方程X_0X/a~2+Y_0Y/b~2=1几何意义的再思考

学过《平面解析几何》的同学都知道:过椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1上一点P(x_0,y_0)的切线的方程是(x_0x)/a~2+(y_0y)/b~2=1①因(x_0~2)/a~2+(y_0~2)/b~2=1,又可写成(x_0x)/a~2+(y_0y)/b~2=(x_0~2)/a~2=(y_0~2)/b~2②, 一些细心的同学会问:当P(x_0,y_0)点不在椭圆上时,方程①或②的几何意义是什么呢?过椭圆外定点的椭圆的切线能否用方程①或②来表示呢?而少数粗心的同学在解题时没考虑点P的位置,直接套用方程①或②导致错误的情况时有发生。因此,有必要引导学生利用熟知的原理和方法,进行一番较深入的探讨。下面我们给出:     

a~2+b~2=0a=b=0

“a２＋b２＝０a＝b＝０”这一符号语言翻译成自然语言为“实数a，b的平方和等于零与a＝０和b＝０等价”，也就是说“如果a＝０且b＝０，则a２＋b２＝０；反过来，如果a２＋b２＝０则a＝０且b＝０”．如果a＝０且b＝０，则a２＋b２＝０＋０＝０显然成立．反过来，如果a２＋b２＝０，如何证a＝０且b＝０呢？那就不是很容易了．a、b与零的关系，有下列四种情况：１°a＝０且b＝０；２°a＝０而b≠０；３°a≠０而b＝０；４°a≠０且b≠０．要证明a＝０且b＝０成立，那就得推翻２°、３°、４°都不成立．２°、３°、４°可用一句话概括，即a…     

有趣的直线x_0x/a~2+y_0y/b~2=1

在高二教材中的圆锥曲线一章中,有这样的结论: 如图1,若P(x0,y0)是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a >b>0)上的一点,那么经过该点的椭圆的切线方程为x0x/a2+y0y/b2=1 问题:若点P(x0,Y0)在椭圆外部(或内部)时, 直线l:x0x/a2+y0y/b2=1是什么样的直线?与椭圆有怎样的关系?     

不等式a~5 b~5>a~3b~2 a~2b~3的推广和应用

高中代数第二册中有这样的两个不等式:已知a,b∈R~ ,并且a≠b,那么a~3 b~3>a~2b ab~2;a~5 b~5>a~3b~2 a~2b~3。本文将其推广为更一般的不等式。即下面的 [定理] 设a_1,a_2,…,a_n,m,a,k∈R~ ,且m=a (n-1)k,n≥2,则a_1~m a_2~m … a_n~m≥a_1~a a_2~k…a_n~k a_1~ka_2~aa_3~k…a_n~k …a_1~k…a_(n-1)~ka_n~a…(A)成立。(当且仅当a_1=a_2=…=a_n时取“=”号)。证:对n用数学归纳法。①当n=2时,m=a k,a_1~m a_2~m-(a_1~aa_2~k a_1~ka_2~a)=(a_1~a-a_2~a)(a_1~k-a_2~k)≥0,仅当a_1=a_2时取“=”号。命题成立。     

x~2/a~2±y~2/b~2=1的美妙公式——r_1·r_2±d~2=b~2±a~2

定理:设P为xa22 yb22=1上任意点,P点的两条焦半径为r1及r2;P点到原点距离为d.则:r1·r2 d2=b2 a2证明:设∠POF2=α,则∠POF1=π-α,在△POF2及△POF1中,由余弦定理有:r22=d2 c2-2ac·cosα①,r12=d2 c2 2dc·cosα②二式相加有:r21 r22=2d2 2c2(r1 r2)2-2r1r2=2d2 2c2※∵r1 r2     

