一道联赛题的多方位思考(高一、高二、高三)

2005年全国高中联赛第一试第一题: 使关于x的不等式(x-3)~(1/2) (6-x)~(1/2)≥k有解的实数k的最大值是( ) (A)6~(1/2)-3~(1/2)．(B)3~(1/2)．(C)6~(1/2) 3~(1/2)．(D)6~(1/2)．此题不失为一道开拓思维的好题,可以从多个方面进行求解,以下是我们对解决此题的一些思考．     

一道竞赛题的证明与推广

题目:设0相似文献   

教材中的一题多得

高中代数课本第三册(甲种本)P83有一道题: 在(1 x)~3 (1 x)~4 … (1 x)~(n 2)的展开式中,求含x~2项的系数。这是一道值得深思的好题,从它的不同解法中进行联想,可从中得到不少启发,收到一题多得之效。解法1:因为,(1 x)~(k 2)(K=1,2,…n)含x~2项的系数是C_(K 2)~2,所以,     

一道高考解析几何试题的多解与评析

<正>一、试题分析2009江苏省高考数学第18题是一道解析几何题.原题如下:在平面直角坐标系xOy中,已知圆C_1:(x+3)~2+(y-1)~2=4和圆C_2:(x-4)~2+(y-5)~2=4.如图1.     

对复数开平方的主值問題的意見

在数学教学1956年2、3二期中先后发表了侣云、雷垣同志的二篇文章,主要是讨论243题,兼及244题,这二题是验证一个等式,所以雷垣同志文章中认为(2i)~(1/2)·(-2i)~(1/2)可以是2,也可以是-2。但当我们教到245题时,仍然发生了困难,因为这是一个运算题,如果取双值的话,那末结果((9+40i)~(1/2)+(9-40i)~(1/2))~2=[±(5+4i)±(5-4i)]~2取同号时结果为100,取异号时结果为-64,破坏     

(2+(2+((2+…)~(1/2)))~(1/2))~(1/2)值的三种求法

题:求(2+(2+((2+…)~(1/2)))~(1/2))~(1/2)的值.此题常见于高中数学复习资料和趣味数学题集中,其解法具有一定的技巧性,但有的题解在并未进行证明的情况下,贸然令原式为l,得(2+l)~(1/2)=l求得l=2.这是不     

1997年全国高考数学第20题的多种解法

1997年全国高考数学第20题(文、理科序号相同)是这样一道复数题:已知复数z=3~(1/2)/2-(1/2)i,w=2~(1/2)/2 (2~(1/2)/2)i复数、z~2w~2在复平面上所对应的点分别为 P、Q.证明 AOPQ 是等腰     

一道组合恒等式习题证法的启示

高中数学第三册第160页题23(1)是一道在证明方法上很有启发性的复习题。这道题启示我们利用(1+x)~n·(1+x)~n=(1+x)~(2n)来证明组合恒等式(C_n~0)~2+(C_n~1)~2+…+(C_n~n)~2=(2n)!/n!·n!①事实上,恒等多项式     

一道习题的推广

高中代数(甲种本)第二册第96页第22题题目是:求证 a~(1/2)-(a-1)~(1/2)<(a-2)~(1/2)-(a-3)~(1/2)(a≥3). 此题虽然简单,但证法灵活.更有趣的是由a,a-1,a-2,a-3成等差数列这一特点,通过分析和猜想,可得下面更一般性的命题. 台题若a_1,a_2,a_3,a_4均为非负数,且它们成等差数列(公差不为0),     

一道不等式的推广及证明

高中代数有这样一道不等式:题 求证 2~(1/2) 7~(1/7)<3~(1/3) 6~(1/6).对此不等式我们注意到高中代数有这样一道不等式:题 求证2~(1/2) 7~(1/7)<3~(1/3) 6~(1/6).对此不等式我们注意到2 7=3 6,7-6=3-2.所以,我们拟将不等式推广为:题 对任意正实数m,有:(x-m)~(1/(x-m)) (x n)~(1/(x n))<(x-m 1)~(1/(x-m 1)) (x n-1)~(1/(x n-1))(x>m,n>1-m).证明 构造如图Rt△ABC和     

语文老师的一节“数学”课

窗外,阳光明媚;室内,春意融融。同学们都好奇地瞪大眼睛看着黑板上的一道题: 试比较3~(1/2)+6~(1/2)与2~(1/2)+7~(1/2)的大小对高二年级的同学来说,这是一道简单不过的教学题,他们之所以好奇,是因为今天出题的不是数学老师而是语文老师。数学科代表忍不住站起来说:“洪老师,这道题我们几天前刚做过,只要两个数平方一下就可以得出3~(1/2)+6~(1/2)>2~(1/2)+7~(1/2),太简单了。”话音刚落,引来一阵笑声。     

一道竞赛题的两种解法

第十五届江苏省初中数学竞赛二试初二第14(2)题:已知a(1-b~2)~(1/2)+b(1-a~2)~(1/2)=1,则a~2+b~2=____.这是一道启迪思维、培养创新能力的好题.这里给出两种解法,供参考.     

