二次函数图像的对称性与满足S_m=S_n的等差数列

<正>二次函数y=f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的图像(抛物线)关于直线x=-b/2a对称.如果有f(p)=f(q),且p≠q,则f(p+q)=c.简证如下:法1 f(p)=f(q),因为对称轴方程为x=-b/2a=(p+q)2,所以,p+q=-b/a.所以f(p+q)=f(-b/a)=a(-     

常见的几种数列递推关系求通项策略

数列的递推关系是给出数列的一种重要方法 ,2 0 0 0～ 2 0 0 3年的高考试题都有涉及及数列递推关系的题目 ,而由数列的递推关系确定数列的通项往往是解决数列问题的关键 ,同时也是对学生进行数学思想方法教学的重要载体 ,比如参数法、叠加法、迭代法、换元法、构造法等 .下面笔者对常见的几种数列递推关系的求通项策略进行解析 .类型 1:an+ 1 =p an +q解析 :当 p =1时数列为等差数列 ,当 q =0 ,p≠ 0时数列为等比数列 .当 p≠ 1,p≠ 0 ,q≠ 0时 ,引入参数λ,令an+ 1 -λ =p( an -λ) ,整理得 an+ 1 =pan+( 1-p )λ,由 ( 1-p)λ=p,所以λ=q1-…     

一阶线性递推数列通项公式的几种求法

已知数列{a_n}中,a_1=p,a_(n 1)=qa_n r,求通项公式a_n,其中p、q、r为常数,且q≠0,q≠1。 显然r=0时,a_(n 1)=qa_n,这时{a_n}为等比数列,易推得a_n=pq~(n-1);当r≠0,q=1,a_(n 1)=a_n r,{a_n}是等差数列,易推得a_n=a_1 (n-1)r。     

换元法求一类递推数列的通项公式

文[1]给出了求一类递推数列通项公式的若干技巧,读后颇受启发.文[1]指出:“若数列{an}有递推式pan qan ran s=0,其中 1?1p、q、r≠0,当p q r=0时,可变形为rsan?an= 1(an?an)?,这时用换元法不p?1p难求得数列的通项公式;当p q r≠0时,则用换元法无法解答,只能用公式法解答.”但事实并非如此,其实与“p q r=0”的情形类似,当p q r≠0时,同样可以用换元法解答.当s=0时,在原递推式两边同时加上λan,并整理为qr/pan λan=(? 1 λ)(an?an),p?q/p λ?1r/p再令λ=?,解出λ的值,即可用换元?q/p λ法求解;当s≠0时,在原递推式两边同加上λan μ,并整理…     

2006年高考数学创新选择题精析

纵览2006年全国各省(区)高考数学试卷,发现不少设计思路开阔、新颖脱俗的试题出现.此类富有创新性的试题往往不拘泥于具体的知识点,而是将数学知识、方法、原理融于一体.解决此类问题,考生须读懂题意,将问题转化为常规的数学问题,并熟练地化归、分解问题,运用类比、联想、构造或发散等数学思想方法,进行全方位、多层次的探索与实验.由于篇幅有限,本文主要对2006年相关省份高考数学试题中具有典型性的一部分创新选择题进行解析,期望这能对读者有所启发与帮助.例1(上海卷)如图,平面中两条直线l1和l2相交于点O,对于平面上任意一点M,若p、q分别是点M到直线l1和l2的距离,则称有序非负实数对(p,q)是点M的“距离坐标”.已知常数p≥0,q≥0,给出下列命题:①若p=q=0,则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个.②若pq=0,且p q≠0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有2个.③若pq≠0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有4个.上述命题中,正确命题的个数是().A.0B.1C.2D.3解析①当p=q=0时,则点M只能落在直线l1和l2相交于点O处,命题正确;②当pq=0,且p q≠0时,若p=0,q≠0,...     

有两项相等且满足a_(n+1)=p+q/a_n的数列的分类

文 [1 ]中给出了满足递推关系an+1 =p+ qan( 1 )(其中 p 为非零常数 ,q为正常数 )的数列{an}的通项公式 ,并据此证明了当此数列有两项相等时 ,其必为常数列 .下面我们将取消“p为非零常数 ,q为正常数”这一限制而考虑更广泛的情形 ,得出有两项相等且满足(1)的数列的完全分类 .主要结论是 :定理 1设 (实或复 )数列 {an}满足( 1 )且 a1 =a(≠ 0 ) ,其中 p,q为常数且 q≠ 0 ,方程 x=p+ qx的两根 (称为数列 {an}的特征根 )为 x1 和 x2 ,则当 p2 + 4q≠ 0即 x1 ≠ x2时 ,{an}的通项为an=( a- x2 ) xn1 - ( a- x1 ) xn2( a- x2 ) xn- 1 1 - ( a- x…     

不动点与数列通项

对于函数f(x),若存在x_0∈R,使f(x_0) =x_0成立,则称x_0为函数f(x)的不动点．数列与函数密切相关．对于a_(n 1)=(pa_n q)/(ra_n s)型递推数列,利用不动点可以妙求其通项公式．先推导a_(n 1)=pa_n q(p≠1)型递推数列的通项公式．∵p≠1,所以存在α满足α=     

