初中数学竞赛题的解题策略与审美欣赏

1灵活运用倒序法,掌握化归策略,品赏简洁美所谓化归策略是未解决的陌生的问题通过转化,而归结为某个已解决的熟悉问题,从而获得解题途径的策略称为化归策略.例1计算2-22-23-24-25-26-27-28-29+210.分析直接计算有困难,可倒序排列,原式=210-29-28-27-26-25-24-23-22+2=29(2-1)-28-27-26-25-24-23-22+2=28(2-1)-27-26-25-24-23-22+2=27(2-1)-26-25-24-23-22+2=…=22(2-1)+2=6.例2计算s=20105+20205+20305+…+42000059(1)解倒序排列s=24000059+42000085+…+22005+…+20105(2)(1)+(2)得2s=(20105+42000095)+(20205+24000058)+…+(24000059+20105…     

找规律,巧解题

随着基础教育改革的深入,人们越来越重视学生的探索能力,要求学生能在变化复杂的背景中观察和探寻出一般规律.下面举例说明如何在代数计算问题中寻找规律.例12-22-23-24-25-26-27-28-29 210=.(全国数学邀请赛1999初一第一试试题)分析本题可以通过直接计算得出结果,但是运算量太大不可取,我们要设法寻找规律,巧解本题.经过观察发现,从第二项开始的各项中,只有最后一项210前面是加号,其它各项前都是减号,于是想到先将最后两项结合起来,实际得到29,再反复使用这种方法,可以得到简捷解法.解原式=210-29-28-27-26-25-24-23-22 2=29(2-1)-28-27-26…     

广西2004年初一数学竞赛试题（决赛）

一、填空(每空5分,共30分)1如图,用8块相同的长方形拼成一个矩形,则每块面积为.2计算:2-22-23-24-25-26-27-28-29+210=.3计算:2004×20032003-2003×20042004=.4已知ab(B)a=b(C)a相似文献   

“有借有还”巧解题

传说古代印度有一位老农,临终前留下遗嘱,要把19头牛分给三个儿子,大儿子分得总数的12,二儿子分得总数的14,三儿子分得总数的51,但一头牛也不许宰杀。三个儿子想尽办法也分不出来,一位老人牵来一头牛参与分配。这样,大儿子分得10头牛,二儿子分得5头牛,小儿子分得4头牛,三人按遗嘱分好了19头牛。老人牵回了自己的那头牛。这个故事,体现了“有借有还”的数学思想。有些数学问题利用“有借有还”来解答,可以化繁为简,变难为易,启发思维。一、借“数”解题例1计算:l+2+22+23+…+210分析与解:1+1=2,2+2=4=22,22+22=23……29+29=210,210+210=211,…     

抽象函数解读

Ⅰ.正比例函数f(x)=kx(k≠0,x∈R)的抽象函数的特征式为:(1)f(x+y)=f(x)+f(y);(2)f(x-y)=f(x)-f(y);(3)f(xy)=k1f(x)f(y),特别地当k=1时,有f(xy)=f(x)f(y).例1:定义在R上的函数f(x),恒有f(x+y)=f(x)+f(y),若f(16)=4,那么f(2003)=.解法1(基本解法):令x=y=0,得f(0)=2f(0),∴f(0)=0.令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.令y=x,得f(2x)=2f(x),f(22x)=f(2·2x)=2f(2x)=22f(x),…,f(2nx)=2nf(x).又∵f(16)=4,∴f(1)=41.∵f(2003)=f(211-25-23-22-1),∴f(2003)=f(211)-f(25)-f(23)-f(22)-f(1)=(211-25-23-22-1)·f(1)=20403.…     

精读细品巧解阅读理解题

阅读理解题作为一类新题型,在近几年中考试卷中高频率出现,阅读理解题一般由两部分组成:一是阅读材料;二是考查内容.这类题目能够帮助考生实现从模仿到创造的思维过程,符合学生的认知规律,是中考的热点题目之一,今后的中考试题有进一步加强的趋势.一、读懂思路点拨,学会模仿引申例1(2013年张家界)阅读材料:求1+2+22+23+24+…+22013的值.解:设S=1+2+22+23+24+…+22013,将等式两边同     

这种方法更好

文 [1 ]利用定理 :设 0≤ fi≤ gi(i=1 ,2 ,… ,n) ,则f1 g22 - f 22 f2 g23- f23 … fn g21 - f21 =12 (g21 g22 … g2n) f 21 f22 =g22 ,f22 f23=g23,……f 2n f21 =g21 .给出解无理方程的一种方法 .但是 ,这种方法不易被初中学生接受 .实际上 ,能够利用该定理解的无理方程完全可以用恒等式 ab=a2 b22 - (a- b) 22 给予解决 ,而且初中生接受起来也并不困难 ,下面就以文 [1 ]中的几道例题为例 ,给予说明 .例 1　解方程x 4- y2 - y 9- z2 - z 9- x2 =1 1 .解　原方程可化为[x2 (4- y2 )2 - (x- 4 - y2 ) 22 ] [y2 (9- …     

