例谈共交点曲线系方程的应用

我们熟知下述结论：若曲线C1：f1（x,y）=0与曲线C2：f2（x，y）=0有公共点P（x0，y0），则方程f1（x,y）＋λf2（x,y）=0的曲线也过点P（不包括曲线C2）（详见人民教育出版社出版的全日制普通高级中学数学教科书（必修）第二册（上）P．99）．     

巧用过交点的曲线系方程解题

设二曲线方程分别为C1：f（x,y）=0,与C2：g（x,y）=0,则过二曲线C1、C2交点的曲线系方程为：f（x,y）＋λg（x,y）=0（不含曲线g（x,y）=0）。利用这一方程解答直线与圆的有关考题,可化拙为巧、化难为易。例1 求过二直线l1：3x＋4y-5=0和l2：2x-3y＋8=0的交点,且满足下列条件的直线l的方程：     

求对称曲线方程的简便方法

定理1：曲线f（x,y）=0关于点P（x0,y0）的对称曲线方程是f（2xo-x,2yo-y）=0． 证明：设A（x1,y1）为曲线f（x,y）=0上任一点。则f（x1,y1）=0．     

过两曲线交点的曲线系方程的应用

我们知道,方程f1(x,y) λf2(x,y)=0表示的曲线经过f1(x,y)=0和f2(x,y)=0交点的曲线系方程.利用上述曲线系方程求过已知两曲线交点的新曲线方程,可避免求交点的坐标,其方法如下.     

坐标法思想下的“曲线与方程”概念的教学设计

解析几何的核心思想是“坐标法”．在直角坐标系中,平面上的点用坐标（x,y）表示,把曲线看成是适合某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标（x,y）所满足的二元方程f（x,y）=0表示曲线,用代数方法研究方程的性质,进而间接地研究曲线的性质．这就要求曲线和方程之间必须具有某种等价关系,即给“曲线的方程”下一个合理的定义,对合理性的要求就是能通过方程研究曲线的性质．     

求直线方程的又一种方法

概念: (1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解; (2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点, 称方程f(x,y)=0为曲线C的方程.充分利用曲线与方程的关系,可简化问题的求解. 例1 过点P(-1,1),作直线与椭圆x2/4+y2/2=1交于A、B两点,若线段AB的中点恰     

方程的曲线过定点问题探讨

一般情况下,若方程f（x,y）=0中含一个（或多个）参数,当x取某个常数x0时,y也对应一个与参数无关的常数y0,我们就说方程f（x,y）=0对应的曲线过定点坐标（x0,y0）。方程f（x,y）=0对应的曲线过定点问题的解决蕴含着化归、数形结合、函数与方程等重要的数学思想方法,因此,此类问题可以考查学生对知识的综合应用能力和思维创薪能力,且难度     

曲线系方程应用一瞥

众所周知,过曲线F1（x,y）=0与F2（x,y）=0交点的曲线系方程可表示为F1（x,y）＋λF2（x,y）=0.下面就曲线方程的应用简举几例.     

谈谈曲线的极坐标方程定义和证明

一、关于曲线的极坐方程的定义我们知道,在平面内建立坐标系的目的是为了建立平面内的点与实数对的对应,进而建立曲线与方程的对应,再通过研究方程的代数性质来掌握曲线的几何性质。在直角坐标系中,平面内的点与它的直角坐标的对应是一一对应。在此基础上,给出了曲线的直角坐标方程的定义:设有曲线C和方程f(x,y)=0,若(1)曲线C上任一点的直角坐标都能满足方程f(x,y)=0;(2)以方程f(x,y)=0的任一组解为坐标的点都在曲线C上,则方程f(x,y)=0叫     

怎样求点的轨迹方程

曲线是适合某种条件的点的集合（轨迹）．已知曲线如何求曲线的方程,是解析几何主要课题之一．由于建立了坐标系,使作为几何形象的点与代数形式的坐标在一定条件下建立了—一对应．这样适合某种条件的点的集合（轨迹）,反映到代数上,就是点的坐标（x,y）,满足某一方程f（x,y）=0,求动点的轨迹方程,就是要求动点坐标所满足的关系式．求点的轨迹方程的一般步骤是：①设点．根据题意建立适当的坐标系,并设曲线上动点M的坐标为（x,y）．②列式．根据已知条件,列出M的坐标所满足的等式．③代换．将点M的坐标代入②中的等广,得到含…     

