用换元法解一类最值问题

最值问题一直是各类考试的热点,也是学生学习的难点,对条件可化为两个非负数和为1的最值问题可以用三角换元法简洁、明了地解决. 问题 若实数x,y满足x2+y2+xy=1,x+y的最大值是_________. 分析 由条件,原式可化为(x+y/2)2+3/4y2=1,令x+1/2y=cosα,且2√3/2y=sinα,1 则x+y=1√3sinα+cosα=2√3/2sin(α+θ).所以,x+y的最大值是 2√3/2.     

一类几何最值的求法

在学习解析几何时，常常会遇到：如果实数x、Y满足二元二次方程f(x,y)=0，求y/x、y-2/x-1、3x+4y等的最值，即求ax+by+c/a‘x+b‘y+c‘型的最值问题．本文通过实例说明该类几何最值问题的常见解题方法．     

圆锥曲线的一个优美性质

笔者近日在学习和研究圆锥曲线时,发现圆锥曲线与其切线有关的一个优美的性质,现表述如下,以期与同仁分享. 性质1 已知A,B是椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)上不同的两点(不同时在坐标轴上,或kOA·kOB≠-b2/a2),O为椭圆C的中心,椭圆C在点A,B处的切线分别与直线OB,OA相交于P,Q两点.则AB∥PQ. 证明:如图1,设A(x1,y1),B(x2,y2).则切线AP,BQ的方程分别为:x1x/a2+y1y/b2=1,x2x/a2+y2y/b2=1.直线OA,OB的方程分别为:y=y1/x1x,y=y2/x2x由方程组｛x2x/a2+y2y/b2=1 y=y1/x1x,解得点Q的坐标为xQ=a2+b2+x1/b2x1x2+a2y1y2,yQ=a2+b2+y1/b2x1x2+a2y1y2.     

几个数学问题的加强

1 (<数学通报>2009年1月号问题1772)设x、y、z ∈R+.试证: y+z/2x+z+x/2y+x+y/az≥2x/y+z+2y/z+x+2z/x+y (1) 今给出(1)式的一个加强推广,供参考.     

一次别开生面的探究活动

<正>本人就教材上一道探究拓展题,组织高一年级学生开展了一次探究拓展活动,就如何体现学生的学习主体地位进行了有效尝试.本活动让学生自主探究,并进行成果交流,充分调动了学生的学习积极性,这次探究活动的内容与形式是:(1)探究拓展问题:苏教版《数学》必修5第94页探究拓展题:已知正数x,y满足x+2y=1,求1/x+1/y的最小值;(2)操作方式:自主探究与合作讨论,由     

重视变式训练 激活思维能力--一类不等式问题的统一解法

1　问题的出现已知x、y∈(0 ,+∞) ,且x+2 y=1,求1x +1y的最小值.学生甲:∵x >0 ,y>0x +1x ≥2 ,2 y+1y ≥2 2 ,∴x+2 y+1x +1y ≥2 +2 2 .∵x +2 y=1,∴1x +1y ≥1+2 2故1x +1y 的最小值为1+2 2 .学生乙:∵x >0 ,y>01=x+2 y≥2 x·2 y,∴xy≤18.因此　1x +1y ≥2 1xy ≥2 8=4 2 .故1x +1y 的最小值为4 2 .以上是学生解这道题目时的两种典型错解,错误的根源在于多次使用了均值不等式,而等号不能同时取到.2　问题的解决本题的条件是正数x、y的一次齐次式等于常数,即x+2 y=1,要求最小值的式子的分母是关于x和y的一次多项式,如果能把1x +1y 化…     

聚焦联赛中不等式的解题方法

<正>不等式一直是数学竞赛和高考的热点,也是学生学习的重点.但由于其解题方法千变万化,对学生的化归、逻辑推理、发散能力均要求较高,所以学生不容易掌握.本文将从七个方面加以阐述,以便对求解不等式提供帮助.一、公式法例1(2015年山东省预赛题)已知x,y∈[0,+∞)且满足x³+y3+y³+3xy=1,则x3+3xy=1,则x²y的最大值是____.解将z看成-1,利用公式x2y的最大值是____.解将z看成-1,利用公式x³+y3+y³+z3+z³-3xyz=(x+y+     

三个不等式的统一研究

题1(《数学通报》2007年1月1651号问题)已知x、y、z∈R+,n∈N,求证:x/nx+y+z+y/x+ny+z+z/x+y+nz≤3/n+2(1).     

