一个来自希望杯试题的结论(初二、初三)

三角形的一个内角平分线与另一个内角的外角平分线的交角,等于这个三角形的第三个内角的一丰. 这是从第六届“希望杯”一道初二试题得出的结论,它的证明如下: 已知:如图1,△八刀C中,匕B的平分线与匕C的外角平分线交于E.求证艺E-l二犷乙八.‘证明艺E一/石芯F 1,二一,一二子乙月力七 乙一粤(匕AcF一艺ABc) 乙 l一下~乙八. 乙 这个结论用于解决有关三角形内外角平分线的交角问题,十分有用. 例1在△A刀C中,D是AB上一点,E足AC延长线上一点,连结DE交BC于M,匕八DE与匕八刀C的平分线交于尸,艺ACB与匕DEC的平分线交于Q,证明艺尸一/Q. (…     

数学问题与解答——2001年第2期问题解答

531.在△ABC中,乙ABC二400,乙ACB二300,尸为乙ABC平分线上一点,使乙尸CB二10“,B尸交AC于M,C尸交AB于N,求证:尸M二AN. 证:如图1,在BA延长线上取一点D,使BD=BC.连D只DC,A尸. 丫B尸平分乙ABC, :.B尸为CD的中垂线,尸C=尸D. 又匕尸CB=100,匕ABC=400, 故乙PCD=700一100=600,AC △尸CD为正三角形.户/"口咦E 图1在△ACD中,乙ADC=700二CD.故AC二尸C.二乙DAC夕一详口数学教学2001年第3期 _、/1 1 11、二(a b c d)l一 丁十一 气!一4 ‘\a 0 cd/ 4 一、、12/在△尸CA中,艺尸CA二200:.乙尸AC二匕APC=80“.1 过M作A尸…     

外角平分线三角形中的类正弦定理

文[1]、[2]、[3]等给出了外角平分线构成的三角形几个有趣的性质,本文得到定理如图,△DEF是△ABC三条外角平分线构成的三角形,设BC=a,CA=b,AB=c,2s=a+b+c,I为△ABC的内心,且DI=x,EI=y,FI=z,△ABC的外接圆和内切圆半径分别为R、r,则4sin2sin2sin2x A=y B=z C=R(1)首先给出一个引理.引理设I为△ABC的内心,则AD、BE、CF交于I点,且I为△DEF的垂心.略证∵?DEF是△ABC三条外角平分线构成的三角形,∴D、E、F为△ABC的旁心[4],显然AD、BE、CF为∠A、∠B、∠C的平分线,则它们交于I点;又∵2∠D AC=A,222∠E AC=B+C=π?…     

一个几何定理及其应用

一一B一CP一Q定理:在△ABC和△刃尸cl中,若二。+二一,80o,则器一毙瓷轰。BNsin乙1NCsin之2sin匕lsin匕2’②证:在△ABC中,由⑧②得器 尸B一配.AB BC而亡=薪石万;在△A,B‘C,中,A,B‘B,C‘赢万=妥石万’①②”且sinC二sinC‘。~_~~AB岁’~’耳吞A,B,推论:在△ABC和C(二产 国1BCsinA,B,C‘sinA.’△A,B‘C‘中,/C+ 2.证明线段相子 例2在△ABC中,AB>AC,AD为艺BAC的平分线,M为刀C的中点,过衬点作AD的平行线交AB及C通的延长线于P、Q,求证:PB=QC。 证如图, J~.___‘,,.,二,AB BC匕C‘=1800,匕A=艺A,,则弓带若;=.…     

初二数学竞赛训练题

1.三边长都是整数,且最大边长是7的三角形共有个. 2.一种货物降价12%,一年后,又涨价%,仍能保持原先的价格(精确到。.01%). 3.在△ABC中,乙C一90“,已知CD是乙C的平分线,且CA一3,CB一4,则Cl)的长为4.化简 1矛厂万十夕下+手万 5.如图,△ABC中,乙ACB一goa,CD是三角形的高,CE是角平分线.若△CED二△ABC,则乙ECD等于(). (A)180(B)200(C)22.5。(D)300一竞赛试题选登一E梦E DBABDF(第5题)(第6题)6.如图,匕A一150,AB一BC一Cl)一DE一EF,则匕FEM 7.如图,在△ABC中,AB一BC~AD,则。与月的关系是(). (A)a十月一900 (B)Za十夕…     

