解三角函数求值题的基本思路

一、运用公式基础解法（一）能化为同分母的尽量不通分例1求值sec50°+tan10°.分析:许多学生往往会把此题化为1/cos50°+sin10°/cos10°,通过通分,那么会较繁甚至解不出.而如果能注意再化一下,成1/sin40°+cos80°/sin80°,再用二倍角通分,问题便可迎刃而解.解:sec50°+tan10°=1/sin40°+cos80°/sin80°=2cos80°/2cos40°sin40°+ cos80°/sin80°=（2cos（60°-20°）+cos（60°+20°））/sin80°=（3cos60°cos20°+sin60°sin20°）/sin80°=3（1/2）sin80°/sin80°=3^1/2（二）两类特殊的三角式求值1.对形如cosαcos2αcos2²α…cos2ⁿα的函数式的求值,可用二倍角公式破解,即乘以2sinα再除以2sinα,如此往复,便可以轻解此类题.     

配对法解题一例

例 不查表,求sin36°·sin72°的值。 解 配对:设M=sin36°·sin72°,N=cos36°·cos72°, 则 4MN=2sin36°·cos36°·2sin72°·cos72°=sin72°·sin144°=sin72°·sin36°=M。     

一道三角问题所引出的结论

题目已知α、β为锐角,且满足sin2(α β)=sin2α sin2β,求证α β=90°.常见的解法如下.证法一:(反证法)若α β>90°,则α>90°-βsinα>sin(90°-β)=cosβ.从而sin2α sin2β>cos2β sin2β=1,得sin2(α β)>1,矛盾.     

一题四法

本文对1987年江苏省青少年数学夏令营试题:求值COS~273° COS~247° COS~247°cos~273°,给出四种解法。解法一;常见解法原式=(1 cos146°)/2 (1 cos146°)/2 cos47°cos73° =1 COS120°cos26° (1/2)(COS120° cos26°)=1-(1/4)=3/4解法二:和差代换令cos73°=α b,cos47°=α-b,则α=(cos73° cos47°)/2=cos26°/2 b=(cos73°-cos47°)/2=(-3)~(1/2)sin26°/2∴原式=(α b)~2 (α-b)~2 (α     

要学会合作

高中数学第一册(下)4.7 二倍角的正弦余弦正切中的例3化简sin50°(1 3tan10°)这是一道耐人寻味的好题,捕捉其特殊信息,可以开展研究性学习.一、捕捉特殊信息,一题多解1.特殊系数“1”和“ 3”化为“2sin30°”、“2cos30°”方法1:原式=sin50°(1 3sin10°cos10°)=sin50°2(12cos10° 32sin10°)cos10°=sin50°2sin(30° 10°)cos10°=2sin50°cos50°cos10°=sin100°cos10°=cos10°cos10°=12.特殊数字“50°”“10°”之和为“60°”方法2:原式=sin50°cos10° 3sin10°sin50°cos10°=12(sin60° sin40°) 3〔-12(cos60°-…     

利用cos2θ公式的变形解题几例

2~(1/2)(2~(1/2)/2cosθ 2~(1/2)/2sinθ)cos2θ=cos~2θ-sin~2θ=(cosθ sinθ)(cosθ-sinθ) =2~(1/2)(2~(1/2)/2cosθ 2~(1/2)/2sinθ) ·2~(1/2)(2~(1/2)/2cosθ-2~(1/2)/2sinθ), 则得cos2θ=2cos(θ π/4)cos(θ-π/4)或者cos2θ=2sin(π/4 θ)sin(π/4-θ). 应用上面的结论求解某些余弦函数或正弦函数的乘积时则显得简洁又明快,现举例如下. 例1 求证sin15°sin30°sin75°=1/8. 证明:sin15°sin30°sin75°=1/2sin15°sin75°     

我也能做

1．2006年高考(江苏卷)在△ABC中,已知BC=12,A=60°,B=45°,则AC=____．2．cot 20°cos 10° 3~(1/2)sin 10°tan 70°- 2cos40°=____．参考答案:1．4(6~(1/2)) 2．2     

第9期模拟试卷(一)参考答案

第Ⅰ试1.D2.A3.C4.A5.B6.B7.B8.C9.A10.D11.End If12.y=-x 413.2514.215.4216.S2=mS1,S椭圆=πab17.(1)因为tanB=csionsBB,cosB=a2 2ca2c-b2,而tanB=a2 3ca2c-b2,可得sinB=23.(2分)因为B为锐角,所以B=60°.(4分)(2)sin(B 10°)[1-3tan(B-10°)]=sin70°[1-3tan50°](6分)=sin70°1-3·csions5500°°(10分)=sin70°·cos50c°o-s503°sin50°=2sin70°·sin(c3o0s°5-0°50°)(12分)责编/朱凌燕顾俊邮箱/gujun071001@163.c44高三语数外=-2sins2i0n°4c0o°s20°=-1.(14分)18.(1)根据俯视图可知,ABCD是边长为a的正方形,且A1H⊥…     

二倍角正、余弦公式的巧用

划S二倍角正弦公式sin2α=2sinαcosα及其应用,同学们比较熟悉,而对它的三个变形公式:(1)cosα=2sisnin2αα(α≠kπ);(2)sinα=2sicno2sαα(α≠kπ π2),(3)sin2α=sin(2α π4)-cos(2α π4)=2sin(2α π4)-1=1-2cos(2α π4)则比较陌生,其实,在解题中,这些变形公式有着重要的功能和作用.下面举例说明:例1求cos12°cos24°cos48°cos96°的值解原式=2ssiinn2142°°·2ssiinn4284°°·2ssiinn9468°°·sin192°2sin96°=-116评注本例中利用变形公式cosα=s2isni2nαα,使得问题得以巧解,简洁明快.另本题也可进行倍角变换,有如下解…     

