何为转一周? 一道易误解的课本题的分歧点

九年义务教材初中《几何》第三册189页的“想一想”给出了这样一道题:如图1,如果⊙O 的周长为20πcm,⊙A、⊙B的周长都是4πcm,⊙A 在⊙O内沿⊙O滚动,⊙B 在⊙O 外沿⊙O 滚动.⊙B 转动6周回到原来位置,而⊙A只需转动4周就回到原来位置.想一想为什么?1996年使用该书以来,很多师生都认为这     

到底转了多少周?(初三)——关于课本一个“想一想”及其解答的争论

九年义务教材(人教版)初中《几何》第三册第189页的“想一想”题目如下:如图1,如果⊙O的周长为20πcm,⊙A、⊙B的周长都是4πcm,⊙A在⊙O内沿⊙O滚动,⊙B在⊙O外沿⊙O滚动.⊙B转动6周回到原来位置,而⊙A只需要转动4周就回到原来位置.想一想,为什么?     

关于小圆自转的界定

爱因斯坦说,“提出一个问题比解决一个问题更重要.”小圆自转的问题来自九年义务教育三年制初中《几何》(人教版)第三册第189页“想一想”. 题目:如图1,如果⊙O的周长为20πcm,⊙A、⊙B周长都是4πcm,⊙A在⊙O内沿⊙O滚动,⊙B在⊙O外沿⊙O滚动,⊙B转动6周     

一道课本思考题再诠释

在我国现今的高等师范院校中,普通物理、理论力学两门课,是规定为学生的必修课的.但由于一些认识上的原因,从校方到学生,对这两门课都缺少应有的重视.常见一些大学毕业的数学教师,对物理问题的解决表现得非常无能为力.这决不是一个好现象!初中几何教科书(人教版)第三册P189在“想一想”栏目中有一道思考题,从实质上来说是理论力学之运动学的题目,难倒了不少数学教师,该思考题是:图1如图1,如果⊙O的周长为20πcm,⊙A、⊙B的周长都是4πcm.使⊙A在⊙O内沿⊙O滚动,⊙B在⊙O外沿⊙O滚动,⊙B转动6周回到了原来的位置,而⊙A只需转动4周就回到…     

对“想一想”中一道题的探究

[问题1] 如图1,⊙O的半径为m(m为正整数),⊙O_1的半径为1,⊙O_1在⊙O外沿⊙O滚动.问:⊙O_1第一次回到原来位置时转动了几周? 对于这个问题,我们可以通过以下两种途径来考虑: 一、考虑⊙O_1在⊙O外沿⊙O滚动时自转了一周的情况.这时⊙O与     

题虽在书外 根却在书内——探究源于课本的中考几何题的设计方法

在2009年全国部分省市中考数学试卷中,涌现出一大批源于课本的几何试题,这类试题有的一步到位,直接选用课本原题;有的进行改装、引伸、拓展课本中“读一读”“想一想”与“做一做”的内容成为中考题.这类试题紧扣书本和大纲,体现了基础性和学好课本知识的重要性,有着较好的导向作用,对于引导师生重视基础、重视书本、研究教材、重视教材、用好用活教材,均大有裨益.随着素质教育的不断深化,为进一步体现《数学课程标准》的理念,笔者认为:这类紧扣课本的试题将是命题的热点,且会长盛不衰,因此有必要提醒师生注意对课本知识的学习与挖掘,以达到灵活变通的目的.下面就以2009年部分省市中考几何试题为例,谈谈源于课本的试题设计方法,供参考.1直接选用课本例题并增设问题图1例1(承德市)如图1,⊙O1与⊙O2外切于A,BC是⊙O1和⊙O2的公切线,B,C为切点.(1)求证:AB⊥AC;(2)若r1,r2分别为⊙O1,⊙O2的半径,且r1=2r2,求AACB的值.点评本题第(1)题选自人教版《几何》第三册第129页的例4,并在原题的基础上引伸提高,构思出第(2)题,使问题得到了拓展,对相关知识进行了综合,题目不难,然而它提醒我们,题在书外,根在...     

