谈Sn=a_1-a_nq/1-q的推导

公式S_0=(a_1-a_nq)/(1-q)教材上使用的是“错位相减法”。这种方法用途很广,比如说在求一个等比数列{a_n}与一个等差数列{b_n}对应项积的数列{a_n·b_n}的前n项和时,就可以如此求得: 设{a_n}的公比为q,{b_n}的的公差为d: S_n=a_1b_1+a_2b_+…+a_nb_n (1) 在(1)两边同时乘以{a_n}的公比q: qS_n=a_1b_1q+a_2b_2q+…+a_nb_nq     

数列求和常用的三种方法

数列求和是中学数学的重要内容之一,也是高考数学的重点考查对象之一.它对于提高数学思维能力十分有益,下面介绍数列求和的几种常用方法。一、错位相减法设数列{a_n}是等比数列,数列{b_n}是等差数列,则求解数列{a_nb_n}或{a_n/b_n}的前n项和S_n均可用错位相减法.例1设{a_n}是等差数列,{b_n}是各项都为正数的等比数列,且a_1=b_1=1,a_3b_5=21,a_5＋b_3=13,（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式;     

等比数列求和公式的另一种证明

对等比数列求和公式(高二代数第58页)S_n=(a_1(1-q~n))/(1-q)给出下面的证明较书上的简捷易懂。对等数列{a_n}由它的定义有 a_2/a_1=a_3/a_2=…=a_n/(a_(n-1))=q (a_2+a_3+…+a_n)/(a_1+a_2+…+a_(n-1))=q (S_n-a_1)/(S_n-a_n)=q (S_n-a_1)/(S_n-a_1q~(n-1))=q     

等比数列前n项和公式的五种证法

设数列a_1,a_2,…,a_n,…为等比数列,公比为q,则它的前n项和即为S_n=a_1 a_2 a_3 … a_n,当q=1时,显然有S_n=na_1,以下用五种方法证明,当q≠1时,S_n=a_1(1-q~n)/(1-q)。     

数列求和方法大全

<正>数列求和是数列的重要内容之一,除等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的方法和技巧。下面结合实例具体谈谈数列求和的基本方法和技巧。1.公式法例1在等比数列{a_n}中,公比为q,S_n是其前n项和,若a_1=2,a_3=a_2+4,求S_n。解析:由题得2q²=2q+4,即q2=2q+4,即q²-q-2=0,解得q=2或q=-1。     

对两个错答的纠正

贵刊1988年1—2期合刊“高中代数综合训练与检测”中有两道练习题的答案是错误的,现纠正如下: 练习一8.有一等差数列{a_n}和等比数列{b_n} 若a_1=b_1>0,a_(2n 1)=b_(2n 1),试比较a_(n 1)和b_(n 1)的大小。原答案:当q≠1时,a_(n 1)>b_(n 1);当q=1时,a_(n 1)=b_(n 1)是错误的,今举一特例说明: {a_n}:3,3,3,3,3.d=0。 {b_n}:3,-3,3,-3,3。q=-1。它们分别是符合题意的等差数列和等比数列,但当n=2时有a_(n 1)=3=b_(n 1),并非a_(n 1)>b_(n 1)。下面给出正确的解答: 设等差数列{a_n}的首项为a_1,公差为d,     

一类积数列{a_nb_n}求和的几种方法

<正>设数列{a_nb_n}中{an}是等差数列(公差d≠0),{b_n}是等比数列(且公比q≠1),我们不妨称这类数列为积数列.记其前n项和为     

递推数列a_(n+1)=qa_n+b_1p_1~n十b_2p_2~n+b_3的通项公式

我们考虑这样的数列:已知数列{a_n}的a_1,并且递推公式为a_(n+1)=qa_n+b_1P_1~n+b_2p_2~n+b_3,其中q,P_1,P_2,b_1,b_2,b_3为常数,且q≠0,P_1,P_2≠1,P_1≠P_2,这个数列的通项公式如何求法,我们分以下几种情况来讨论这种问题.一、q≠1的情况(一)当q≠pi(i=1,2)时,设a_n=u_n+a_1p_1~n+a_2p_2~n+a_3,其中a_1、a_2、a_3为待定系数.将此式代入上面的递推公式中,得     

一点异议与一点建议

一对等比数列前n项和的公式另一种证明的异议贵刊1985年第3期《等比数列求和公式的另一种证明》一文中,给出了等比数列前n项和的公式(以下称公式)的又一证法。转述如下: “对于等比数列由它的定义有 a_2/a_1=a_3/a_2=…=a_n/a_(n-1)=q (a_2+a_3+…+a_n)/(a_1+a_2+…+a_(n-1))=q (S_-a_1)/(S_n-a_n)=q (S_n-a_1)/(S_n-a_1q~(n-1))=q 整理得 S=a_1(1-q~n)/(1-q) (q≠1)”     