曲线和方程对应关系(2)的应用

曲线和方程是解析几何中最重要的基本概念。如果某曲线上的点与某二元方程f(x,y)=0建立了如下对应关系: (1) 曲线上的点的坐标都是方程的解 (2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么,这个方程叫曲线的方程;这条曲线叫方程的曲线。教学时,习惯于用(1)来解题。对(2)却不太习惯,其实(2)在解题中也常可化难为易。下面通过几例说明。 [例1] P(a,b)是定直线上x y=1的定点,且a≠b,Q(c,d)是定直线上的动点,求证,存在实     

求曲线方程时杂点的剃除问题

曲线的方程和方程的曲线是平面解析几何中的重要概念 ,曲线的点集与方程的解集之间是一种一一对应关系 .在求曲线的方程时 ,要使所求的方程是所给曲线的方程 ,它必须满足纯粹性和完备性 ,即“曲线上的点的坐标都是这个方程的解 ;以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点” ,而求曲线方程时杂点的剃除是有关曲线纯粹性的问题 .1　所求方程表示的曲线有杂点 ,没有剃除例 1　平行四边形ABCD中 ,A(0 ,0 )、B(4 ,- 3) ,点D在以A为圆心 ,半径为 3的圆周上运动 ,点P分AC的比为 2∶ 1,求点P的轨迹方程 .解　设P(x ,y) ,D(xD,yD) ,则C(xD+4,y…     

“点圆”应用两例

“点圆”,即半径为0的圆． 方程f1（x,y）＋λf2（x,y）=0表示过曲线f1（x,y）=0与f2（x,y）=0的公共点的曲线方程。     

割不断 理则清 巧应用——函数的图象与平面上方程的曲线概念复习课

1设计问题 我们可以在平面直角坐标系中画函数y=f（x）（z∈D）的图象,也可以根据曲线（如直线,圆等）的方程f（x,y）=0画出方程的曲线．函数的图象与平面上方程的曲线是体现数形结合、解析法等数学思想的两个重要概念,是高考考查的热点、重点．     

The Notion of the Equation of a Curve（曲线方程的概念）

假设在xy-平面上给定了一条曲线（图1）,方程φ（z,y）=0称为一条曲线的隐式方程,如果这条曲线上的任一点的坐标（z,y）满足它,并且满足这个方程妒（z,y）=0的任意一对数z,Y是这条曲线上一个点的坐标．显然,一条曲线由它的方程所确定,因而,我们可以说用它的方程表示的曲线．     

轨迹方程的纯粹性完备性教学初探

求轨迹方程问题是中学数学课重要内容之一,它在培养学生逻辑思维能力,分析问题解决问题的能力方面起着重要作用。所谓适合某条件的轨迹方程f(x,y)=0,要求:(1)凡适合条件的点的坐标(x,y)是方程f(x,y)=0的解.这时该方程对所求轨迹而言是完备的,也叫方程f(x,y)=0具有充分性。(2)凡是方程f(x,y)=0的解作为坐标(x,y)的点都适合该条件.这时该方程对所求轨迹而言是纯粹的,也叫方程f(x,y)=0具有必要性。在解求轨迹方程题时,是根据题目条件,运用解析法(直角坐标系或极坐标系)转化为二元方程f(x,y)=0。这个方程所表示的曲线是否是适合该条件的轨迹呢?本应就该方程的纯粹性和完备性加以证明。现行教材     

用“方程法”求函数的值域

1．引理及“方程法” 引理 设函数y=f（x）的定义域为A，值域为B，又设“关于x的方程y=f（x）在A中有解的y的取值集合”为C，则C=B．     

用"方程法"求函数的值域

1引理及“方程法”引理设函数y=f（x）的定义域为A,值域为B,又设“关于x的方程y=f（x）在A中有解的y的取值集合”为C,则C=B.     

求对称曲线方程的公式算法

众所周知,曲线f(x,y)=0关于x轴对称的曲线方程是f(x,-y)=0,关于y轴对称的曲线方程是f(-x,y)=0,关于原点成中心对称的曲线方程是f(-x,-y)=0由此想到曲线f(x,y)=0关于任何已知直线ax+by+c=0成轴对称的曲线方程是什么形式?关于任何已知点M(a,b)成中心对称的曲线方程又是什么形式?这就是本文要探讨的问题。 先看一名中学生对下面一道习题的奇妙解法。题目是:“求直线3x-4y+2=0关于直线x-y+3=0成轴对称的直线方程。” 解 由x-y+3=0,得x=y-3,y=x+3,同时代入3x-4y+2=0中,得3(y-3)-4(x+3)+2=0,即4x-3y+19=0。此即为所求的对称直线方程。     

函数与方程的思想方法

函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f（x）=0的解就是函数y=f（x）的图像与x轴的交点的横坐标,函数y=f（x）也可以看作二元方程f（x）-y=0通过方程进行研究．[第一段]