滚动问题的运动分析──对初三几何新教材第189页“想一想”的讨论

滚动问题的运动分析──对初三几何新教材第１８９页“想一想”的讨论山西省太原市第２９中学薛喜娥山西省太原工业大学刘俊明九年义务教育三年制初级中学教科书《几何》第三册第１８９页的“想一想”原题如下“如图，如果⊙０的周长为２０πｃｍ，Ａ、Ｂ的周长都是４πｃ...     

圆盘滚动规律的探求

圆盘滚动的有关问题经常在数学竞赛中见到 ,那么 ,圆盘滚动有何规律呢 ?1　圆盘沿直线滚动我们知道 ,圆盘沿直线滚动 ,其圆心移动的路程等于圆盘周长时 ,圆盘正好自转一周 ,如图 1 ,即当OO1 =⊙O的周长时 ,⊙O自转一周 .图 1　　　　　　　　图 2问题 1　凸四边形ABCD的周长等于⊙O周长的 2倍 ,当⊙O从A点出发沿四边形滚动 ,⊙O自转几周才能回到出发点 ?答案是两周吗 ?因为⊙O此时不是沿直线滚动 ,所以不能轻易下此结论 .从图 2可以看出 ,一方面 ,⊙O从线段AB滚动到线段BC时要自转过一个角度 ,即∠B的外角 (因为∠O2 BO3=∠B的外…     

一道ETS试题的证明和推广

美国的ETS(即主管高校入学考试的出题部门)曾出过这样一道题: 如图1,⊙O_1的半径是⊙O的半径的1/3,⊙O_1从图上所示位置出发,沿着⊙O作无滑动的滚动,当⊙O_1返回到出发位置时,(?)O_1转了____圈.(A)(3/2),(B)3,(C)6,(D)9/2,(E)9. ETS的标准答案是(B)3,可是参加考试     

关于圆滚动问题的探讨

关于圆在曲线上滚动的周数的争论,已有多篇论文见诸于国内中学数学杂志,但鲜见说明透彻且浅显易懂,能为学生接受的.本文给出一种浅显的解释.1圆在直线上滚动的问题图1众所周知,若半径为r的⊙O在直线l上自点A起滚动一周到点B,则AB=2πr.反之,若半径为r的⊙O在直线l上自点A滚动到点B,则当AB=2πr时,⊙O在l上正好滚动了1周,即2AπBr=1.(图1)一般地,若半径为r的⊙O在直线l上自点A滚到点B,设AB=a,则⊙O滚动的周数n=2aπr.此时圆心O平移到O′,设OO′=a′,则a′=a.所以⊙O滚动的周数n也等于2aπ′r.2圆在折线上滚动的问题(1)当半径为r的…     

一类相交圆问题的变形与思考

近年来,中考命题的热点之一,就是改编课本例题或习题。改编课本例题或习题,必须使改编后的题目不怪不偏,切中教材的重点、难点,使基础知识和基本技能在变式练习中不断以正用、逆用、连用、巧用等形式出现,以便引导学生扎扎实实地掌握和运用课本知识。下面以初中《几何》第三册第130页练习第2题的改编为例,加以说明. 题目:已知如图1,⊙O和⊙O′都经过点A和B,PQ切⊙O于P,交⊙O′于Q、M,交AB的延长线于N.求证:     

两圆外切的一个基本图形及其应用

学习平面几何,如果能积累一些重要的、常见的基本图形,熟悉它们的有关性质,对开拓解题思路,提高证题技巧是大有益处的.初中几何(人教版)第三册有这样一道题:题目如图1,⊙O1和⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的公切线,B、C为切点.求证:AB⊥AC.证明过点A作⊙O1和⊙O2的内公切线交BC     

物理题应切合实际情况

本刊2003年第7期《一道错题》一文(下称“原文”),对一道训练题进行了探讨和证明,并指出该题是一道错题. 笔者也认为该题是一道错题,但原文的证明考虑问题欠全面,且没有结合实际生活中的杆秤.因此,有必要对该题重新讨论. [题目]有一水果店,所用的秤是吊盘式杆秤,量程为10 kg,现有一较大的西瓜,超过此秤的量程,店员A找到另一秤砣,与原秤砣完全相同,把它与原秤砣绑在     

自转了几周?