初三第一学期期末平面几何质量检测题

一、填空题(每小题3分,共30分) 1.在Rt△ABC中,直角边BC的长是直角边AC长的两倍。则cosA=____。 2.在△ABC中,∠C=90°,斜边为15,∠A的正弦值3/5。则∠A的对边长为____。 3.求值:sin60°·cos30°-tg45°=____。 4.若a是锐角,sinα=cos50°,则α=____。     

一道三角题的引申

题目已知sinαcosβ=-1/2,求cosαsinβ的取值范围.引申1已知sinαcosβ=α,cosαsinβ=b,则|a|+|b|≤1,当且仅当sin~2α+sin~2β=1时等号成立.证明|a|+|b| =|sinα||cosβ|+|cosα||sinβ|≤(sin~2α+cos~2β)/2+(cos~2α+sin~2β)/2=1,     

对一道三角函数题的思考

一、问题的提出 看这样一个数学问题:若sinαcosβ=1/2,求cosαsinβ的取值范围. 一个典型的错误解法是: 解:因为sin(α+β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)∈[-1,1],sinαcosβ=1/2,所以-3/2≤cosαsinβ≤1/2. 它的错误原因在于找到的约束条件不全面,仅考虑了-1≤sin(α+β)≤1.许多参考书上给出的正确的解法是: 解:因为sin(α+β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)∈[-1,1],sinαcosβ=1/2,所以-3/2≤cosαsinβ≤1/2, 因为sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=(1-cosαsinβ) ∈[-1,1].     

2004年高考三角函数求值问题选解

例1(2004年全国高考文史类试题)设α(0,π2),若sinα=35,则2姨cos(α+π4)=()A.75B.15C.-72D.4解∵α(0,π2),sinα=35,∴cosα=45.∴2姨cos(α+π4)=2姨(cosαsinπ4-sinαcosπ4)=cosα-sinα=45-35=15,故选B.例2(2004年全国高考广西卷)已知α为锐角,且tanα=12,求sin2αcosα-sinαsin2αcos2α的值.解sin2αcosα-sinαsin2αcos2α=sinα(2cos2α-1)sin2αcos2α=sinαcos2αsin2αcos2α=sinαsin2α=12cosα.由α为锐角及tanα=12,得1cos2α=sin2α+cos2αcos2α=tan2α+1=54.∴1cosα=5姨2.∴sin2αcosα-sinαsin2αcos2α=1…     

一道习题的错解及反思

有这样一道习题:已知sin2a+sinβ+cos(α-β)=2,求sina+sinβ的取值范围. 错解:令u=sinα+sinβ,则u2=sin2α+sin2β+2sinαsinβ又sin2α+sin2β+cos(α-β)=2,所以U2-2=2sinαsinβ-cos(α-β)=-cos(α+β).u2=2-cos(α+β),从而1≤u2≤3,解得-3~(1/2)≤u≤一1或1≤u≤3~(1/2). 这个答案看起来似乎简洁明了,分析透彻,但细细分析便会产生这样的疑问,即cos(α+β)能取[一1,1]上的所有值吗?     

用构造法解三角求值题

用构造法求值极具巧思,关键是根据题中信息恰当创作一个新形式,使复杂问题简捷获解.本文举例介绍几种方法,供大家参考.一、构造互余式【例1】求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.解:设A=sin10°sin30°sin50°sin70°,B=cos10°cos30°cos50°cos70°,则AB=116sin20°sin60°s     

数学审美与解题

一、对称美的利用 例1.求sin10°sin30°sin50°sin70°的值。 考虑到sinαcosα=1/2sin2α,可用它的对称式(对偶式)助解:令x=sin10°sin30°sin50°     

解开学生心中的疑团——一道三角题的解题分析

在一些参考资料上,经常可以看到这样一道三角题:题目:已知 sinα sinβ=2~(1/2)/2,求 cosα cosβ的取值范围.其解法为:设 cosα cosβ=x,则(sinα sinβ)~2 (cosα cosβ)~2=1/2 x~2,即2 2cos(α-β)=1/2 x~2,∴x~2=3/2 2cos(α-β).∵-1     

“1”在解题中的作用

在解数学题时,我们经常遇到“1”的变形,例如,1=sin~2α cos~2α=sec~2α-tg~2α =cos~2α-ctg~2α; 1=tgα·ctgα=sinα·cscα =cosα·secα; 1=tg45°=ctg45°=sin90°=cos0°; 1=log_ab·log_bα; 1=log_αα=α°; 1=((a 1)~(1/2) a~(1/2))((a 1)~(1/2)-a~(1/2)); (α≥0)     

正弦、余弦诱导公式难点突破

难点一记忆难例1求下列三角函数值.(1)cos 210°;(2)sin(-(17π)/6).解:(1)cos 210°=cos(180°+30°)=-cos 30°=-(3~(1/2))/2.或者,cos 210°=cos(270°-60°)     

用课本结论简解九道高考题或竞赛题

一、用公式sin3α=3sinα-4sin3α简解题设中含"B=2A"的两道解三角形的高考题普通高中课程标准实验教科书《数学4·必修·A版》第138页的习题B组第1题是:证明:(1)sin3α=3sinα-4sin3α;(2)cos3α=4cos3α-3cosα.笔者发现运用上面的第一个公式"sin3α=3sinα-4sin3α"可以简解题设中含"B=2A"的解三角形问题.定理1:在△ABC中,若B=2A,则cos A=b/(2a),a(a+c)=