待定系数法的应用

待定系数法是一种基本的重要的数学方法 ,其应用比较广泛 .然而 ,同学们比较熟悉的仅是待定系数法在配方、有理式恒等变形、求曲线方程等方面的应用 .本文给出待定系数法在其他方面的应用 .1　在导数中应用例 1　求 (x2 x 3 ) 5展开式中含x项的系数 .解　设 (x2 x 3 ) 5=a1 0 x1 0 a9x9 … a1 x a0(a1 等是待定的系数 ) .对式子两边求导数得 :5 ( 2x 1) (x2 x 3 ) 4=10a1 0 x9 9a9x8 … a1 ,令x =0 ,a1 =5× 3 4=40 5 .2　在向量中应用例 2　如右图 ,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点 ,K、M是线段DE的三等分点 ,BK、BM与…     

一道WMTC赛题的简明解法

题目已知正数x,y,z满足x＋y＋z=1且xy＋yz＋zx＋λ√xyz≤1,求λ的最大值．（第二届世界数学团体锦标赛青年组团体赛第20题）     

一个不等式的推广

文 [1 ]中有如下一个不等式 :设 0 相似文献   

2006年第3期问题

13.在□内填数,使得四位数□□25恰有两个数字相同,有几种填法?(木子提供)14.设an表示42n 323n的个位数字,试求a1 a2 a3 … a2006的值.(湖北黄梅县第一中学435500王卫华提供)15.已知a,b,c,d均为正数,且满足abcd=1,若不等式1(1 λa)2 (1 1λb)2 (1 1λc)2 (1 1λd)2≥1恒成立,试求正数λ的取值范围.(安徽省芜湖市城南实验中学241002杨晋提供)16.已知实数a,b满足:a b=1,a2 b2=2.证明:a4 b4-2(a b) (a2 b2)=(a b) (aa5 2 bb5-2)2 (a3 b3).(尹孜提供)17.已知x,y为满足x y=1的正数,求证:xx y3 x3y y≥5(x24 y2)≥35x2 xy3 x3 yy2),.(江西南昌大学…     

因式分解的应用

因式分解是初二代数中的重要内容之一 ,不论是在求代数式的值的计算还是代数式的证明中应用都十分广泛 ,现举例如下 :例 1　已知x2 - 2xy - 1 5y2 =0 ,求 xy 的值。分析 :本题利用二次三项式x2 +(p +q)x +pq =0型的因式分解 ,将x2 - 2xy - 1 5y2 =0通过因式分解化为二个二元一次方程 ,从而求出 xy 的值。解 :由已知x2 - 2xy - 1 5y2 =0得 :(x - 5y) (x +3y) =0只有当x - 5y =0或x +3y =0时 ,原式成立。∴x =5y或x =- 3y即 xy=5或 xy- 3例 2　已知 :x - 3z =5y ,求x2 - 2 5y2 +9z2 - 6xz的值。分析 :本题先从已知入手 ,通过移项得x - 3z - 5z…     

数学竞赛中和积型问题解决的策略

在数学竞赛中经常会碰到一些涉及两数(式)和与两数(式)积的问题,这类问题一般难度较大,不易解答。解答这类问题需要掌握一定的策略。本文举例说明解答这类问题常见的策略,供同学们参考。1 利用完全平方式转化和积 例1 已知x,y,z为实数,且x y z=5,xy yz zx=3,试求z的最大值与最小值。(加拿大第10届数学竞赛题) 解由题意有x y=5-z①,xy (x y)z=3,所以xy=3-(x y)z=3-(5-z)z=z2-5z 3②,由①②利用公式(x y)2-4xy=(x-y)2≥0得(5-z)2-4(z2-5z 3)≥0,即3z2-10z-13≤0,解之得-1≤z≤13/3,故z     

向量导数巧求最值

恰当地应用好向量和导数,许多最值问题便迎刃而解,并且利用向量和导数来求最值,容易被学生接受.为了便于比较.一、用|a||b|≥a.b求最值例1已知x,y,z∈R ,且x y z=1,求x1 4y z9的最小值.解:令a=(1x,2y,3z),b=(x,y,z),则|a|2=1x 4y 9z,|b|2=1,(a.b)2=(1 2 3)2=36.由|a|2|b|2≥(a.b)2得,1x 4y 9z≥36,当且仅当1x=2y=3z时等号成立,即x=16,y=31,z=21.∴1x 4y 9z的最小值为36.例2已知ai,bi∈R ,且∑ni=1ai=∑ni=1bi=1,求a1a 12b1 a2a 22b2 … ana 2nbn的最小值.解析:令p=(a1a1 b1,aa2 2b2,…,anan bn,q=(a1 b1,a2 b2,…,an bn),则|p|2=a1a 21b1 a…     

一道捷克和斯洛伐克数学奥林匹克决赛试题的两种解法

问题若实数x,y,z满足x+y+z=12,x 2+y 2+z 2=54,试求xy的最大值和最小值.[JP3]解法1:由x 2+y 2=54-z 2,可设x=54-z 2 cosθ,y=54-z 2 sinθ.[JP]则x+y+z=12,即12-z=54-z 2(sinθ+cosθ)=108-2z 2 sin(θ+π4),从而|12-z|≤108-2z 2,解得z∈[2,6].所以xy=12[(x+y)2-(x 2+y 2)]=12[(12-z)2-(54-z 2)]=z 2-12z+45.由2≤z≤6,得9≤z 2-12z+45≤25,即xy的最大值为25,最小值为9.     