<正>在地理学中,有地球自转——地球绕着地轴不停地旋转,与自转相对的是公转——一个天体(物体)绕着另一个天体(物体)转动叫公转.在九年级数学中有这样一道题:等边△ABC的周长为6π,半径为1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发(如图1),在△ABC外部按顺时针方向沿三角形边滚动,又回到与AB相切于点D的位置,则⊙O自转了几周?     

两圆外切的若干性质及其应用

人教版九年义务教育初中几何第三册p.144页有这样一道例题: 已知:如图1,⊙O1和⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的公切线,B、C为切点. 求证:AB⊥AC.     

让课本题目鲜活起来

“源于教材 ,活于教材”是数学中考题的显著特征 ,因此 ,在基础知识学习和基本技能的训练中 ,要善于对常规题作变式思维 ,以教材基本内容为背景 ,抓住典型题进行演变 ,从而让课本题目鲜活起来 .图 1题目　如图 1,已知⊙O1 、⊙O2 相切于点T ,直线AB、CD经过点T ,交⊙O1 于点A、C ,交⊙O2 于点B、D .求证 :AC∥BD .(人民教育出版社《几何》(第三册 ) 1994年 10月、2 0 0 0年 10月版P97)该题证明方法很多 ,如过点T作两圆的公切线 ,再由弦切角性质等获证 ,这里不再赘述 .本文介绍以此题为背景的几种变式题 .图 2　　变式 1　如图 2 ,⊙…     

读者与编者

一道训练题的解答一些读者来信希望提供如下一题的题解(题见本刊编辑部组织编写的《中学数学方法与单元、综合测试训练》第36页),现证明于下: 题:若0<θ<1/2π,证明 2θ相似文献   

挖掘母题价值 觅求解题思路

<正>苏科版《数学》九年级下册"图形的相似"复习题中有这样一道题目:原题如图1,ABC是⊙O的内接三角形,AD是ABC的高,AE是⊙O的直径.ABE与ADC相似吗?为什么?     

一个改进命题的两种简证

《数学教师》1997.3期登载的杨培玉老师的《这道竞赛题的题设条件可以减弱》一文,文中介绍了将第20届IMO的一道平几题减弱条件后得到的一个更为深刻、含蓄,极富美感的加强命题,但所给的证明用到了五个成题的结论,甚是繁难,不便阅读。本文试给出一个颇为浅显简洁、十分精巧的证法。 命题 △ABC中,它的外接圆为⊙O,⊙P与AB、AC两边分别相切干G、H两点,并与⊙O相内切。K为GH之中点。求证:K为△ABC的内心。     

由一组相切的圆的半径而引出的一组数列

“已知如图各圆两两相切,⊙O的半径为2R,⊙O_1,⊙O_2的半径为R,注⊙O的半径。”这道题是义务教育三年制初中教科书《几何》(第三册)(人教版)第152页的第5题。为以下讨论方便,我们设⊙O的半径为R,则四⊙O_1,⊙O_2的半径为r/2号;并设⊙O _3的半径为r_3,则由图中可知:(R/2)~2+(R-R_3)~2=(R/2+R_3)~2,解得:R_2=R/3(因为OO_3⊥O_1O_2)。 现在我们对这道题进一步研究,能否求出与⊙O、⊙O_1、⊙O_3都相切的⊙O_4的半径?回答是肯定的。设⊙O_4的半径为r_4,并设∠O_1OO_4=a,如图,则∠O_3OO_4=90°-a,由余弦定理得: