设想·论证·转化——计算空间角与空间距离的一种思维模式

处理空间角与空间距离的计算问题,不仅要对有关“角”与“距离”的概念了如指掌,而且还要善于开动思维机器,灵活调遣线面关系,对问题交错进行设想、论证、转化和计算。所谓转化,就是将隐晦的问题转化为明确的问题,将立体几何的问题转化为平面几何问题等。对于空间角与空间距离的计算,通常是通过构造一个三角形(或四面体),转化为计算三角形(四面体)的边、角、高的问题。构造一个什么样的三角形(四面体)?当然,所求的角或距离应纳入该三角形(四面体)之中,可是,仅满足这点要求的三角形(四面体)往往有多种多样,这就存在一个选择的问题,也就是凭直觉和经验进行设想的问题。     

三角形的性质定理在四面体中的推广

空间最基本的几何图形是四面体,它的每一个面都是三角形,当共顶点的三条棱逐渐缩短,直到该点落到对面三角形所在平面,空间图形又回到平面图形．也就是说,四面体与三角形之间有着必然的联系．三角形的如下性质已经类比地推广到了四面体中：     

表面展开图为三角形的四面体

大家知道,正四面体的表面展开图是正三角形,一般四面体的表面展开图不一定是三角形．那么什么样的四面体,它的表面展开图是三角形,是一个怎样的三角形;反过来,这样的三角形总可以作为一个四面体的表面展开图吗？三角形的面积与四面体的体积之间存在着怎样的关系？下面就这些问题进行探讨．定理回四面体的表面展开图为三角形的充要条件是四面体的三组对棱分别相等．证明必要性：若四面体S－DEF（图1）的表面展开图为凸ABC（图2）,则D,E,F分别为BC,CA,AB的中点,因此,AF一DE,BD一EF,CE一FD,即SF一DE,SD—EF,S…     

用四边形折出四面体的探究

什么样的平面图形能折出四面体呢？文【1】针对三角形给出了完美的解答，那就是：一个三角形能折出四面体的充要条件是此三角形是锐角三角形．这就启发我们联想：怎样的凸四边形能折成四面体呢？下面我们就来讨论这个问题．     

三角形张角公式的类比

[1]根据[2]、[3]对三角形与四面体的类比性，把三角形的角平分线相关性质类比到了四面体二面角平分面上，得到两个结论。读后深受启发，既然三角形角平分线性质能类比到四面体，那么三角形张角公式能否类比到四面体呢？对此，笔进行了研究，得到如下两个结果。     

四面体的关于棱的“特征三角形”及其应用

三角形是二维空间中最简单图形,任何一个多边形都能分成若干个三角形来进行研究。三角形有很多重要的性质和计算公式,它的研究在平面几何中占据重要的地位。四面体是三维空间中最简单的几何体,任何一个多面体都能分割成若干个四面体来进行研究。它在空间的作用相当三角形在平面的作用,这种相似就使我们想到:四面体是否具有类似三角形的那些性质。经过探讨,我们发现三角形的许多性质可以推广到四面体中去,如象射影定理,余弦定     

等截线与等截面的再讨论

文 [1 ]给出并证明了如下的定义与定理 :1 .1　定义　若一条直线把一个三角形的周长与面积同时截成了相等的两部分 ,则称这条直线为该三角形的等截线 .1 .2　定理　每一个三角形都有等截线 ,并且它经过三角形的内心 .2 .1　定义　若一个平面把一个四面体的表面积与体积同时截成了相等的两部分 ,则称这个平面为该四面体的等截面 .2 .2　定理　每一个四面体都有等截面 ,并且它经过四面体的内心 .但是 ,每一个三角形都有等截线 ,那么它最多 (少 )有几条 ?每一个四面体都有等截面 ,那么它最多 (少 )有几个 ?能否用尺规作图法作出一个已知三角形…     

从勾股定理之逆的证明谈起——证逆命题的一种思路

教科书在证明勾股定理的逆定理时,构造一个合乎题设结论的两直角边分别为a、b的直角三角形A′B′C′,然后证明它与题设的三角形ABC全等,达到化归的目的。这种证题的方法我们把它称为“构图法”,构图法新颖、独特,对证一些命题的逆命题具有特殊的功效。     

一个合情合理的猜想

人类总是在已认识的基础上不断向未知前进,在这个认知过程中人类往往采用类比方法. 在平面上,两条直线不能围成一个有限的图形,而三条直线却有可能围成一个三角形.在三维空间,三个平面不能围成一个有限的图形,而四个平面却有可能围成一个四面体.因此,三角形可以与四面体类比,特殊的三角形可以与特殊的四面体类比(见图1和图2).     