数学单元测试题（二）

一、。空厄翎端蘸1.如图1,△八BC中,BC边上的高是测试范圈:几何3.1、3.3_,CE边上的高是_,若AB~4cm,cE一Zcm,BC~3cm,则S△,‘一cm,,AH一。.cm,写出AH是哪些三角形中哪条边上的高2.在直角三角形中,两个锐角的平分线相交所成的钝角的度数是3.等腰三角形中,和顶角相邻的外角的平分线和底边的位置关系是4·△ABC中,二、一合二B一含匕c,则三个内角的大小分另。为—·1.寸入曰﹂D︸到A介人、、、一图J产/.\一 5.如图2,△ABC中,匕B一艺C,FD土方C,刀E土AB,艺AFD~158。,则乙EDF等于_度. 6.已知△ABC的高AD、C五相交于M,若艺BAC一…     

数学单元测试题（课标人教版）

一、填空题(每题3分，共3o幻1.如图1，△ABC哭△刀召刀，AB=刀乙乙E二乙ABC，则乙c的对应角为_一，BD的对应边为_. 2.如图2，根据sAs，如果月B=Ac，_=_，即可判定△ABD鉴△ACE. 3.在△A Bc中，乙A=900，‘刀是乙C的平分线，夕讨B于刀点，DA=7，则刀点到BC的距离是4.如图3，△A召C中，乙C=goO沐C绍C，注D平分乙CA刀交刀C于点刀，DE土AB于点E，AB=1 Ocm，则△DEB的周长是_. 5.在△ABC和△刀君尸中，乙C=乙F=90o，AC二DF，若要证△ABC哭△DEF，则需增加一个条件为泻出三种情况)_. 6.如图4，AD是△ABC的高，A刀二…     

每期一题

粗在△ABC中,AB>AC,匕A的一个外角的平分线交△ABC的外接圆于点尸,过尸作尸Q土AB,垂足为O。求证:2刁O=AB一AC。 (1989年全国高中数学联合竞赛试题第二试第一题) 证明一如图,作尸R土CA的延长线于R,连结尸B、尸C。‘:乙1=乙2,尸A公共,.’. Rt△尸O月丝Rt△PRA,.’. AO二AR,尸O二尸R。又乙3=匕4,:.Rt△尸QB丝Rt△尸RC,:’ BQ=CR,.’. AB~AF== AC十A刀,.’.刁B一AC=AO+_了月二竺J Q.、 证明二.如图,在QB上取QR=Q月,连结PR、PB和PC。 易知Rt△尸OR 丝Rt△尸OA,.’.尸R==尸只,艺3=乙1。在△尸AC和△Pl\)厅,朴,,…     

善于总结 巧妙解题

在数学学习中,对于典型的常见题的解法要善于总结规律,并灵活运用它的结论进行解题.现举例说明. 例i如图1,在△月BC中,/B的平分线与匕C的平分线相交于I.求证:二Blc一900+合二A·_,丫Bl、Cl分别平分乙B、匕C,乙BIC一180。一告(二ABc十二AcB)一180。一省(150。一艺A)一90。+告二A·图1 例1的结论表明:三角形两角平分线所成的角只与第三角的大小有关.利用这个结论和类似的解题方法,可以解决一类相关的几何题. 例2如图2,△ABC中,艺AMB一135。,AM平分匕CAB,BM平分匕ABC,则△ABC是(). (A)锐角三角形(B)钝角三角形 (C)直角三角形(…     

一道几何题的推广

〔题目如图,在锐角△.八刀Cll‘,ADk-:BC边上的高,尸为△ABC的垂心,B尸、CP的延长线分别交月C和A刀于刀、F。求证A刀平分乙EDF。证明丫O尸为△刁BC的垂心, .’.刀、刀、.尸、F四点共圆,则匕1,匕3, 同理刀、P、斤、C四点共网,则匕2=乙4, 又B、C、方、FI,中从)卜回,则乙3二乙4, :.乙1=2,即AD平分匕刃月夕。这道常见题可作如下的推广:当尸点是A刀上一道几何题的推广@程金保$安徽南陵东河中学~~     

