初中数学竞赛中的最值问题

(本讲适合初中)函数或代数式的最值问题是初中数学竞赛中的热点问题,此类问题涉及的知识点多,解法灵活多样,技巧性强,具有一定的难度.本文以竞赛试题为例,归纳解决此类最值问题的几种常用方法,供参考.1判别式法此法求最值的关键是先构造出关于某个变量的一元二次方程,再根据判别式建立不等式,最后通过解不等式来解决.例1已知a、b为实数,且a~2+ab+b~2=3.若a~2-ab+b~2的最大值为m,最小值为n,求m+n的值.(2008,全国初中数学竞赛天津赛区初     

初等方法新解一道竞赛题

赛题 已知a,b,c为直角三角形的三边长,其中c为斜边长,求使a3+b3+c3/abc≥k成立的k的最大值(第四届北方数学邀请赛试题). 由文[1]知,文[2]“利用导数的知识给出了两种证明方法,指出不能用均值不等式和幂平均不等式求a3+b3+c3/abc的最小值.”文[1]作者以均值不等式求出了a3+b3+c3/abc的最小值.     

课本中一类函数最值问题的解题策略

正人教A版教材选修4-5(不等式选讲)第10页有这样一道习题:已知a,b0,且h=min{a,b/(a2+b2)},求证:h≤2~(1/2).事实上,高中数学教学中常遇到这样一类函数最值问题,这类问题的共同特征为多个式子的最大值中的最小值或者最小值中的最大值,我们称之为函数复合最值问题.这类问题在近几年的高考数学中频频亮相,在数学竞赛中也屡见不鲜,它们共同的特点是题型新颖、表达抽象、难度较大!本文以几道典型考题为例,探讨这类函数最值问题的解题策略,供大家参考.     

复合最值问题的十大解题策略

在竞赛数学中，经常会遇到复合最值问题．所谓复合最值问题，即最大值与最小值相互嵌人求解的问题，具体地讲也就是在最大值中求最小值或最小值中求最大值的问题．这类问题比较抽象，难度较大，颇受竞赛命题者的青睐．本文拟通过典例归纳复合最值问题的十大解题策略．     

用基本不等式求最值的常见错误例析

求最大值或最小值的问题是较重要和较常见的题型之一,利用基本不等式求解又是较常用的方法.但学生在运用基本不等式求最值问题时往往出错,现就学生经常出现的错误归类予以剖析.1 忽视基本不等式成立的充分条件而出错例1 已知a、b∈R~ ,且a≠1,b≠1,求log_ab log_ba的最值.错解log_ab log_ba≥2(2~(1/(log_ab×log_ba)))=2故log_ab log_ba的最小值是2.剖析 基本不等式“a b≥2(2~1/ab)”成立的充分条件是“a、b∈R~-”.在上述解答中的对数值log_ab和log_ba     

例析线性规划问题的"变异"

线性规划是一种重要的优化模型,一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题统称为线性规划问题.教材中指出这类问题的一般方法是图解法,即运用作图的方法解决区域内最值问题,但其本质则是数形结合的方法.我们在解题中关键要注意的是这种数学基本思想的灵活运用,下面通过试题中的几例看这类线性规划问题的“变异”.1线性规划问题题目形式的“变异”例1已知1≤a b≤5,且-1≤a-b≤3,求解3a析-2b的取值范围.此题常常出现在不等式的性质的练习题中,考察的是不等式的同号相加原理,但实际上这道题用线性规划来解决更简单且易理…     

探求2006高考数学创新试题的方式

纵观近年各个省市的高考数学试卷,我们不难发现,每年都有创新试题出现,这些试题从何而来?2006年的数学创新试题又来自何方?一、推陈出新例1．三个同学对问题“关于x的不等式x~2 25 |x~3-5x~2|≥ax在[1,12]上恒成立,求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．     

如何确定实际问题中的最值

所谓最值问题,就是求最大值或最小值问题.最值问题是现实生活中一种比较常见的数学问题,在中考中也时常出现.下面仅以实际问题中的最值为例,说明此类问题的解法.一、根据不等式(组)的解集确定例1我国从2011年5月1日起在公众场所实行"禁烟",为配合"禁烟"行动,某校组织开展了"吸烟有害健康"的知识竞赛,共有20道题.答对一     