X=1不是X_2=1的充分条件

数学上说，X=1不是X2=1的充分条件，但却是它的必要条件。依据这点我们可以推出，努力不是成功的充分条件，却是获得成功所必不可少的，换句话说，努力的人不一定能成功，但成功的人一定都很努力。 举世闻名的大文豪雨果，在成名之后邀约不断，他每天都要花费很多时间接待那些无所事事的太太和小姐们。后来，为了不让时间再浪费在这些毫无意义的事情上，他将自己的头发一边剃去，另一边却完好无损，样子十分滑稽可笑。每当再有人上门邀约时，他总是指着自己的脑袋：“您看这样子我能去吗？”他就是用这种方法完成了一部部举世惊叹的…     

形如a~2/b~2=c/d的比例式证法探究

在平面几何中,形如a/b=c/d是我们常见的比例式,其证法也颇多,容易被学生所掌握、所应用,但在实际证题中,有时也会遇到其它形式的比例式,尤其在中考中也会出现,如a2/b2=c/d形的比例式,这种比例式左右两边的次数不一致,左边是二次式的比,而右边是一次式的比,学生在证明这种比例式时,往往感到困难,无从下手。本文特从这种比例式的特点出发,给出几种证明这种比例式的有效途径,供读者参考。     

简析椭圆中的b~2/a~2

<正>(2011江苏高考第18题)如图1,在平面直角坐标系xOy中,M,N分别是椭圆x2/4+y2/2=1的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P,A两点,其中点P在第一象限.过点P作x轴的垂     

由不等式“a~5 b~5≥a~3b~2 a~2b~3”产生的联想

高中代数教材中有这样一个例题: 已知:a、b任R十,求证: a, b‘》a,西2 aZb,①此不等式具有结构对称、各项次数相等的特点,这就容易使人产生改变等式两边次数的联想: 若a、b任R ,l,n任N,且l镇n,不等式a” b”)a”一‘b‘ a‘白”一‘②能成立吗? 和不等式①一样,运用比较法易证不等式②成立。读者不妨一试. 进一步,如果改变不等式①两边的项数,我们还可以得到这样两个不等式: 如果a、b、c任R ,那么as bs cs》a 3 bc a乙3c abc3③a” b” c”夕a,b“cr arb,e“ a“b?‘,④其中P、夕、:任N,且P 口 :=。. 对于不等式③,只要运用不等式①即能…     

例谈“a~2+b~2=0”在解题中的应用

若a、b为实数,且彭十夕一o,则a一O且b一。.在解题中若能充分利用这一结果,将会使一些看似无从下手的问题迎刃而解.请看以下例题. 例1已知实数x、y满足尹+少一Zx十4y+5一0.求x、y的值. 分析一个方程,求两个未知数,似乎无法求出.但将条件中的5拆成1+4,通过分组结合,可变形为矿+夕一。的形式,即可分别求出x、y的值. 解将原式变形为 (xZ一Zx十1)+(犷+4y+4)一O, 即(x一1)2+(少+2)2=o, :。x一1一O且y+2一O, 解之得x一1,y-一2. 例2如果实数x、y满足等式:Zx+扩+才犷+2一一Zxy,那么x+y的值是(). (A)一1(B)0(C)1(D)2 (1993年全国“希望杯”数学…     

关于a~2/b~2=c/d的几何证题思路

在平面几何中,相似形、圆的证题因题型多变、难度较大,对于一个学过几何的人来讲,如果能独立完成中等难度的几何证题方法,那么就可以说平面几何学得不错了.我们平时遇到的平面几何问题,有时可采取归类证题,在几何证题中,     

探讨形如a~2/b~2=c/d的比例式的证明思路

老师:同学们!今天我们探讨形如a~2/b~2=c/d的比例式的证明问题.这类问题平时会遇到,也经常出现在近两年的中考试题中.由于a~2/b~2=c/d的左边是平方比的形式,加上有些问题本身较为复杂,不少同学感到难以下手.     

曲线(x~2/a~2 y~2/b~2)~2=2(x~2/a~2-y~2/b~2)~2的构成和性质

任何曲线总是作为符合某种条件的点的轨迹或作为另一曲线在某种变换下的像而存在着的，本文对曲线     

不等式a~2 b~2≥2ab的一个推广及应用

不等式ａ２＋ｂ２≥２ａｂ的一个推广及应用魏家忠（阜阳教育学院２３６０１６）若ａ，ｂ∈Ｒ，则ａ２＋ｂ２≥２ａｂ当且仅当ａ＝ｂ时等号成立．这是高中课本中一个最基本的不等式，它具有这样的特点：左边两项系数之和恰为各项的指数，又是右边项的系数，而右边每个字母...     