1999年全国高中数学联合竞赛

一、选择题(满分36分,每小题6分) 1.给定公比为q(q≠1)的等比数列{a_n},设b_1=a_1 a_2 a_3,b_2=a_4 a_5 a_6,…,b_n=a_(3n-2) a_(3n-1) a_(3n),…,则数列{b_n}( ). (A)是等差数列 (B)是公比为q的等比数列 (C)是公比为q~3的等比数列 (D)既非等差数列又非等比数列 2.平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点叫做整点.那么,满足不等式     

数列的几个求和公式及其应用

在各类竞赛及历年高考试题中,经常出现形如{a_nb_n},{a_ia_i+1...a_i+n-1}和{1/a_ia_i+1...a_i+n-1}的数列及其可以归为这3类数列的求和问题与相关问题,其中{a_i}是一个以d为公差的等差数列,{b_i}是一个以q为公比的等比数列,本文旨在给出这3类数列的求和公式,以及这些公式在解题中的应用。定理1 设{a_n}是以d为公差的等差数列,{b_n}是以q(≠1)为公比的等比数列,那么     

一道课本习题的拓展及应用

高中数学人教版第一册(上)第137页有这样一道题:两个等差数列{a_n},{b_n},且(a_1 a_2 … a_n)/(b_1 b_2 … b_n)=(7n 2)/(n 3),求(a_5)/(b_5)的值.分析:设{a_n}的公差为d_1,前n项和为S_n,{b_n}的公差为d_2,前n项和为T_n,则(S_n)/(T_n)=(7n 2)/(n 3).     

由一个堆积问题引出的两类数列的求和公式

数列求和中的堆积问题,是应用初等数学方法来解决数列求和问题中的难点,将此问题进行总结推广,给出了等差数列与等比数列中堆积问题求和的两个公式:Sn=C1na1 C2nd与Sn=(a1)/(1-q)n-(q-qn 1)/(1-q)(q≠1).但对于一般数列求和中的堆积问题,仍有待于深入地探索与研究.     

对一类数列求和问题的探讨

<正>我们常常碰到这样一类数列,{a_n}在这个数列中的每一项都是一个等差数列{An+B}和一个等比数列{q~n}(q≠1)对应项的乘积,我们不妨称之为差比数列.差比型数列求和问题是常见的数列求和问题,本文对该类数列题进行了探讨,总结了该数列求和的三种方法.设差比型数列{a_n}的通式为a_n=(An+B)q~n(q≠1),其中的Bqn部分在进行前n项求     

一道高考数列题的完整解答

一九九六年全国统一高考数学(文科类)第21题:设等比数列{a_n}的前n项和为S_n,若S_3 S_6=2·S_9,求数列的公比q. 《参考答案》中给的解答如下: 解 若q=1,则有S_3=3a_1,S_6=6a_1,S_9=9a_1,但a_1≠0,得S_3 S_6≠2·S_9,与题设矛盾,故有q≠1. 又依题意S_3 S_6=2·S_9可得     

一类数列求和的新方法

我们知道,若数列{a_n},{b_n}分别是等差数列和等比数列,求数列{a_nb_n}的前 n 项和S_n,通常是采用错位相减法,本文将另辟蹊径,利用“先积分再求导”给出这类数列求和的新方法,兹举例说明.     

一阶递推数列通项公式的推导及应用

设数列{an}满足一阶递推关系:an+1=pan+q.当P≠1且P≠0,q≠0时,数列{an)非等差、等比数列.其通项公式有两种求解思路. 思路1-转化为等比数列求其通项公式在an+1=pan+q中,两边同减去q/1-p得an+1-q/1-p=p(an-q/1-p).     

逆用等差、等比数列的求和公式

有很多问题需要逆用等差、等比数列的求和公式来解决问题.(一)逆用等差数列的求和公式例1已知数列{a_n}满足a_1=1,a_(n 1)=2a_n 1(n∈N~*) (Ⅰ)求数列{a_n}的通项公式;     

课堂“探究式教学”的案例剖析

1 引子不久前一位学生拿着下面的问题:“等差数列{a_n}中,公差d是正整数,等比数列{b_n}中,b_1=a_1,b_2=a_2,现有数据:①2;②3;③4;④5,当{b_n}中所有的项都是数列{a_n}中的项时,d可以取______(填上你认为正确的序号)”(注:本文中所提到的数列均指无穷数列)请教于笔者,待弄清问题后,笔者与学生进行了如下的对话:     

拓广基础知识 发展思维能力

一九八三年高考理工农医类数学试题第八题:已知数列(a_a)的首项a_1=b(b≠0),它的前n项和S_n=a_1 a_2 …… a_n(n≥1),并且S_1,S_2,…,S_n,…是一个等比数列,其公比为P(p≠0且|p|<1)。(1)证明a_2,a_3,…,a_n…(即{a_n}从第2项起)是一个