第37届美国高级中学数学考试试题及解答

1。〔:一(夕一习〕一〔(A)z夕;(B)2:;(C)一2夕; 2.:,平面上有直线少一(x一妇一习二(D)一22;(E)0若直线翟掣 乍一 十 劣 一23l的斜孚是它的斜率的一半,z在今轴上的截距是它在妇山上截距的两倍,则z的方程是 1气)夕=几二x一卜6; O‘B,,二告二+2;(C)y二·+‘;(D,;二告‘十‘;、E),一粤:+:. O 3.如图,△遭BC的匕C为直角,又乙A。=ZG“,若BD是匕ABC的平分线,则匕BDC二 (A)4C。;(B)45“; (C)SG“;(D)55“; (E)60“. (A)28时;(B)2‘口寸;(C)30时; (D)31时;(E)32时. 7.小于或等于劣的最大整数与大于或等于x的最小整数的和是5,则x的解…     

三角形内点的一个性质及其推广

命题1.设P为△ABC内一点,连AP,B尸C尸,并延长分别交对边于D,￡,尸.则PD尸E.尸F下下从州-下于节十万飞布Z生上声刀乃七尸应用面积比很容易证明.命题1可推广为:命题2.尸为四面体AIAZA3A;内一点,连尸A‘交对面于B‘,记入尸B一万厉;’‘-<入<1,且几,+又:十几3十入‘-l,2,3,4,则0l. 应用棱锥体积比容易证明. 例.(iMO一32)设P是△ABC内一点。求证乙PA刀,艺尸BC,匕PCA至少有一个不超过300. 证明记a一匕尸AB渭~乙pBC,y~乙尸CA.则由命题1及均值不等式,有 二,,尸F尸D PE‘3in拼’sm了岌又了’万万’沙一丸PDAD,产尸EBE PF.夕~二…     

线段和差问题三例(初二、初三)

例1如图1,已知八C// BD,Dl、丑B分别平分乙CAB、乙刀刀A,CD过点E. 求证仍刀二AC十刀D. 证明在乃刀上截取AFcA,连结EF,‘「 在△以E和△以它中, 以=八F,’ 乙O气E二乙E片FjE所以乙八汇D 匕丑MC二900, 乙滩丑刀二乙万外夕C,GE~6欲叮.又匕八CB一450,乙八CP一90。,所以乙刀C尸一450.在△叼FC和△尸FC中, 乙月MC二匕尸,一月E,乙八CB一匕尸CBJ℃~石℃,△MFC望△尸FC小留二FP.所以△CAE望△F八E,乙C~艺AFE.因为以//BD,‘一「所以匕C十之D一180“, 乙EF刀~180已一匕莎E二匕D.在△EF刀和△EDB中, 乙EF刀二匕D,所以…     

第31届IMO试题解答

1.解法一如图所示,作D至且,B,M的连线段.显然有 乙CEF=乙DE‘“乙EMD,匕E CF二乙MAD。 于是, △C刀F。△AMD.诊;宣二卫兰二=1一卜￡止J生创圣.5二、DM“吕户F沉、9 FE。51。:。、:刀刃五fD叮丑CEMD oM召尸E·C止=1 F石乃刀召五D石二1 BE·五f五A石BE·刀石_AM AES八八E二S么。Ec=1一S△G见A尽△“互‘:S△D:工:S△。:nE从而,C刃·MD二刀汀·刀厂.另一方面,又有乙石CG“乙M刀D,于二,谁普贪乞.MD·MEG刀·C刀是,匕CG五‘匕C五F一匕五CG =乙E河D一兰叮BD二乙BD汀故△CGE。△B DM.从而,G刀.MB=CE·叮D.于…     

巧添辅助圆 妙证几何题(初三)

1.求角 例1如图1, 乙B的平分线交AC 匕A的度数. 所以作以A为圆心 C、D三点都在OA上, ,AB为半径的圆,使B、 在△ABC中,AB一AC, 于D汪〔二BD 八D,求 尹沪口一’、 所以乙DAC一2乙f址3C, 乙(姚B一2乙BDC, 解作△A刀D 交BC于E,连结DE. 的外接。了多气_ B~~一t一C 从而k- 匕且AC 艺(共B 2匕D扫C 2艺BDC 因为刀刀是艺八刀C的平分线,图1 所以J场一厉, 得AD一DE, 且艺EDC一/ABC一匕C, 所以石石一DE二AD, 乙DEB~2艺C. 由仪二一BD AD一BE 旦二,得 刀E一BD. 所以匕DEB一匕BDE一2艺C 在△BDE中 乙DBC 乙BDC’ I川…     