老师的一道题

今天的数学课上,杨老师在黑板上给同学们出了下面这道题:计算1/1×2 1/2×3 1/3×4 … 1/98×99 1/99×100.全班同学都知道求这个多项式的值一定有诀窍,不一会儿小明说出了他的见解.原式的每一项都可以进行类似的变形:     

一道国际数学竞赛题的巧解(初一、初二、初三)

题求所有这样的正整数n,使得2“ 21‘ 2”是一个自然数的完全平方. (全俄第6属中学生奥林匹克竟赛试题) 解(l)当n<8时, N=28 2“ 2月=2.(28一 2“一 1). 因为N为偶数,2s一”十211一”十1为奇数, 所以2”必为完全平方数, 即n为偶数,n只能取2,4,6. 当n一2时, N一28 211 2,=22(26 29 1), 经检验不是完全平方数. 当n一4时, N~28 2“ 2‘~24(24 2, 1), 经检验也不是完全平方数. 当n一6时, N=28十2“ 26=26(22 25十1), 也不是完全平方数. (2)当n)8时, N=28 21‘ 2.一28(1 23 2r8) ~28(9 2~8). 因为2s是完全平方数, 所以9 2间必是完全平方数. …     

再论一道选择题的解法(高一、高二)

第十一届“希望杯”全国数学邀请赛高二第2试第2小题为: △A月C中,仪二一6,仪了边上的高为4,则月23·AC的最小值是() (A)24.(B)25.(C)24涯(D)26. 在《数理天地》2001年第1期中对这道题已给出两种解法,读后很受启发,现再给出另外两种解法供参考. 解法1排除因为冬AB .AcsinA一S△AB。一喜.4 .6,~/子2一-一一‘-一。~‘2因为(x一3)2+7一0无解. 这说明选项A不对. 考虑到特殊情况;若D点为BC中点,则八扫一AC一了BD“+AD“一5,所以A月·AC~25.又考察选项C、D知,24授,26均大于25,所以选项B正确. 解法2极值 如图2,过A点作l//B(二,过BC…     

一道数学竞赛题的多种解法

近年高中数学联赛有这样一道题 :实数x ,y满足 4x2 - 5xy +4 y2 =5,设S =x2 +y2 ,则 1Smax+1Smin的值为 .下面给出这道题的多种解法 .解法 1　由题设易知S =x2 +y2 >0 ,设x =Scosθy =Ssinθθ为参数 ,代入 4x2 - 5xy+4y2 =5,得 4Scos2 θ- 5Ssinθcosθ +4Ssinθ=5,所以sin2θ =8S - 105S ,于是有｜8S - 105S ｜≤ 1,所以1013≤S≤ 103,所以Smax =103,Smin =103,所以 1Smax+1Smin=310 +1310 =85.解法 2　由x ,y为实数可知 :x2 +y2 ≥ 2 ｜xy｜所以 - x2 +y22 ≤xy≤ x2 +y22 .又 4x2 - 5xy +4 y2 =5,得 5xy =4x2 +4 y2 - 5所以4x2 …     

由一道题目所引发的思考

在人教版课程标准实验教科书<数学>第二册的77页有这样一题:把21、22、23、24、25、26、27、28、29这九个数填入○里,使横行、竖行和斜行上三个数相加都等于75.     

关注学生的发展

在人教版课程标准实验教科书<数学>第二册第77页有这样一题:把21、22、23、24、25、26、27、28、29这9个数填入○里,使横行、竖行和斜行上3个数相加都等于75.     

第44届IMO试题解答

一、设{S=1,2,…,1000000}.A为S的一个101元子集.证明:在S中存在数12100,,,tttL,使得下列集合{|}jjAxtxA= ?1100)j#中的任意两个都不相交. 证 一般,对任意实数集S与A,令||,Sn= 2||(2),Aknkk=- 211[]1nmkk-= - ,则S中存在m个数(1)itim#满足题给条件. 记*{|,}AxyxyA=-? 我们有*.ijijAAttA=?蜪 任取一个1tS,由于*A中非零数的个数不多于(1)kk-,故S的子集11{|*}SxxtA=-蔚脑馗鍪簧儆?(1)nkk-- .同理,任取211,tSS的子集22{|*}SxxtA=-蔚脑馗鍪簧儆?2(1)nkk-- ,依此类推,取出1mt-后, 2mS-的子集11{|*}mmSxxtA--=-蔚脑馗鍪簧…     

《中华家教》杂志祝您2008年新年快乐!

