动点轨迹的复数方程的几种求法

在高二数学“复数”这一章的学习中,如何在复平面内求动点Z的轨迹方程是复数知识的一个重点,也是一个难点.在复平面内,动点对应的是一对变化的实数,动点轨迹是实数方程f(x,y)=0;而在复平面内,动点对应的是一个变化的复数,动点轨迹的复数方程是f(z)=0.这两个方程在本质上是完全一致的,都是以数表示点,以方程表示曲线,但在形式上并不相同,所以在复平面内求点Z的轨迹可以利用、借鉴实平面内求轨迹的方法,还可以利用复数所具有的特殊性质另辟蹊径.下边略举几例说明求轨迹复数方程的一些方法.     

用代入法解图象变换问题

在平面解析几何中，求曲线的方程常常用到代人法．所谓代人法是指：如果曲线轨迹的动点M（x，y）依赖于另一动点N（x0，y0），而点N（x0，y0）又在某已知曲线，（x，y）=0上，则可先根据已知条件列出关于x、y、x0、Y0的方程组，利用x、y表示出。     

用“刚体运动”解一类轨迹与最值问题

我们先看一个例题 :例 1　已知动点 P在上半圆 x2 y2 =1(y≥ 0 )上运动 ,定点 Q(2 ,0 ) ,线段 PQ绕点Q顺时针旋转 90°到 QR,求动点 R的轨迹以及 R到圆心 O的距离的最大值和最小值 .这类问题的解法较多 ,较常规也较简单的解法是“复数法”:图 1先把圆方程改写成复数方程 :| z|= 1 ,设动点 P,R的复数为 z P,z R,定点 Q的复数为 z Q= 2 .再利用复数的向量旋转性质可得关系式 :(z R- z Q) i=z P- z Q,解得 z P=(z R- z Q) i z Q,代入圆的复数方程得| (z R- z Q) i z Q| =1 ,代入相关数据 ,并设动点 R(x,y) ,化为普通方程即是(x…     

不设而解—处理复数问题的重要方法

复数是中学代数的重要内容之一,复数沟通了代数、三角、平几、解几等各部分数学知识,因此处理复数问题时方法十分灵活,一个题常可有多种解法。如常见的,求复数 Z 在复平面上对应的点的轨迹(或求|Z|的最值)时,常设 Z=x yi(x,y∈R),将 x,y 表成同一参数的解析式,再消去其中参数,得到平面解几中关于 x,y 的普通方程,这时不难画出其图形,也不难直接从图形得出|Z|的最值;如果题目条件中已知某复数|Z_0|=r 甚至|Z_0|=1,这时一般采用三角形式 Z_0=r(cosθ tsinθ)更为方便(这时常需研究 r,θ的关系)。     

求轨迹方程中常见的4种错误

有些同学求轨迹方程时，直接就写出有关x、y的关系式，这是不严密的，应该是先设所求轨迹上的动点坐标为（x，y），再根据题意列方程，尤其是题目中有多个动点时，一般设所求轨迹上的动点坐标为（x，y），其他动点的坐标为（x1，y1）或（x0，y0）等。     

安徽卷理科21题

题目如图1,设λ〉0,点A的坐标为（1,1）,点B在抛物线y=x^2上运动,点Q满足→（BQ）=λ →（QA）,经过Q点与x轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足→（QM）=λ →（MP）,求点P的轨迹方程。分析本题主要考查直线和抛物线方程,平面向量的概念、性质及运算,动点轨迹方程等基本知识,考查灵活运用所学知识探究问题和解决问题的能力,全面考查考生的数学综合素养     

对一道复习参考题解法意义探究

全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第二册(上)(以下简称教科书)P89.10.题目求当点(x,y)在以原点为圆心,a为半径的圆周上运动时,点(x y,xy)的轨迹方程.经研究发现,题目解法丰富,意义广泛,可推广为解决诸多问题的通法.解法1:由已知,圆方程为x2 y2=a2,P(x0,y0)是圆上的点,Q(     

对2011年高考数学安徽卷压轴题的探究

2011年高考数学安徽卷理科第21题:设λ>0,点A的坐标为(1,1),点B在抛物线y=x2上运动,点Q满足BQ→=λQA→,经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足QM→=λMP→,求点P的轨迹方程.本题设计新颖,主要考查直线和抛物线的方程,动点的轨迹方程,平面向量的概念、性质、运     

关于一阶微分方程的初值问题的一点注记

1.问题的提出 我们来看下列问题的举例及解答。 例1 设第一象限内的曲线y=y（x）对应于0≤X≤a一段的长等于曲边梯形0≤y≤y（x）,0≤x≤a的面积,a>0是任给的,y（O）=1,求y（X） （参注释[2]p32.11.5131） 编者在答案与提示中给出; y=chx 例2 在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P（x.y）处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数（Q是法线与x轴的交点）。且曲线在点（1,1）处的切线与x轴平行。（参注释[2]P317,11.5.5全国硕士研究生统考题） 解:曲线y=y（x）在点（x,y）处的法线方程是     

高中数学导数与斜率的辨析及应用

教材（人教版）对于导数的几何意义是这样叙述的：“函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f（x）在点P（x0,f（x0）处的切线的斜率,也就是说,曲线y=f（x）在点P（x0,f（x0））处的切线的斜率是f（x0）。相应地,切线方程为y-y0=f’（x0）（x-x0）。”因此,我们有了求切线方程的方法。     