一类对称式求值问题的探讨

在初中数学竞赛中,常出现如下一类代数式求值题: (1) 设x~(1/2)=2~(1/4)-1/2~(1/2),则 (1987年全国部分省、市初中数学通讯赛题) (2) 已知~(1/2)=a~(1/2)-1/a~(1/2),则(x 2 (4x x~2)~(1/2))/(x 2-(4x x~2)~(1/2))的值是____。(1991—1992年度广州、洛阳、福州、武汉、重庆初中数学联赛题) (3) 若x~(1/2)=a~(1/2)-2/a~(1/2),则 (1992年四川省初中数学竞赛题) 上述题中的条件式形如倒置对称,待求式共轭对称。这样的题型我们称为对称式求值问题。很明显,这类求值问题的编制和解法都具有很强的知识性和技巧性。由此本文对问题的     

寻求简单优美的解法(高一、高二、高三)

题1 在△ABC中,a=2,b=22~(1/2),求∠A的取值范围. (第14届03年"希望杯"高二培训) 解法1 由题知即 c∈(22~(1/2)-2,22~(1/2) 2).由余弦定理得c2-42~(1/2)ccosA 4=0 (*)问题即为A取何值时,方程(*)在(22~(1/2)-2,22~(1/2) 2)内有解. 令f(c)=c2-42~(1/2)ccosA 4,则 f(22~(1/2)-2)·f(22~(1/2) 2)<0 f(22~(1/2)-2)>0,     

一道不等式问题的多种证法

第48届 IMO 中国国家集训队测试题(四)第1题:设正实数 a_1,a_2,…,a_n 满足 a_1 a_2 … a_n=1.求证:(a_1a_2 a_2a_3 … a_na_1)×((a_1/a_2~2 a_2) (a_2/a_3~2 a_3) … (a_n/a_1~2 a_1))≥n/(n 1)此题题型新颖,结构优美.本文给出了此题的6种证法,下面的证法1是由笔者给出的.证法1 首先由 Cauchy 不等式易得下述引理.引理1 设 a_1,a_2,…,a_n 是实数,x_1,x_2,…,x_n 是     

巧用“1”求值

1.巧乘“1”求值 例1 (2 1)(2~2 1)(2~4 1)…(2~k 1)(k为自然数)的值是( ). (A)4~2-1 (B)2~(2~(2k))-1 (C)2~(2~k)-1 (D)2~k-1 分析:此题若直接计算是很繁难的.如果能想到第一个括号前有一个“1”,而1=2-1,利用平方差公式,问题立即可解。     

一道例题的教后感

《代数》(必修)下册第12页有一道例题: 求证:2~(1/2) 7~(1/2)<3~(1/2) 6~(1/2) 与一些“典型”例题相比较,它似乎很普通,难以在教学中加以发挥。然而,只要我们注意引导学生多角度地审视,深层次地思考,就会发现这的确是一道浅显易懂而又韵味十足的好题。下面不妨一起来分析一下这道题的教学思路。     

课本中两道不等式的研讨

高中代数课本下册第16页习题第18题中第(1)题为:“求证:(x~2 2)/(x~2 1)~(1/2)≥2”。此题证明方法较多,但常见的证明是运用基本不等式“a 1/a≥2,其中a>0,此式当且仅当a=1/a,亦即a=1时取等号”来证明,把不等式左边写成:(x~2 2)/(x~2 1)~(1/2)=(x~2 1)~(1/2) 1/(x~2 1)~(1/2)≥2,当(x~2 1)~(1/2)=1/(x~2 1)~(1/2)时,即x=0时等式成立,此处用     

加强基础 培养能力——评阅91年高考数学(理)三24题的启示

91年高考数学(理)试卷中三(24)题:根据函数单调性定义,证明函数f(x)=-x~3 1在(-∞, ∞)上是减函数。这一题紧扣大纲与教材,极好地体现了“考查基础知识、注重数学思想,培养实际能力”的命题原则。该题是将课本中一道习题从R~-扩展到R上。我们抽查了高中专数学(理)99个考生的试题解答,计算得分平均只有3.89分(满分为10分)可谓意外。有80％左右考生解答至 f(x_2)-f(x_1)=x_1~3-x_2~3=(x_1-x_2)(x_1~2 x_1x_2 x_2~2),在证明x_1~2 x_1x_2 x_2~2>0这关键一步中失分较多。其主要错解类型如下。     

1998高考数学压轴题引起的思索

1998年全国高考数学文科第(25)题与理科第(25)题是一对数列与不等式巧妙结合的“姊妹题”,解题的关键(亦是难点)在于分别证明关于自然数n的不等式: (1 1)(1 1/3)…(1 1/(2n-1)>(2n 1)~(1/2), (1) (1 1)(1 1/4)…(1 1/(3n-1)>(3n 1)~(1/3), (2) 笔者尝试着寻找以上两式的简便而统一的证法,探究的结果是下述定理的发现, 定理 若n,k∈N ,且k>1,则