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《渭南师范学院学报》2011,(10)
This paper corresponds to the written versions of many lectures at several locations including the most recent one at Weinan Teachers University on June 8, 2011. I would like to thank Professor Hailong Li for inviting me to publish this in the journal of his university. I wish also to express my deep gratitude to my friend Shigeru Kanemitsu, thanks to whom I could visit Weinan Teachers University, and who also came up with a written version of these notes. The topic is centered around the equation x2 - dy2 = + 1 , which is important because it produces the (infinitely many) units of real quadratic fields. This equation, where the unknowns x and y are positive integers while d is a fixed positive integer which is not a square, has been mistakenly called with the name of Pell by Euler. It was investigated by Indian mathematicians since Brahmagupta (628) who solved the case d = 92, then by Bhaskara Ⅱ (1150) for d = 61 and Narayana (during the 14-th Century) for d = 103. The smallest solution of x2 - dy2 = 1 for these values of d are respectively 1 1512-92· 1202 = 1, 1 766 319 0492-61 -226 153 9802 = 1 and 227 5282 - 103 · 22 4192 = 1, and hence they could not have been found by a brute force search! After a short introduction to this long story of Pell's equation, we explain its connection with Diophantine approximation and continued fractions ( which have close connection with the structure of real quadratic fields), and we conclude by saying a few words on more recent developments of the subject in terms of varieties. Finally we mention applications of continued fraction expansion to electrical circuits. 相似文献
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占金虎 《咸阳师范学院学报》2008,23(6)
证明了当D为奇素数,且D=3(8k+5)(8k+6)+1,其中k是非负整数,则方程x3+8=Dy2无正整数解;当D为奇素数,且D=3(4k++3)(4k+4)+1,则方程矿x3+8=Dy2无正整数解. 相似文献
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刘碧庄 《宁德师专学报(自然科学版)》2012,24(3):250-253
对于Pell方程组x2-2y2=-1和y2-pqz2=4(p,q为两个不同素数),证明了:当pq≡2(mod4)或pq≡3(mod4)时,方程组无解.并讨论了当pq≡1(mod4)时方程组解的情况. 相似文献
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利用Gel'found-Baker方法以及丢番图逼近的有关理论,证明了Pell方程组x~2-7y~2=2,32y~2-z~2=23仅有正整数解(x,y,z)=(3,1,3),(717,271,1533). 相似文献
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乐茂华 《商丘师范学院学报》2009,25(12):4-5
利用Pell方程和二项Thue方程的性质证明了:方程x+…+x^m=y^n仅有正整数解(m,n,x,y)=(1,r,s^r,s),(r,1,s,s+…+s^r)和(s^r,r,1,s),其中r和s是任意正整数. 相似文献
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设m是正整数,D是无平方因子正整数.本文证明了:当m>1时,如果D不能被3或6k 1之形素数整除,则方程x3±23m=3Dy2没有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y). 相似文献
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设q=p',其中p是素数,r是正整数.本文证明了:当p〈100时,如果p≠2,13,17,19,43,47,53,59,67,83或89,则方程(x2)-1=(q^n-1)/(q-1)没有正整数解(x,n). 相似文献
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乐茂华 《Journal of Zhangzhou Technical Institute》2005,7(1):1-2
设D是无平方因子正整数.本文证明了:当D不能被形如6k 1之形素数整除时,方程,-1=Dyn仅当D=17时有正整数解(x,y,n)=(18,7,3)适合n>2. 相似文献
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关于Pell方程x~2-Dy~2=±1的通解公式 总被引:10,自引:0,他引:10
获得了 Pell方程 x2 - Dy2 =± 1的简洁递推关系及其通解公式 ,得到了方程 x(x 1 ) =2 y2的解集公式 相似文献
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乐茂华 《咸阳师范学院学报》2008,23(6)
设a是大于1的正整数。本文运用Pell方程的基本性质证明:当a是平方数时,方程ax(x+1)…(x+z)=y(y+1)…(y+z)仅有有限多组正整数解(x,y,z)适合y-x=2;当a是非平方数时,该方程有无穷多组正整数解(x,y,z)适合y-x=2。 相似文献
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关于Diophantine方程x3+1=3py2 总被引:1,自引:0,他引:1
设 p是奇素数,证明了:当 p=12r2+ 1,其中 r是正整数,则方程 x3+ 1=3py2无正整数解 (x,y). 相似文献
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利用Pell方程及同余的性质证明了不定方程51x4-103x2y2+51y4=-1仅有整数解(|x|,|y|)=(1,1). 相似文献
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关于Pell方程qx2-(qn±6)y2=±1(q是素数) 总被引:2,自引:0,他引:2
运用Legendre符号和同余的性质给出了形如qx2-(qn±6)y2=±1(q是素数)型Pell方程无正整数解的4个结论.这些结论对研究狭义Pell方程x2-Dy2=±1(D是非平方的正整数)起了重要作用. 相似文献
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占金虎 《咸阳师范专科学校学报》2008,(6):3-4
证明了当D为奇素数,且D=3(8k+5)(8k+6)+1,其中k是非负整数,则方程x^3+8=Dy^2无正整数解;当D为奇素数,且D=3(4k+3)(4k+4)+1,则方程x^3+8=Dy^2无正整数解。 相似文献
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应用连分数的相关知识得出了形如Ax2-(A-1)y2=1(A∈Z+,A≥2)型Pell方程解的一个结果,清晰地表述了形如Ax2-(A-1)y2=1(A∈Z+,A≥2)型Pell方程的整数解的解集,同时得出形如Ax2-(A+1)y2=1(A∈Z+,A≥2)型Pell方程的解的情况。 相似文献
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设p是素数,对于非负整数k.设F(k):=2^2k+1是第k个Fermat数,本文证明了:方程x+y+xy=2^p-1没有正整数解(x,Y)的充要条件是P=2或者P=F(k)且F(2^k)也是素数. 相似文献
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关于DioPhantine方程Xy-(X±1)z=1 总被引:1,自引:0,他引:1
证明了方程xy-(x+1)z=1仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,1);方程xy-(x-1)z=1仅有正整数解(x,y,z)=(1,s,t),(2,1,t),(r,1,1)和(3,2,3),其中r,s,t为任意正整数且r≥3,这一结果推广和改进了文献[4]中的结论. 相似文献