开区间上最值问题的探讨及应对策路

人教B版教材在“利用导数研究函数的最值”这一章节中谈到了“最值定理”,即“闭区间上的连续函数在该区间上一定有最大值和最小值”,关于这个定理教材中是这样表述的“假设函数y=f（x）在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不间断的曲线,则该函数在[0,b]上一定能够取到最大值和最小值”．在实际解题中我们往往会碰到在开区间上求最值的情况,那么,最值定理在开区间上是否还成立呢？显然是不成立．对此,就有了一些需要我们特别注意的问题．     

谈谈最值问题

在市场经济和日常生活中 ,我们常常碰到这样的问题 :在几个方案中 ,要确定最佳方案 ;在条件允许和合法经营的前提下 ,要追求最好的经营效益 ,尽可能获取最大利润 .我们也常常在纯数学问题中 ,碰到求最大值或最小值的问题 .我们把这类问题统称为最值问题 .实际上 ,我们在本刊 2 0 0 1年第 5期的几篇文章中已经提到这个问题 ,读者可配合阅读 .在初中数学中 ,解决最值问题 ,主要应用下列知识 :1 不等式 .例如在不等式ｘ≤ａ、ｘ≥ｂ和ｎ≤ｘ≤ｍ中 ,都可以取得最大值或最小值 (其中ａ、ｂ、ｍ、ｎ是常数 ) .2 一次函数 .当ｙ =ｋｘ +ｂ(ｋ≠ 0…     

活用非负数解题例说

非负数的应用很广，可利用它求函数值、最值、参数取值范围、求证不等式、判断三角形的形状等等．一些问题粗看似乎棘手，若能抓住非负数这条主线，就会迎刃而解．因此，利用非负数或依条件式构造非负数解题是初中数学的重要方法之一，下面举例说明活用或构造非负数解题的方法与技巧．的最大值．（1992年全国初中数学联赛题）解”．“X≠0，”．待求式的分子，故当分母X＞O时，S才有最大值．的最小值为因此，当X＝1时，S有最大值一数）取最大值／了一／了．2化为X卜X卜…十X卜0型例2已知Z－y－10一O①，＿，Z“，25一O②．求函数S—二…     

另类“恒成立”与“有解”问题——对《新高考试卷中的全称量词和存在量词》的补充

文[1]中,作者就新高考中与全称量词“”、特称量词“■”有关的不等式及方程问题作了系统的整理与区分.因为此类问题经常涉及到诸如“已知不等式恒成立,或不等式、方程有解,求参数的取值范围”等问题,我们不妨将其称之为“恒成立”问题与“有解”问题.受文[1]的启发,结合自己的思考,笔者对文[1]作一点补充,以更全面地认识此类问题.“恒成立”问题与“有解”问题的处理思路是将其等价转化为与函数最值或值域有关的问题.当函数的最大或最小值不存在时,该如何思考例1(文[1]中例1改编题1)x∈(1,2),12x2-lnx-a>0,则实数a的取值范围是.分析x∈(1,2),12x2-lnx-a>0x∈(1,2),a<21x2-lnx.当x∈(1,2)时,f(x)=21x2-lnx递增,其值域为12,2-ln2,故a≤21.注文[1]中例1“x∈[1,2],12x2-lnx-a>0”,此时函数f(x)=21x2-lnx值域为12,2-ln2,从而a<12.(文[1]中答案有误)例2(文[1]中例1改编题2)x∈(1,+∞),21x2-lnx-a<0,则实数a的取值范围是.分析x∈(1,+∞),21x2-lnx-a<0x∈(1,+...     

范围问题与最值问题的求解通法

“范围问题”与“最值问题”是解析几何的热点和难点，这类问题涉及的知识面宽，综合性强，变量多，条件较隐蔽。题目多以变量范围的计算，最大值、最小值的确定等形式出现。内在要求是依据解几自身特点，建立不等式或转化为函数求解，基本类型及解题通法如下。     

一道“希望杯”培训题的解法探究

题目 当0〈x〈a时,不等式1/x^2＋1/（a-x）^2≥2恒成立,则a的最大值是____. 分析 要使1/x^2＋1/（a-x）^2≥2恒成立.只需[1/x^2＋1/（a-x）^2]min≥2. 于是问题转化为求1/x^2＋1/（a-x）^2的最小值,因为1/x^2＋1/（a-x）^2的最小值f（a）是关于a的式子,从而建立关于a的不等式f（a）≥2,进而可求得a的最大值.     