从a~2 b~2=c~2引出的德育思考

如何从数学学科的教学内容出发,对学生有机地进行思想品德教育,是我们每一个数学教师应当认真思考的问题,也是中学数学教学大纲所要求完成的教学任务. 数学,作为一门严谨的自然学科,其本身蕴含着丰富的辩证唯物主义哲学思想,又有古今中外、源远流长的辉煌历史.通过数学的教与学,可以培养学生刻苦钻研的精神,顽强拼搏的毅力.锲而不拿的个性品质;还能训练学生抽象的逻辑思维,形成严密、认真、细致的思维方式和习惯.根据数学本身的特点以及学生     

证明a~2/b~2=c/d型平面几何题的若干思考途径

a~2/b~2=c/d型的平面几何题,一般是较复杂的线段比例式,由于求证式两边非同次幂,常使学生感到棘手。本义举例说明此类题目的几种思考和分析途径,供参考。     

不等式a~2+b~2≥2ab的又一推广

(理若a,b任六’,。、k任N,且正<刀,则a”十b”乡a丙b“一‘+a”一‘b“当且仅当a=b时等式成立. 例1.若p、q任R气p3十q“=2求证P+q气2. 证:由定理, (,+叮)3二刀“+口3+3(尹’,+尹叮’) 百尹3+夕3+3(,3+夕3)=8, .’.p+q毛2. 枉·{2 .a,b,c任R十, 则a“+乙“+。“升3ab。. 泣:事实上,a3+b3+。一(a‘+b3+b“+c吕十c,+a吕)1,(a’乙‘一“/)“卜今哭。卜b(+e Za十。a“)=音一〔。‘“2+·”+“·’十·”干·(。:+“·,〕、3。“二(竹者单位:江苏建湖一县芦沟中学)不等式a~2+b~2≥2ab的又一推广@肖秉林$江苏建湖县芦沟中学 @沈文兆$江苏建湖县…     

关于椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1与抛物线y=px~2-q公共点问题

设P>o,由y~P尹一q中解出尹,代入椭圆方程整理得a ZPyZ+b,夕+(占2叮一a’bZP)=0.记△一夕一4a’p(b,q一aZ护p),则两曲线 1.△,时,相切于两 乙“点. __b_._,、___。匕△夕O且P乡耳孤万,q夕b盯,父寸四点· 乙〔遥对双曲线荟一答一1与抛物线,2一,二 “U一q可类似讨论.关于椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1与…     

巧用a~(1/2)≥0解题

注意到ａ表示非负数ａ的算术平方根 ,那么ａ≥ 0 ,对于某些与二次根式有关的问题 ,巧用这一性质 ,可使解题简易 ,下面实例说明。例 1　若ａ =ｘ +2 ,ｂ =3-ｘ ,化简 (ｘ +3) 2 +(ｘ - 4) 2 .解 :由ａ≥ 0 ,ｂ≥ 0 ,得ｘ +2≥ 0 ,3-ｘ≥ 0 .∴ - 2≤ｘ≤ 3.　∴ｘ +3>0 ,ｘ - 4<0 .原式 =|ｘ +3|+|ｘ - 4|=(ｘ +3) +(4 -ｘ) =7例 2　如果ｘ3+3ｘ2 =-ｘｘ +3,那么ｘ的取值范围是 (　　　 ) .Ａ .ｘ≤ 0 ;　　Ｂ .ｘ≥ - 3;　　Ｃ .0 <ｘ <3;　　Ｄ .- 3≤ｘ≤ 0 .解 :由ｘ3+3ｘ2 ≥ 0 ,得 -ｘｘ +3≥ 0 ,∵ｘ +3≥ 0 ,∴ -ｘ≥ 0 ,ｘ≤ 0∵ｘ …