含有一个直二面角的三面角公式及应用

设三面角的三个面角分别是α、β、γ,它们所对的二面角分别是A、B、C,则有 coasA=(cosα-cosβcosγ)/(sinβsinγ) cosB=(cosβ-cosαcosγ)/(sinαsinγ) cosC=(cosγ-cosα-cosβ)/(sinβsinα) 这是方竹荪老师在《三面角公式及其应用》一文(见《中学数学教学》1980年第4期)中所证明的一组公式。当A、B、C中有某一个角是直角时,例如当A=90°时,有 cosα=cosβcosγ①这个公式在现行统编中学数学课本高中第二册第五章复习题中,以一个习题方式出现(即题9)。利用公式①可以较简便地解决一类问题,现举几例如下。     

三面角图形内部各角的正弦关系及其应用

本文分为两部分,先给出几个公式,揭示了立体几体中最基本元素面角、线面角、二面角间的正弦关系。然后,通过举例说明这组正弦关系应用的广泛性,可以不借助于多少技巧,而解决立体几问题。 (一)一组正弦关系 一个三面角图形含有三个面角、三个线面角和三个二面角。如图一,在O—ABC中,设α=∠BOC,α_1表OA与面BOC的交角,a_(11)表二面角B—OA—C,则称a、a_1、a_(11)是对应于棱OA的面角、线面角和二面角。相应地,对应于棱OB的面角、线面角和二面角分     

三面角的余弦定理及其推论的应用

贵刊2008年第3期刊登了于志洪的《三面角的正弦定理及其应用》一文,读后颇受启发.今将其姐妹篇《三面角的余弦定理及其推论的应用》再介绍如下,供高中师生教与学时参考.     

用三面角公式求二面角的度数

先介绍三面角公式.如图1,设三棱锥A-BCD的三个面角分别为α、β、γ,其中γ所在面ABD所对的二面角B-AC-D的度数为θ.……     

正多面体和它的一种内接正多面体体积比的一般解法

《中学数学教学》1982年第1期的《正多面体和它的一种内接正多面体体积之间的关系》一文,给出了正多面体与它的以其内切球半径为半径的内接正多面体体积的比值。对于不同的正多面体,证法各异。关于正十二面体和正二十面体的论证,似稍感繁复。现以正十二面体和正二十面体为例,做出一种比较具有一般性的解法。解法分以下三步。第一步:求出正多面体的邻面角,即具有公共棱的两个相邻表面所成的二面角。利用著名的三面角定理,可以立即求得正十二面体的邻面角     

浅谈公式“cosθ=cosθ_1cosθ_2”的应用

在高中立体几何课本中,有一道习题如下:如图,AB和平面a所成的角是θ_1,AC在平面a内,AC和AB的射影AB′成θ_2角,设∠BAC=θ,求证:cosθ=cosθ_1cosθ_2 (1) 运用公式(1),需具备如下条件: 在三面角中,若两个面角所在的平面成直二面角,那么它所对面角的余弦等于这两个面角的余弦之积。公式(1)是球面三角中三面角余弦定理的特殊情     

三面角与三角形

在立几中有关三面角的性質很多与平凡中的有关三角形的性質一一对应类似,而立几方面有关三面角性質定理的証明又常常借助于对应的三角形性質來証明,本文將三角形的各种性質進而研究三面角的各种性質的一点心得,略叙如后,以供参考。有关三面角的面角定理及三面角的全等与对称等概念,在高中立体几何課本中都已述及,茲不累贅,直接应用。为了比較三角形和三面角的对应性質的異同关系,特將其元素列表对比如下:     

三面角的正弦定理及其应用

在文和文中,分别介绍了三面角的余弦定理及其应用。在文中,介绍了三面角的正弦定理的一种形式。本文将讨论三面角的正弦定理另一种形式及其应用。 定理 若三面角的三个面角分别为o、卢、/,它们所对的二面角分别为A、B、C,则     

三面角截面问题的完全解

本文通过如下定理,完全解决了《问题与课题》一书的Whc51。 定理1 直三面角的截面必为锐角三角形。 应用勾股定理和余弦定理容易证明,应用如下事实:     

例谈用公式法处理立几中的角问题

求空间角的大小是立体几何中的一个重点,但无论是异面直线的夹角,直线与平面的夹角,还是平面与平面的夹角,都必须作出其平面角后再求解.有时由于已知的线面位置关系比较隐晦,所求平面角无法作出,使得解题夭折.为此,本文将利用三面角余弦定理推导出求上述三类空间角的公式,运用这些公式,可避开求作平面角的困难,简捷地求出要求的平面角.     

关于等腰四面体

本文简介等腰四面体的性质和四个充要条件。在此基础上,进一步阐述等腰四面体关于以棱为棱的二面角和相对棱的公垂线的两个充要条件,以及关于体积公式、三面角的几个推论。     

关于四面体的一个问题的探讨

杨路先生在文[1]中提出了关于四面体的十个问题.其中的问题十是:“已知四面体某三面角的三个面角值,试确定它所对的三角形面的形状.”对于间题十,文[1]、[2]、[3]均指出:目前已知直三面角的情形,此时该三面角所对的三角形面是锐角三角形.并说对于一般情形,尚未解决.     

三面角的两个性质及其应用

三面角有如下两个性质:性质1 设三面角的三个面角分别为α、β和γ,它们所对的二面角分别为A、B和C,则证明: 如图1,取SA=1,作     

三面角的正弦定理及其应用

本文现将三面角的正弦定理及其应用简介如下,供高中教师教学参考.一、三面角的正弦定理设α、β、γ是三面角的三个平面角,而A、B、C是它们所对的二面角.     

立体几何二面角问题的公式解法探究

立体几何的二面角问题一直都是高中数学教学和考试的重点和难点,试题的解法具有独特性、针对性.一种求二面角的方法——公式法,在所有涉及三面角的题目中,能用上此种方法的题占80%以上.     

用三面角模型巧解2022年高考立体几何题

立体几何中的空间角的计算一直是一个难点,本文在其他学者研究的三面角模型的基础上,进一步剖析了面角、线面角、二面角更加灵活的转化,并以2022年全国高考题中的立体几何为例,展示了三面角模型在求解空间角中的应用,对空间角的求解有一定的参考意义.     

利用三面角 巧解立几题

立体几何题的解答或证明往往涉及到某个三面角的面角或二面角,而解这类题用通常的方法常常需要添加辅助图形,构思曲折,计算繁杂.本文将通过三面角的余弦定理,介绍某类立体几何题的解题方法。     

由距离公式想开去

在普通高中课程标准实验教科书A版《数学》必修②里第三章《直线与方程》中介绍了三个距离公式:两点间的距离公式,点到直线的距离公式,两平行直线间的距离公式,该书第     

以三面角为基本结构解题

空间几何体的基本结构是三面角,对于三面角,我们有: 定理:在三面角P-ABC中,若以PB为棱的二面角是直二面角;记∠APB=θ_1,∠BPC=θ_2,∠APC=θ,以PA、PC为棱的二面角分别PA、PC, 则:     

一道数学高考题的联想

在数学解题教学中，从通法到技巧是提高学生综合水平的一个质的变化。为全面提高学生的数学素质，在我们的教学过程中，既要在通法上下功夫，也要在技巧上做章。本讨论了立体几何中“三面角”公式的应用。