问题解决与反思学习——谈一堂习题课的教学体会

一堂“基本不等式”的习题课上 ,老师提出这样一个问题 1:“若 x,y∈ R+,且 x + y =1,则 1x + 1y的最小值是 4,若 x,y∈ R+,且 1x + 1y =1,则 x+ y的最小值也是 4.那么若 x,y∈ R+,且 x +y = 1,则 1x + 4y 的最小值是不是与若 x,y∈R+,且 1x + 4y =1,则 x + y的最小值相同 ?为什么 ?”有的学生很快有了答案 ,有的学生怎么也做不出结果来 .老师问那些做出结果的同学 ,答案相同吗 ?学生 [1]说 :相同 .老师又问 :你是怎样求的 ?学生 [1]说 :因为 x,y∈ R+,且 x + y =1,所以 1x+ 4y=(1x+ 4y) (x + y) =5 + yx+4xy ≥ 5 + 2 yx .4xy =9(等号成…     

一次函数常见错误剖析

学习了一次函数后,在解答相关问题时,一部分学生由于对其定义、性质、图象理解不透,对问题考虑不周,再加上受思维定势和生活阅历等因素的影响,因而常会出现一些思维误区,导致错误解答.现将常见的错误剖析如下.一、概念理解模糊而致错例1下列函数1（1）y=2πx;（2）y=-1/x;（3）y=3x-1;（4）y=x²-7;（5）y=3^-1-4x;（6）y=（6x）^1/2+2;（7）3x+4y=5是一次函数的有错解:只有（3）.剖析:一次函数y=kx+b（k≠0）的实质是关于自     

一道不等式高考题的证明与推广

题目 设x≥1,y≥1,证明:x+y+1/xy≤1/x+1/y+xy. 这是2011年高考安徽卷理科第19题,本文给出该不等式的两种证法并对不等式进行推广,与大家交流分享. 证法1:右边减去左边得1/x+1/y+xy-x-y-1/xy=y+x+x2y2-x2y-xy2-1/xy,将分子以x为主元整理得y(y-1)x2+(1-y2)x+y-1,即(y-1)(x-1)(xy-1),因为x≥1,y≥1,所以(y-1)(x-1)(xy-1)≥0,故1/x+1/y+xy-x-y-1/xy≥0,即x+y+1/xy≤1/x+1/y+xy,当且仅当x=1或y=1时等号成立.     

一次变式教学带来的意外收获

一、提出问题 笔者现任教高三理科实验班,在教学中遇到这样一个问题:(Ⅰ)已知不等式x/2x+y+y/x+2y≤c≤x/x+2y+y/2x+y对一切正实数x,y均成立,试求常数c的值.     

椭圆问题的圆化处理

对于椭圆x2/a2+y2/b2=1,令x’=x/a,y’=y/b,则椭圆方程变为:x’2+y’2=. 1,此为单位圆方程.这样,椭圆问题就可充分利用圆的性质来解决了.举例说明. 例1若直线l:x+2y+t=0与椭圆C:x2/9+y2/4=1相交于两点,求t 的取值范围. 解:令x=3x’,y=2y’,则椭圆C和直线l分别变成圆C’:x'2+y'2= 1和直线l':3x’+4y’+t=0.     

一道高中竞赛加试题的推广

2005年全国高中数学联赛加试第2题为:设正数a,b,c,x,y,z满足cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c,求函数f(x,y,z)=x2/1+x+y2/1+y+z2/1+z的最小值. 文[1]得到该问题等价于:     

一个不等式的再推广

题目已知x,y,z∈R+,满足x+y+z=1,求证:(x+1/x)(y+1/y)(z+1/z)≥1000/27.     

分式运算及解分式方程易错点追踪

我们初学分式时,由于对知识的理解不透彻,方法运用不熟练,常常出现一些不必要的错误,失分率较高.本文对同学们在学习分式时出现的几种常见错误进行了梳理,对其错因作简单剖析,希望帮助同学们避免错误,走出误区.一、随意约分例1 x~2-y~2/x+y是整式还是分式?1/x+2呢?x-1-π呢?错解因为x~2-y~2/x+y=(x+y)(x-y)/x+y=x-y,所以x~2-y~2/x+y是整式;1/x+2是整式;x-1/π是分式.     

一个数学问题的推广

<数学通报>2002年11月1403号问题"x,y,z∈R+,且x4+y4+z4=1,求x3/1-x8+y3/1-y8+z3/1-z8的最小值",笔者读后,受益匪浅,感受颇多,此问题发散的诸多特殊情形经常在各类竞赛里出现,本文就此问题进行推广.     

有心圆锥曲线不等式的建立及作用

定理1设x2/a2+y2/b2=1,则a2+b2≥(x+y)2,当且仅当x/a2=y/b2时上式取等号. 证明a2+b2=(a2+b2)(x2/a2+y2/b2)=x2+y2+b2x2/a2+a2y2/b2≥x2+y2+2xy(x+y)2.     

问疑答难

问题 1.已知不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1,2]及y∈[2,3]恒成立,求a的取值范围. 解:由于x∈[1,2],y∈[2,3],不等式xy≤ax2+2y2两边同除以xy,可得1≤ax/y+2y/x.分离参数a,可得a≥y/x-2·(y/x),即a≥y/x-2·(y/x).在x∈[2,3]时恒成立.     

美国数学月刊数学问题12083的推广

2019年第3期《美国数学月刊》刊登了摩洛哥人Alijadallah Belabesset提供的问题.问题12083[1]设x,y,z>0,证明:1/x+y+1/y+z+1/z+x≥3√3/2√x^2+y^2+z^2(1).本文从变量的个数与系数出发,给出如上不等式的三个推广.