高等数学综合练习

1　填空题(1 )向量b与非零向量a平行的充分必要条件是存在一个实数λ,使。(2 )两个向量a ,b相互垂直的充分必要条件是。(3)假设平面 3x - y - 1 =0与平面 2x +ay -z - 2 =0垂直 ,则a =。(4 )点 (- 1 ,- 2 ,- 1 )到平面x +2 y +2z - 5 =0的距离d =。(5 )直线x =3y =5 +tz =1平行于坐标轴。(6 )函数 y =1ln(1 -x - y) 的定义域为。(7)曲线x =acost,y=asint,z =bt在t=π2 处的切线方程为。(8)设z=xy,则 z x=。(9)设z=ex2 +y,则 2 z x2 =。(1 0 )累次积分∫10 dx∫xx f(x ,y)dy交换积分次序后 ,得到积分。(1 1 )圆域D :x2 +y2 ≤ 2上的二重积分…     

立足基本 从项做起

新教材“不等式”一章中 ,把两项的重要不等式 a2+ b2 ≥ 2 ab ( a,b∈ R)和 a + b2 ≥ 2 ab ( a,b是正数 ) ,独立地列为一节“6 .2算术平均数与几何平均数”,删去了旧教材中三项的重要不等式 ,这说明了新教材更突出了基本知识和基本的转化思想 ,其它我们仅从这个最基本的不等式出发就可以做出精彩的文章 ,甚至解一些高难度的问题 .一、拆项例 1　 (第 9届“希望杯”高二培训题 )已知 x,y,z是正数 ,求函数 u( x,y,z) =xy + yzx2 + y2 + z2 的最大值 .解 :u( x,y,z) =xy + yzx2 + y2 + z2= xy + yz( x2 + y22 ) + ( y22 + z2 )≤ xy + yz2 x…     

一题多解,一题多变

<正>苏教版(必修5)第97页,有这样一题:已知正数x,y满足x+2y=1,求1x+1y的最小值.本题命题的目的是运用基本不等式求最小值,但怎样运用呢?在教学中,学生大都易直接应用,而导致这样的错解:因为x>0,y>0,x+2y=1,所以x+2y≥2 2xy……①,所以xy≤18,     

求最值的几种方法

近年来,各省市中考及初中数学竞赛中,经常有最值问题出现,现举例说明·一、利用判别式求最值例1(2004年全国初中数学竞赛试题)实数x、y、z满足x+y+z=5①,xy+yz+zx=3②,则z的最大值是·分析:消去一未知数,使之变为z为参数的一元二次方程·解:由①得y=5-x-z③把③代入②得x(5-x-z)+z(5-x-z)+zx=3整理得:x2+(z-5)x+z2-5z+3=0因为x为实数,所以Δ≥0所以(z-5)2-4(z2-5z+3)≥0所以(3z-13)(z+1)≤0所以-1≤z≤133·二、利用非负数性质求最值例2多项式P=2x2-4xy+5y2-12y+13的最小值为·分析:将多项式配方,使之化为几个非负数之和·解:P=2x2-4xy+5y2…     

一个不等式的正确证明

一个不等式　若x ,y ,z≥0 ,xy yz zx =1 ,则1y z 1z x 1x y≥52 ( =|x ,y ,z中一个为0 ,两个为1 ) . ( )据所知,( )式首出文[1 ],然后又见于文[2 ]、文[3 ],但其证明都隐含实质性缩小变量取值范围的错误.下面重予证明.证明:不妨设x≥y≥z≥0 ,由条件知x≥y >0 ,0≤yz≤13 ,x =1 -yzy z ,于是( )式 2 [(x y) (z x) (x y) ( y z) ( y z) (z x) ]≥5 (x y) ( y z) (z x) 2 [(x2 y2 z2 ) 3 (xy yz zx) ]　≥5 [(x y z) (xy yz zx) -xyz] 2 [(x y z) 2 1 ]≥5 [(x y z) -xyz] 2 (x y z) 2 -5 (x y z) 2 5x…     