1月2月3月日一二三四五六l汁2苗3义4竺5让6尘7又8方9”，o”，‘韶，2势一3契14望15契16契17竿18’.19’_ 20’_21众22儿23)、24 L 25丈26左27，28’亡29’t 30‘犷32简日一二三四五六l哭2!( 3达4亲5笼6「7六8初9“l()韶11契12契13望14契15契16丫17’18，19票20志21)L 22丈23仁24丈25人26一27’‘28竺29鹭日一二三四五六30’七31茜l品2{!3艾4让5盆6笑7产8，! 9阳10匆11留12契13契14笔15契一6契17竿18竺19上20套21占22儿23人24右25丈26丈27不28竺29‘十《中华家教》杂志祝您2008年新年快乐!~~…     

圆锥曲线方程

课时一　椭圆的标准方程及几何性质 基础篇 诊断练习一、填空题1.椭圆 4 x2 + 2 y2 =1的焦点坐标为 ,准线方程为 ,离心率为 .2 .椭圆 x29+ y24 =1上任意一点 P到两焦点 F1,F2 的距离之和为 ,三角形 F1PF2 的周长为.3.椭圆 x22 5+ y216 =1上一点 P到右焦点 F的距离是长轴两端点到右焦点 F的距离的等差中项 ,则点 P的坐标为 .4 .椭圆 x24 + y23=1与两对称轴的交点分别为 A ,B,C,D ,则四边形 ABCD的内切圆的面积为 .二、选择题1.设焦距为 2 c =6 ,焦点在 x轴上的椭圆经过点Q( 0 ,- 4) ,则该椭圆的标准方程为 (　　 )( A) x210 0 + y23…     

2006年第5期问题解答

25.请加一个条件,将图中的阴影部分面积求出来(.长度单位是厘米)解:由于此题中正方形的边长是圆的直径,所以要求出阴影部分的面积,只要在正方形的边长、面积及圆的半径、直径、面积等这些量中任意知道其中一个,就可以求出阴影部分的面积.如,若增加正方形的面积为25平方厘米这个条件,则可以知道其边长为5厘米,所以阴影部分的面积为25-π×(2.5)2=25-6.25π(平方厘米).26.设三角形三边长分别为a,b,c,且有(1)a>b>c(;2)2b=a c(;3)b为正整数(;4)a2 b2 c2=84.求a c b2的值.解:由条件可得a c=2b,ac=5b22-84.构造一元二次方程x2-2bx 5b22-84=0.所以…     

用平均值代换法证一不等式

题　设实数 a,b满足 ab>0 ,证明 :3 a2 b2 (a b) 24≤ a2 10 ab b212 ,并求等号成立条件 .一般地 ,证明 :对任意实数 a,b均有3 a2 b2 (a b) 24≤ a2 ab b23,并求等号成立的条件 .这是《数学通讯》2 0 0 1年第 2 1期上刊登的第 14届爱尔兰数学奥林匹克第 1试第 5题 .参考解答在证这道题的后一部分时用了分类讨论法 (分 ab>0 ,ab≤ 0 ) ,这里用平均值代换法 ,可以一气呵成 .证明　设 x=a b2 ,y=a- b2 ,则 a=x y,b=x - y,不等式3 a2 b2 (a b) 24≤a2 ab b23等价于3 (x2 - y2 ) x2 ≤ 3x2 y23,等价于 2 7(x2 - y2 ) x2≤ (3x2 y2 ) 3 ,即 2…     

莫入貌似完美的陷阱--谈教学中假定性错误的辨析

笔者在翻看G·波利亚的《数学与猜想》第一卷《数学中的归纳和类比》时看到如下一个问题 :级数 1- 12 + 13- 14 + 15 - 16 + 17- 18+… =L收敛 ,从其头两项可对L作粗略估计 :12 相似文献   

“三角形正切、余切公式”的应用

在△ ABC中 ,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,S是△ ABC的面积 ,由半角公式tan α2 =1 - cosαsinα 及余弦定理易得一组正切公式 :tan A2 =a2 - ( b- c) 24 S ,tan B2 =b2 - ( c- a) 24 S ,tan C2 =c2 - ( a- b) 24 S .由余弦定理可得一组余切公式 :cot A=b2 + c2 - a24 S ,cot B=c2 + a2 - b24 S ,cot C=a2 + b2 - c24 S .这两组公式结构对称 ,易于记忆 ,作用类似于正弦定理、余弦定理 ,用于解一些三角题可达到事半功倍的效果 .本文精选几例 ,以飨读者 .例 1　设 a,b,c是三角形的三条边 ,α,β,γ是这三条边的对角 ,如果 a2 + b2 …