四类平均数及其拓展延伸后的几何模型

文[1]在圆中建立了四类平均数的几何模型,文[2]在四边形中建立了四类平均数的几何模型．文章以三角形为基础,首先证明共角的四个三角形共角所对应的边是四类平均数的几何模型;其次证明这四条边上的高也是四类平均数的几何模型;第三推出这四个三角形的面积及面积的算术平方根是拓展延伸后的四类平均数,并建立几何模型;第四推出具有一般性的四类平均数并建立几何模型;第五在立体图形中建立进一步拓展延伸后的四类平均数的几何模型．     

再谈四类平均数的几何模型

文[1]给出了四类平均数在圆中的几何模型,容易用尺规作出;文[2]又给出了四类平均数在四边形中的几何模型,但是其中的几何平均数及平方平均数的几何表示巨疋及巴凡不易由尺规作出．受两者启发,笔者又给出了两种用尺规容易作出的四类平均数的几何模型,期待能够抛砖引玉．     

两个优美的三角形几何不等式新问题的解决

刘保乾老师在文[1]中给出了100个优美的三角形几何不等式新问题,笔者研究了其中的第36和第69两个几何不等式,发现它们均是正确的,本文试图给出它们的一个证明.本文约定所用符号均与文[1]同.     

简证“与三角形角平分线相关的三条结论”

文[1]给出了与三角形角平分线相关的如下三条结论,并逐一加以了证明.结论1三角形的任意两条角平分线间的夹角等于第三个角的一半加上90°.结论2三角形的任一内角角平分线与它不相邻的任一外角的角平分线间的夹角等于第三个角的一半.结论3三角形的任意两个外角的角平分线间的夹角等于90°减去第三个角的一半.事实上,如果把这三个结论放在一个图形中来证明,     

再谈两倍角问题的解决策略

文[1]提出了解决三角形中两倍角问题的四种方法,并列举了四个典型的例题加以阐述,读后受益匪浅.笔者进一步深入研究后发现,这四种方法竟然都可以用辅助圆的方法统一加以解决,并给出了相应的解题策略,现整理如下,与各位老师共交流.     

共边定理及其应用与推广

<正>几何一直是初中数学的重难点,初中几何主要研究边角关系,并要求对边,角关系进行严格的证明、推理.学生普遍感觉几何好学但解题难,难在思维的深度,尤其难在辅助线的添加,许多几何题目往往受制于这神来一笔的辅助线.如何攻克这座堡垒呢?本文将介绍共边定理这一用途极广的几何解题工具,以供广大读者参考.一、共边定理共边定理建立在共边三角形的基础上,它是指,共边三角形的面积比等于第三个顶点的连线被公共边所截得的线段比.定理如图1,设直线AB     

一道几何名题的简证及其他

文[1]中提到了如下问题:问题1在一个角(C)等于60°的已知△ABC的各边上作等边三角形,则△ABC和对着∠C的新三角形的面积之和等于另外两个三角形的面积之和.此题选自胡·施坦豪斯的《数学万花筒》,文[1]中和原著的解答所用知识超出了新教材中初中阶段的要求,本文提供一个很简洁的解答.     

四类平均数的又一解析几何解释

近期文[1]、[2]、[3]分别利用四边形和圆给出高二新教材中所述的四类平均数关系问题以6种之多的平几解释.但用解几解释的甚少,仅见文[3]提供了西方学者给出的一个方案[4],"但上述模型需涉及四条二次曲线的作图,这对于中学生而言并不简单明了,因而不适合于实际课堂教学"[3].     

用好角平分线的两个隐含条件

与角平分线有关的证明问题在几何学习中屡见不鲜．由于角平分线隐含着角相等和公共边这两个条件，因此，解答它们，可考虑沿角平分线两侧构造全等三角形的方法．[第一段]     

若干优美的三角形几何不等式新问题的解决

刘保乾老师在文[1]中给出了100个优美的三角形几何不等式新问题,笔者研究了其中的几个几何不等式,发现它们均是正确的,本文试图各给出它们的一个证明．本文约定所用符号均与文[1]同．     

一个面积公式的启示

文[1]在圆锥曲线焦点与顶点三角形面积公式的基础上推出了另一个非常重要的三角形面积公式,在它的启示下,笔者又对圆锥曲线作了研究,得到了与文[1]类似两个三角形的面积公式,现说明如下,与读者共享．     

一个部分问题分类研究的补充

题目：（新人教版小学《数学》五年级上册P．87第7题）把一个三角形分成四个面积相等的三角形，可以怎样分？你能想出几种方法？把一个三角形分成四个面积相等的三角形，这涉及三角形面积的剖分，能找到多少种小学生能理解的剖分方法呢？笔者在文[1]中找到了小学生能理解（利用“等底等高的两个三角形等积”的原理）的106种剖分方法．实...     