错在哪里

1.湖北监利县一中严运华来稿题设x、y、z、λ、μ,3λ-μ>0,且 x y z=1,试证: f(x,y,z)=x/λ-μx y/λ-μy z/λ-μz ≥3/3λ-μ证令 a=λ-μx, b=λ-μy,c=λ-μz 则 f(x,y,z)=g(a,b,C)     

一道最值题的错解通解与推广

题　已知a、b、c ,x、y、z是实数 ,a2 +b2 +c2 =1 ,x2 +y2 +z2 =9,求　ax +by +cz的最大值。1　错解解　由均值不等式可得ax≤ a2 +x22 ,by≤ b2 +y22 ,cz≤c2 +z22 ,各式相加得 :ax +by +cz≤ a2 +x2 +b2 +y2 +c2 +z22=a2 +b2 +c2 +x2 +y2 +z22=1 +92=5 ,即　ax +by +cz≤ 5 ( )故　ax +by +cz的最大值为 5。错因　在用均值不等式求最值时忽略了等号成立的条件 ,因为要使 ( )等号成立 ,当且仅当a =x ,b =y ,c=z ,这与已知条件矛盾。所以ax +by +cz <5 ,即ax +by +cz的最大值不可能为 5。2　通解分析　该题的问题是由于a2 +b2 +c2 ≠x2 +y…     

“空间数”再探

设长方体三度为 x、y、z,x≤y≤z,体积 V=xyz,表面积 S=2(xy+yz+zx),棱长 L=4(x+y+z).文[1]得到 V=S=L型空间数不存在;V=S 型的有9个;得到 L=V 型的一个:48;S=L 型的一个:24.本文做进一步探索.探索1 V=L 型空间数.记 a=xy,b=zx,c=yz,则 V=L 化为(1/a)+(1/b)+(1/c)=1/4(a≤b≤c).①(1)可得5≤a≤12,a=5时,21≤b≤40.由于 x=(abc)~(1/2)/c,y=(abc)~(1/2)/b,z=(abc)~(1/2)/c 知 abc 须为平方数.由1/b+1/c=1/20,得 abc=(100b~2)/(b-20),可见须 b-20为平方数,b 可取21,24,29,36,代入方     

用待定系数法探索不等式问题的解题思路

在解不等式问题时 ,调整系数、拆项、补项是常用技巧 .但调整系数、拆项、补项时 ,既要考虑不等式的结构 ,又要符合相关要求 ,难以直接确定 .此时若用待定系数法 ,就可兼顾几方面要求 ,只需求出待定系数就行了 .例 1　已知 :1≤ 3x+2 y≤ 3,2≤ x+3y≤5 ,求 5 x+8y的取值范围 .分析　用 3x+2 y及 x+3y将 5 x+8y表示出来是解题的关键 .设 5 x+8y=m(3x+2 y) +n(x+3y) =(3m+n) x+(2 m+3n) y(m,n为待定系数 ) .由 3m+n=5 ,2 m+3n=8,解得 m=1,n=2 .解　 5 x+8y=(3x+2 y) +2 (x+3y) ,∵ 2≤x+3y≤ 5 ,∴ 4≤ 2 (x+3y)≤ 10 .又 1≤ 3x+2 y≤ 3,∴ …     

构造几何图证明不等式

在代数学习中有一类不等式较难证明,但是这类不等式却有明显的几何意义,因此,可以构造几何图形来证明这类代数不等式.下举几例,供大家参考.一、构造三角形证明不等式例1设x、y、z均为正数,求证:!x2 xy y2 !y2 yz z2>!z2 zx x2.证明:构造图1所示的三角形,使AO=x,BO=y,CO=z,∠AOC=∠AOB=∠BOC=120°.由余弦定理,有AC2=x2 z2-2xzcos120°→AC=!z2 zx x2,AB2=x2 y2-2xycos120°→AB=!x2 xy y2,BC2=y2 z2-2yzcos120°→BC=!y2 yz z2.∵AB BC>AC,∴!x2 xy y2 !y2 yz z2>!z2 zx x2.二、构造长方形证明不等式例2设a、b、c、d都是正数,…     

计算机数学基础(A)综合练习

1　选择题( 1)设z =2xy3 ,则2y=(　　)。　A 2 z y2 　　　　　　　B 2 z x2　C 2 z x y　　D 2 z y x( 2 )设z =2xy3 ,则z y x =2y =2 =(　　)。　A 8　B 32　C 2 4　D 4 8( 3)函数z=ln( 4 -x2 - y2 )x2 +y2 - 1的定义域为(　　)。　A x2 +y2 <4　B x2 +y2 >1　C 1相似文献   

求函数最值的十种构造方法

一、构造方程例1已知a,b缀R,且a3+b3=2,求a+b的最大值.解设a+b=t,则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=t(t2-3ab)=2,即ab=t3-23t,所以a,b是方程x2-tx+t3-23t=0的两实根.故驻=t2-4×t3-23t≥0.解得0相似文献