立体几何的最值问题及求解方法

【考试要点】求解立几最值问题主要应用代数中有关函数知识和不等式有关知识求解 .解题的关键是恰当引入参变量 (一元或二元 ) ,建立目标函数 ,然后由表达式的特点求最值 .一般有如下一些途径求最值 :①“选变量 ,寻定值”运用不等式最值定值 ;②运用立体几何的有关定义求最值 ;③运用对称变换求最值 ;④运用三角函数的有界性求最值 ;⑤运用一元二次方程的判别式求最值 ;⑥运用一元二次函数求最值 .立体几何中空间距离、截面面积的最大值或最小值 ,与组合体有关的几何体的表面积 ,体积的最大值和最小值 ,以及取得最值时有关空间元素的位置、…     

用不等式求最值时应注意的两个条件

用不等式求最大值最小值,是中学数学教学中的一个重要问题,也是一个较难的问题.不管是用配方、判别式、重要不等式还是其它方法得到的不等式中,不等式的一端是定数“k”和“=”号成立是最值存在的两个必备条件,是解题的关键.     

闭区间上二次函数的最值

二次函数是最简单的非线性函数之一 ,自身性质活跃 ,同时经常作为其他函数的载体 .二次函数在某一区间上的最值问题 ,是初中二次函数内容的继续和发展 ,随着区间的确定或变化 ,以及在系数中增添参变数 ,使其又成为高考数学中的热点 .1　定二次函数在定区间上的最值二次函数是给定的 ,给出的区间也是固定的 ,我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值” .例 1　函数y =-x2 4x- 2在区间 [0 ,3]上的最大值和最小值是 .解　函数y =-x2 4x- 2 =- (x- 2 ) 2 2是定义在区间 [0 ,3]上的二次函数 ,其对称轴方程是x= 2 ,顶点坐标是 ( 2 ,2 …     

类比线性规划 求解最值问题

简单的线性规划是中学数学新教材的新增内容之一 其应用广泛 ,解题思路清晰易操作 ,是充分体现数形结合这一重要数学思想方法的好素材 .运用类比法 ,可把数学中的某些求最值或范围的“非线性规划”问题 ,用线性规划的解题思想 ,程序化地加以解决 1　在线性约束条件下的非线性目标函数的最值问题例 1　 (新教材《数学》第二册 (上 )Ｐ89第 5题 )已知2ｘ ｙ - 2 ≥ 0ｘ - 2 ｙ 4≥ 03ｘ - ｙ- 3≤ 0　　 (Ⅰ )ｘ2 ｙ2 在ｘ、ｙ取何值时取得最大值、最小值 ?最大值、最小值各是多少 ?解　根据已知的线性约束条件 (Ⅰ )画出可行域 (图 1 ) ,…     

浅谈条件最值问题的求解

最值问题是数学中常见的问题之一 ,其中条件最值是最值问题中的主要内容之一 ,它涉及到函数、不等式、三角函数、复数、几何等高中数学重要内容 ,也涉及到许多重要的数学思想方法 .解决条件最值问题的基本理论有 :函数性质、不等式性质、几何图形性质等 .本文通过举例浅谈解决条件最值问题的一般方法 .1　图像法约束条件和所求量的几何意义明显 (或通过构造几何模型 ,使其几何意义明显 )且通过图像易于确定最值或最值时的约束条件变量时 ,可采用图像法 .例 1　如果实数ｘ、ｙ满足ｘ2 + ｙ2 =3,求 ｙｘ + 2的最大值 .　　　　　图 1　　解　 …     

最值问题的基本解法

<正> 最值问题是数学竞赛的常见题型.下面介绍几种基本的解法,供参考. 一、利用不等式求解在不等式x≤a中,x=a是最小值,在不等式x≥b中,x=b是最大值.