整体思想在数列中的应用

应用整体思想解数学问题,就是从全局着眼,由整体入手,把一些彼此独立但实质上紧密相联的量作为整体考虑的思想方法。现列举一些实例,谈谈运用这种思想方法解数列题的若干思考角度。 1 整体代入 例1 在等差数列{a_n}|中,已知S_p=S_q(p≠q),求S_(p q) 分析1 设数列{a_n}的公差为d,S_(p q)=(p q)a_1 1/2(p q)(p q-1)d=(p q)/2[2a_1 (p q-1)d].仅由条件S_p=S_q,求不出a_1、d,整体考虑求2a_1 (p q-1)d.∵S_p=S_q,∴pa_1 1/2p(p-1)d=qa_1 1/2q(q-1)d,即 (p-q)a_1 1/2(p-q)(p q-1)d=0, ∵p≠q,∴2a_1 (p q-1)d=0。 ∴S_(p q)=p q/2[2a_1 (p q-1)d]=0. 分析2 依题设此等差数列不是常数列,则前n项和S_n是关于n的常数项为0的二次函数,设S_n=an~2 bn,则 S_p=ap~2 bp,S_q=aq~2 bq,     

究竟哪个答案对

在最近的一次高三联考中,出现了这样的一道选择题:设p:x≠0且x≠1,q:x≠x~(1/2),则p是q的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件.笔者所选的答案是“B”,理由是:将“x≠x~(1/2)”两边平方即可解得“x≠0且x≠1”,但当x满足“x≠0且x≠1”时却不能得到“x≠x~(1/2)”,比如x取-1.究竟哪个答案对$江苏省射阳县教育局教研室@王克亮~~     

关于几类递推数列的变形与化简

由递推关系a_(n 1)=pa_n q(p,q为常数,而且p≠0,p≠1)给出的数列,为方便起见不妨称其为等比差数列。经过简单的变形,这类数列就化为以p为公比的等比数’列,其递推关系为:a_(n 1) q/p-1=p(a_n q/p-1),这样要解决等比差数列的问题就归结为简单的等比数列的问题.在实际中,许多由递推关系式给出的数列表面上看去似乎很复杂,但经过适当的变形与化简,就可化为等比差数列。     

04年全国初中数学联赛试题(初三)

1.已知abc≠0,且a b c=0,则代数式a2/bc b2/ca c2/ab的值是( )(A)3. (B)2. (C)1. (D)0.2.已知户,q均为质数,且满足5p2 3q=59,则以p 3,1-P q,2p q-4为边长的三角形是( )     

一阶递推数列通项公式的推导及应用

设数列{an}满足一阶递推关系:an+1=pan+q.当P≠1且P≠0,q≠0时,数列{an)非等差、等比数列.其通项公式有两种求解思路. 思路1-转化为等比数列求其通项公式在an+1=pan+q中,两边同减去q/1-p得an+1-q/1-p=p(an-q/1-p).     

利用特征根法求两类数列的通项公式

命题1：在数列{a}中a,已知首项a,且n≥2时,a=pa＋q（p≠1,q≠0）,则称方程x=px＋q为数列{a}的一阶特征方程,其特征根为x=,数列{a}的通项公式为a=（a-x）p＋x. 由以上命题可知,对于递推关系形如a=pa＋q（p≠1,q≠0）的数列可以通过解特征方程x=px＋q,构造等比数列{a-x},求{a}的通项.     

中考试题中“有理数”归类解析

作为中学数学最基础的知识——有理数,在中考里也占有一定比例,归纳起来,主要有:一、考查根本概念例1 已知P与1/3q互为相反数,且p≠0,那么P的倒数是( )A.q/3 B.-3/q C.3q D.-3q(2002黑龙江省)分析与解:考查相反数与倒数的概念,由p+1/3q=0,得p=-1/3q,从而1/p=-3/q,应p+1/3q=0,得p=-1/3q,从而1/p=-3/q,应选B.     

方程x2+p|x|+q=0与x|x|+px+q=0的根与判别式△=p2-4q的关系

在实数范围内,方程x~2 p|x| q=0(p≠0)与x|x| px q=0共同特点是含有|X|,它们的实根的求解与方程x~2 px q=0是否有所不同,其根的存在是否由判别式△=p~2-4q唯一确定呢?下面就这两个方程加以讨论,得其根的情况:     

究竟哪个答案对

在一次统考中,出现这样一道选择题:设p=x≠0且x≠1,q:x≠x~(1/2),则p是q的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件笔者所选的答案是B,理由是将"x≠x~(1/2)"两边平方即可解得"x     

Rational Number

A rational number is a number that can be expressed as a fraction p/q where p and q are integers and q≠0.     

数学教学如何培养概括抽象能力

为了把问题说清楚,我们从一九八二年数学高考试卷第九题(附加题)谈起,原题是: 已知数列a_1,a_2,…,a_n,…和数列b_1,b_2,…b_n,…,其中a_1=p,b_1=q,a_n=pa_(n-1),b_n=qa_(n-1) rb_(n-1)(n≥2),(p、q、r是已知常数,且q≠0,p>r>0),(1)用p、q、     

对一类递推数列周期性的再讨论

<正>已知数列{an}满足:an=pan-1+qan-2(n∈N+,n≥3),给定a1及a2(a12+a22≠0),其特征方程为x2-px-q=0(※),判别式△=p2+4q.文[1]作者经过探究给出了此类数列的周期性具有如下结论:(1)当△>0时,当且仅当p=0且q=1时,对于任意的a1及a2(a12+a22≠0),数列{an}是周期数列.特别地,a1≠a2时,数列{an}是以2为周期的周期数列;a1=a2时,数列{an}是以1为周期的周期数列(即常数数列).(2)当△=0时,当且仅当p=2、q=-1且a1=a2时,数列{an}是以1为周期的周期数列(即常数数列),或p=-2、q=-1且a2=-a1时,数列{an}是以2为周期的周期数列.     

第一讲 数与式复习精讲

1.1有理数知识梳理1.复习有理数的概念,要注意这样三点:(1)整数(正整数、零、负整数)、分数统称为有理数;(2)有理数均可以表示为两个整数之比p/q(p、q是互质的整数,且q≠0)的形式,注意(22)/7是分数,但2~(1/2)/7不是