换个角度 美不胜收——对《调和平均数与几何平均数的一种隔离》一文的思考

<正>文[1]先指出风靡数坛的"对数平均不等式"可看成是两个不等正数a,b的算术平均数和几何平均数的一种隔离,■(以下简称"不等式链①"),后给出两个不等正数a、b的调和平均数■和几何平均数■的一种隔离,即:■<■<■(以下简称"不等式链②").文[1]更换角度认识不等式链①,令人耳目一新.接下来,笔者也学着"换个角度"看问题.     

再谈一道高考题几何背景的拓展

2010高考数学湖北卷理科第15题堪称经典,该题源于教材中关于两个数的算术平均数与几何平均数的几何解释,几何背景优美.四类平均数之间的离差有着美妙的性质,其几何模型不仅美丽更是实用.     

一道典型例题多途径解决的思维过程

文 [1 ][2 ]的例 2是 :已知 a>c,b>c,c>0 ,求证 :　　　 (a- c) c (b- c) c≤ ab (* )文 [1 ]从几何的角度 ,构造三角形 ,化难为易 ,化隐为显 ,给出证明 ;文 [2 ]则从代数的角度 ,借助基本不等式 a2 b2 ≥ 2 ab予以解决 .殊途同归 ,相映成趣 .读后受益匪浅 ,又引起思考 :文 [1 ]是怎样想到构造三角形的 ,文[2 ]又怎会想到运用基本不等式 ,这其中有无规律可循 ?更进一步地 ,本例还有其它解决途径吗 ?以下是笔者的思考 ,敬请批评指正 .思考 1　这是一个无理不等式 ,一条自然的思路是通过消根号而证明 .要证 (a- c) c (b- c) c≤ ab,只要证…     

不等式中的平均数及其应用

“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”,这是众所周知的,这里要和同学们谈谈另外两个平均数:平方平均数和调和平均数。这四个平均数的大小顺序是:(a_1,a_2,…a_n均为正数) 如果我们能够充分、灵活地运用以上四个平均数之间的大小关系,那么在证明有关这四个平均数的不等式的时候就会收到事半功倍之奇效。 [例1] 已知a、b、c为互不相等的正数,求证     

焦点三角形内（旁）切圆的又一个性质

在圆锥曲线中,焦点三角形引人注目,它的面积是一个非常重要的几何量,值得我们深入探究.为此,文[1]介绍了焦点三角形内(旁)切圆的两个性质与应用,在它的启示下,笔者也对其作了点探究,又得到了一个性质,现论述如下,与读者共赏.     

巧用共边定理简证若干数学问题

笔者研读文[1]后获益匪浅,由共高三角形的面积比等于底之比引申得到的共边（角）定理,给人启迪．本文结合《数学通报》中若干数学问题浅谈一点心得,摭谈问题的同时也简化了原问题的解答．     

内外角关系的一般性结论

<正>《中学数学杂志》2017年第8期刊登了安徽华兴恒老师《三角形内外角关系的拓展与证明》(以下简称文[1]),笔者在认真研读期刊时,想到了更一般性的结论,并拓展到二次平分∠ABC、∠ACB、四次平分∠ABC、∠ACB……在此整理成文,供读者参考.为使读者能清楚本文结论的一般性,先简要介绍文[1]中的结论:(1)如图1,OB,OC是角平分线,有∠O=90°+1/2∠A;(2)如图2,OB平分∠DBC,OC平     

三角形内角的余弦性质

克罗地亚的高中是四年制的,2008年克罗地亚国家数学竞赛州赛三年级试题中有一题如下:试题设α、β、γ为某三角形的三个内角.证明:若α、β、γ满足sin3α+sin3β+sin3γ=0,则它们之中有一个角为60.笔者在文[1]对以上试题进行了探究,即对三角形内角的正弦性质进行推广.今对三角形三个内角