数学单元测试题（二）

℃l?C、| E、J、鱼Q八钩、入、CA? )C知入\一狡人户一\一|CJ厂一八。尽一即?止·。?牛?A止。宜 五B石/一/一 ‘B‘ 一、选择题 1.下列命题:①有一个外角是120。的等腰三角形是等边三角形;②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形;③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形;④三个外角都相等的三角形是等边三角形.其中正确的命题有() A .4个B.3个C.2个D.1个 2.如图1,在△ABC中,AB一AC,匕A一360,BD、CE分别是匕ABC、匕ACB的平分线,则图中等腰三角形的个数为 () A .6个B.7个C.8个D.9个 3.如图2,在△ABC中,O…     

费马点一性质

若△ABC各内角均小于1200,则在△ABC内必存在点p,使乙A尸B~艺B尸c~乙C尸A-1200,这时PA+尸B+尸C最小.点尸常称费马点.P具有如下性质. 定理设△A刀C的费马点尸到三边距离为x,y,z,三边为。,b,‘.则有 2(x+y一升z)石PA十尸B十PC(了了,二分乞(a+b J+‘).等式当且仅当△ABC为正三角形时成立. 证明先证右边不等式.为此,以△ABC边为一边向外作△ABE,△BCF,△ACD,设其中心分别为,E‘,F‘.则尸同在它们的外接圆上.故正Dl b互3 一一旧.FI公尸只尸一一一一一一CD甲万 3 亡夸 一一FE心=APC刀FEAB丑于是,PA+尸B+ 了万,。=2下兰{a…     

一个三角不等式的新证

题:在锐角△ABC中,求证:eos(B一C)、eos(C一A) COS八COS力此题在湖北《中学数学》1996十些斋竺业、年一2期,1997年10期和天津《中等数学》1998年1期上都刊登了几个不同的证明方法,但其证法都是立足于三角公式的技巧变形,比较复杂.本文应用平几知识,给出如下一个新颖的证法,供参考. C ‘入曰一七EA\一a图 了乙B 证明:如图1,在△A方C中,设BC一a,AC一b,AB一c,乙A)乙B妻匕C,则a)b)c. 作乙ADB~乙B,则AD~。,艺DAC~艺B一匕C. 作CE土AD,由乙刀是锐角易知艺Al犯是钝角,于是垂足E必在AD的延长线上. 因为AE妻AD(当且仅当b一‘一时…     

巧用旋转变换解竞赛题

初中数学竞赛中常出现一类以正三角形、正方形为基础图形的试题,一般方法较为繁难,若用旋转变换解之,简捷明了,事半功倍: 例1尸是正△ABC内A一点,尸C一3,尸A~4,尸B~5,求△ABC的边长。(浙江省第二届初中数学竞赛题) 解:将△A尸C绕A点按顺时向旋转60’至△ABD位置,连PD,.’.PD=4,故乙BDP~9。”,…乙ADB一得AB一丫25+::汀 例2尸为边长为(匕Q>12。。)。又PP)一尸A,尸‘C,一尸C,…l一B尸+尸尸‘+尸,C‘>BC‘一丫厄>1.5 l相似文献   

数学问题与解答 1989年第1期问题

176.△ABC中,a b e=,(定值),匕A=0(定值),试求△ABC面积的最大值. (四川周余孝供题) 177.若三角形三边成等比数列,求证:以这三角形三条高为边的三角形相似于原三角形.(湖南高成香、陈万龙供题) 178.设A B C二二,二笋>O,求证:‘。。S’普 ,一粤 二。。,誓 (工刀 嘴 z劣)2咬一. 4劣夕z (浙江李世杰供题)‘79·△ABC中,求证:以。。:普、·。一粤、·。二号(”<俨<2,为三边长亦能构成一个三角形.(江苏罗纬供题) 180.设△ABC的内心I到顶点A、B、C的距离分别为二、夕、:,△ABC、△ABI、△刀口了、△〔少月I的外接圆面积分别是S、S:、…