一道椭圆问题引发的思考

题目：（2010上海理23）已知椭圆Γ的方程为x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）,点P的坐标为（-a,b）．（1）若直角坐标平面上的点M,A（0,-b）,B（a,0）满足PM=1/2（PA＋PB）,求点M的坐标;（2）设直线l2：y=k1x＋p交椭圆Γ于C,D两点,     

一道几何题的古今解法对照

江苏版高中数学选修1-1课本第45页,有这样一道例题： 已知点P（x,y）到定点F（c,0）的距离与它到定直线L：x=a^2/c的距离的比是常数c/a（a〉c〉0）,求点P的轨迹．     

曲线轨迹方程求解中的检验

一、从直观图形分析轨迹范围例１．如图１直角△ABC的两直角边分别是a，b（a＞b），A，B两点分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动，求顶点C的轨迹方程．解：设C（x，y），由点O，A，C，B共圆，知∠COA＝∠CBA，∴xy＝ab，即y＝bx．a从直观分析，易知C点的轨迹不是一条直线．考察A、B处于两极端的位置时C点的坐标．当A重合于原点时，C点横坐标x＝aba２＋b２√；当B重合于原点时，C点横坐标x＝a２a２＋b２√．故C点的轨迹方程应是y＝bax，aba２＋b２√≤x≤a２a２＋b２√）．二、从参数变化分析轨迹范围例２．已知关于x的二次方程x…     

怎样求点的轨迹方程

曲线是适合某种条件的点的集合（轨迹）．已知曲线如何求曲线的方程,是解析几何主要课题之一．由于建立了坐标系,使作为几何形象的点与代数形式的坐标在一定条件下建立了—一对应．这样适合某种条件的点的集合（轨迹）,反映到代数上,就是点的坐标（x,y）,满足某一方程f（x,y）=0,求动点的轨迹方程,就是要求动点坐标所满足的关系式．求点的轨迹方程的一般步骤是：①设点．根据题意建立适当的坐标系,并设曲线上动点M的坐标为（x,y）．②列式．根据已知条件,列出M的坐标所满足的等式．③代换．将点M的坐标代入②中的等广,得到含…     

2014年江西省理科圆锥曲线题目的探究推广

题目如图1,已知双曲线C：x^2/a^2-y^2=1（a〉0）的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF／／OA（O为坐标原点）． （1）求双曲线C的方程; （2）过C上一点P（x0,y0）（y0≠0）的直线l：x0x/a2-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=3/2相交于点N,证明：当点P在C上移动时,｜MF｜/｜NF｜恒为定值,并求此定值．     

怎样求对称曲线方程——答贵阳八中一读者

求曲线c关于定直线l的对称曲线方程,或者求曲线c关于定点M的对称曲线方程,这一类问题都可以用轨迹法解决。若给定曲线c的方程F(x,y)=0及直线l的方程Ax By c=0,求曲线c关于l的对称曲线c′的方程,可设c′上一动点P(x,y),P点关于l的对称点Q(x_0,y_0)在曲线c上,由于P、Q关于l对称,故P、Q连线斜率     

浅谈数形结合解复数题

由于复数内容综合性强,复数问题的解法一般具有可选择性．结合复数及其运算的几何意义,许多复数问题可从其几何意义入手分析,利用数形结合的方法加以解决．本文意在对通过以下几个方面数形结合解复数题的基本思路,作进一步阐述,一、利用复数的几何表示解题复数Z＝a＋bi（a,bR）与复平面内的点P（a,b）是—一对应的,这就为通过图形直观地求解有关复数问题提供了依据．例求下列复数的三角式：一般地,设Z＝a＋bi,其三角形式是：（Ⅰ）若a＞0,b＞O,则（Ⅱ）若a＞O,b＜0,则（Ⅲ）若a＜o,b＜o,则二、利用复数的向量表示及复数…     

点关于直线对称点的又一公式

求点P（x0，y0）关于直线l：Ax＋by＋C=0的对称点Q（x1，y1）的坐标，文给出了公式：     

圆锥曲线几类问题的简明解法

一、有关圆锥曲线中点弦的斜率问题此类问题常设弦的两端点坐标为（x1,y1）、（x2,y2）,分别代入圆锥曲线方程后,设法变换出表示弦的斜率的式子,从而使问题获解。例：已知直线L交椭圆于M、N两点,B（0,4）为椭圆与y轴正方向的交点。若△BNM的重心恰重合于椭圆的右焦点．试求L的方程如（图1）分析：解答本题的关键是求点P的坐标和前线L的斜率。注意到P是MN的中点,因此这是一个与中点弦斜率有关的问题。P（3,－2）,设M（x1,y1）,N（x2,y2）代入椭圆方程后相减：4（x1＋x2）（x1－x2）＋5（y1＋y2）（y1－y2）＝0L的方程为…     

再探究x0^x＋y0y=r^2与x^2＋y^2=r^2的关系

贵刊文[1]给出了直线x0^x＋y0y=r^2与x^2＋y^2=r^2圆的关系：结论1 已知圆O：x^＋y^2=r^2,点P（x0,y0）.（1）若点P（x0,y0）在圆上,过点P的圆切线方程为x0x＋y0y=r^2;（2）若点P（x0,y0）在圆外,过点P向圆引两条切线,两切点A、B两点,过A、B两点的两条切线交点的轨迹方程为x0x＋y0y=r^2.