人民教育出版社出版的数学第一册(下)(试验本)P45例5. 求证:cosa+√3sina=2sin(π/6+a).它事实上是介绍了一种三角函数的变形技巧.而这种变形技巧所蕴含的数学思想是化归思想,把形如asina+     

根式(a±b~(1/2))~(1/3)的化简

本文讨论(a,b是有理数,b>0)的化简,先给出下面的 定理:(a、b是有理数,b>0)能用二次根式表示(即)的条件是b>0,a~2-b=c~3[其中c是有理数]且方程组有有理数解。 证明:设已给表达式为,为使成立(x、y为有理数),两边用乘之得。当a~2-b=c~3(c是有理数)时有:x~2-y=c (1) 由,将此式两边立方、化简并整理得:于是,又有:     

(a+b)~2≠a~2+b~2,为什么

上面这个错误的等式是显而易见的.但在学习了这部分知识后,在利用乘法公式的计算中,有些同学却屡改屡犯,这是为什么呢?可能是老师在给这部分学生纠正错误时,只注重了从表面或运算结果的角度去分析,而忽略了从"学生的学习心理"方面去分析问题.同学们可能会这样想:     

asinx+bcosx=(a~2+b~2)~(1/2)sin(x+φ)的应用

asinx+bcosx=(a~2+b~2)~(1/2)sin(x+φ)这个重要的等式,在结构上左边是两函数的和,右边只是一个函数,即是一个函数表示两个函数的和。本文就是根据这些结构特点。结合|sin(x+φ)|≤1的性质列举出诸方面的应用。例1     

asinx+bcosx=(a~2+b~2)～(1/2)sin(x+φ)在解几中的应用

通过讨论方程asinx+bcosx=c实数解的存在情况,举例说明该方程的性质在平面解析几何中的应用.在教学中培养学生解决问题的能力.     

asinx+bcosx=(a~2+b~2)~(1/2)sin(x+φ)在解题中的应用

,其中此结论是课本上的一个例题,它在研究三角函数的定义域、值域、周期、极值和单调区间等方面都有不可忽视的应用。现分别举例说明如下: 一、求函数的定义域     

公式(a+b)~2=a~2+2ab+b~2的教学设计

公式（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２的教学设计□徐光考（浙江省台州市椒江二中３１８０００）《九年义务教育初级中学数学大纲》明确提出：“在教学时，应当注意数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展，……，使学生在这些过程中展开思维，从而发展...     

活学活用公式asina bcosa=(a~2 b~2)~(1/2)sin(a (?))

在解答三角函数的问题时,有一种重要的解题策略:把含有多个三角函数的式子化为只有一个三角函数的式子,即化“异名”为“同名”.公式asina bcosa=sin(a (?))可以在这方面起重要而独特的作用.但不少同学对这个公式的运用还不够自如,对辅助角(?)的确定也不熟练.为此,本文通过举例作一些具体说明.     

将asinα+bcosα化为(a~2+b~2)~(1/2)sin(α+φ)的教学设计

教师 :如图 1所示 ,设M( a,b)是角θ终边上的一点 ,点 M到原点的距离为 r,则 cosθ =?,sinθ =?学生 :cosθ =ar,sinθ =br.教师 :由此我们得到 a =rcosθ,b=rsinθ.这两个等式说明了一个什么问题 ?学生 :这两个等式表明 :角θ终边上的任意一点 M的坐标 a、b可以分别用角θ的余弦和正弦来表示 .教师 :点 M的坐标 a,b可以取哪些实数 ?由此说明了一个什么问题 ?学生 :由于角θ是任意角 ,点 M是θ上的任意点 ,所以点 M的坐标 a,b可以取任意实数 ,这说明对于任意实数 a,b都可以用一个角θ的余弦和正弦来表示 ,即 a =rcosθ,b =rsinθ,其中r =…     

谈谈公式asinα+bcosα=(a~2+b~2)/(1/2)sin(α+φ)

1　问题的提出2000年全国高考理科考试数学卷的第17小题是这样的:已知函数y=12cos2x 32sinxcosx 1,x∈R.()当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;()该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?这道题主要考查了三角函数的图象及变换、二倍角公式、两角和与差的正弦公式及化简变形能力.从答卷情况看,主要的问题在于y=asinα bcosα的化简,下面我们就来谈谈这个公式.1.1　源于课本asinα bcosα=a2 b2sin(α φ)是一道课本例题的结果,反映了添置辅助角的思想,它把asinα bcosα化为一个正弦函数.一般地,对于y=asinα b…     

函数f(x)=ax+b~(1/2)+d-cx~(1/2)值域的又一新求法

求形如 f (x) =ax + b + d -cx(a>0 ,c >0 ,dc>-ba)的函数值域的方法很多 ,本刊文 [1]利用“双换元法”给出一种求法 ,阅后深受启发 .本文再给出此类函数的一种新的求法 ,具有简单易行的特点 ,更易为广大中学生所理解和接受 ,现介绍如下 .1　结论及证明定理　设 f1 (x) =ax + b,f2 (x) =d -cx,则函数 f (x) =ax + b + d -cx(a >0 ,c >0 ,dc >-ba)的值域为[[f1 ( x) +f2 ( x) ] m in,f1 ( dc +f2 ( - ba) ] .以下定理的证明过程 ,即给出了求 f (x)值域的一种方法 .证明 :(1)证 f (x)≤f1 (dc) + f2 (-ba)设λ >0 ,则由基本不等式 ab≤a + b2 …     

方程(x/a)~(1/2)+(y/b)~(1/2)=1的讨论

众所测方程周知,方程二告+y告子于+了十一,,二。于(。>。)表示的曲线,是抛物线的一段.据此,可推a>O,b>0)(1)也表示抛物线的一段.好共+存十1>。,故方程川黝于(摇+了哥一1卜(再+了哥,)一”,又形变为2了翼一卜普一誉.两端平方(由于2丫器+(卜含一誉,-卜(了含一了韵’>。,它又等价于/~20~‘J1兰了一一黑芝{了二罗戈U畏尧;x乓之a.夕2_Zx_2夕山,一n节广.一;,万-—一—-一万-吕1—U D“aD(2)利用二元二次方程的不变量,0(封《b 可判断出(2)表示一条抛物线的一段.事实上,二联、。,由此可见(2)表示抛 a~V一1一ar一bl 一一1一abl一护1一b 一一1了1一…     

(a±b~(1/2))~(1/3)的化简与三次方程的求解

３ａ±ｂ的化简与三次方程的求解王明军（甘肃省兰化一中７３００６０）形如ａ＋ｂ的二次根式用配方法容易达到化简的目的,比如１９－８３＝１６－２·４·３＋３＝（４－３）２＝４－３．但能否用类似方法来化简三次根式３ａ±ｂ呢？例如１２＋１２７３３＝１＋２３７３...