从变换的观点理解梯形辅助线的添引

当你在图1中画BC边的平行线MN,且MN分别交△ABC的AB、AC于M、N两点时,你可把MN比作一把刀,这一刀砍下去,就砍出了一个梯形BCNM.正因为梯形是由三角形演变而来,所以在梯形中常用“寻根”的手法添引辅助线———延长两腰产生三角形.这样不仅把梯形演变为三角形,而且可以同相似、比例发生联系.另一方面,你也可以把梯形的上底无限缩小,当上底长趋向于零时,量变引起质变,梯形就变成了三角形.所以化归为三角形是梯形问题的重要解题思想.如何达到化归的目的呢?除了“寻根”手法外,我们还常常把夹在两底间的线段进行平移,从而把有关元素归…     

关于四面体的一个性质

四面体是较为简单的几何体，笔将它与三角形的有关性质进行类比，得到一个有价值的结论．     

化斜为直巧解斜三角形

<正>在初中数学综合复习中,通过各地近几年的中考试题,综合题中出现了一些关于解斜三角形的数学问题,而解这类问题的关键是进行转化斜三角形,转化的主要手段是运用"化斜为直"的数学思想方法,即在斜三角形中仔细观察图形的特征,通过作辅助线把斜三角形恰当构造出直角三角形.涉及特殊角常常需把特殊角放在直角三角形中,再利用勾股定理和三角函数解直角三角形知识即可解决.针对斜三角形或不规则四边形化归为直角三角形,可采     

直角四面体的一个性质

对应于平面几何中的三角形,立体几何中最简单而又重要的图形是四面体。如果一个四面体有一个直三面角,我们称它为直角四面体,直三面角的顶点称为直角四面体的直角顶点。直角四面体作为特殊的四面体,我们常把它与特殊的三角形——直角三角形进行类比。 我们知道,对于直角三角形,它有外接圆,其圆心在斜边的中点,半径是斜边的一半。那么,对于直角四面体,它是否存在外接球,若存在,球心在何处,半径是多少?下面的命题回答了这个问题。     

将空间问题化归为平面问题的几种途径

化归思想是数学基本思想之一,即将新的问题化归为熟知的或者易于解决的问题,使新问题获得解决,取得一种“反弹”成功效应。化归思想在立几中的应用是多方面的,而空间问题化归为平面问题则是立几中重要的解题策略。一、利用投影将空间问题化归为平面问题例1 求证:四面体中有两组对棱平方和相等,则第三组对棱必互相垂直。分析:如图1,设在四面体ABCD中,AB~2 CD~2=AD~2 BC~2,现证AC⊥BD,很自然想到立几中的“骨干”定理——三垂线定理及其逆定理,故需作面垂线AH⊥平面BCD、若能证得CH⊥BD就能推出结论。这时空间四边形问题已化归为平面四边形问题,只须证明四边形BCDH中其对角线互相垂直。简证:设∠BOH=a,OB=a,OC=b,OD=     

余弦定理的一个三维推广

在《中等数学》1983年第2期《勾股定理的新探索》一文的基础上,我们来研究余弦定理在三维空间的推广。首先,观察一个三角形,它有不共线的三个顶点,每个顶点对应着三角形的一条边,每两边又相交成三角形的一个角。其次,比较一个四面体,它有不共面的四个顶点,每个顶点对应着四面体的一个面,每两个面又相交成一个二面角。再次,余弦定理是考虑三角形边长与夹角之间的关系式,在三维空间中,则应考虑四面体的面的面积和夹角之间的关系式。     

等面四面体的一个重要性质

我们知道,三组对棱分别相等的四面体叫做等面四面体,它的四个面为全等三角形,本文介绍等面四面体一个重要的非常有趣的性质。     

三角形一个性质的推广

本文把三角形内点的一个性质推广到整个平面和空间,建立起点与三角形,四面体之间的关系. 一、三角形内点的一个性质定理1 点P是     

化归思想在高一数学教学中的应用

什么是化归思想呢?把一个复杂的、陌生的问题,转化为简单的、熟悉问题来解决的思想称为化归思想。化归思想包含三个要素:①把什么东西进行化归,即化归对象;②化归到何处去,即为化归目标;③如何进行化归,即为化归的方法,下面仅以高一部分内容分代数、立体几何两方面举例说明。 一、化归思想在代数教学中的应用 高一代数处处蕴含着化归思想,教材中的函数是初中函数概念的引伸,幂函数、指数函数、对数函数是初中幂运算、指数运算、对数运算的拓宽,任意角的三角函数是初中解三角形的推广,由于教材本身存在着     

四面体的几个新性质

四面体是三角形在空间的推广,因此三角形的许多性质可以推广到四面体上去. 本文以向量为工具,把三角形的余弦定理、勾股定理以及"在直角三角形中,30°的角所对的边是斜边的一半"等4个定理推广到四面体上.     

三角形中的一些定理在四面体中的类比

边数最少的多边形是三角形 ,面数最少的多面体是四面体 (或称三棱锥 ) .四面体的各面都是三角形 ,当共顶点的三条棱逐渐缩短 ,直到该点落到对面三角形中 ,空间图形又回到平面图形 ,也就是四面体与三角形之间有着必然的联系 ,它们既对立又统一 ,在一定条件下可相互转化 .我们知道 ,平面几何中三角形有很多重要定理 ,那么三角形有哪些定理可以类比到立体几何中去呢 ?下面谈一谈个人在教学实践中 ,此方面的一点总结 ,与同行商榷 .1　勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和 ,等于斜边c的平方 .将这一结论类比推广到空间得到相应的结论是 :定理…