一元二次方程变形的应用

某些一元二次方程的代换问题,若对方程进行适当的变形后进行代换,会使所求问题化繁为简。现举例介绍几种常用的变形技巧。一、将一元二次方程ax~2+bx+c=0变形为ax~2=-bx-c,或ax~2+bx=-c或ax~2+c=-bx进行代换     

变换一元二次方程解题

一些条件中含有(或可转化为)一元二次方程的题目,往往不是去解这个二次方程,而是对方程进行适当的变形来代换,从而使问题易于获得解决.现举例介绍几种常用的变形技巧,供教学时参考. 1.把方程ax~2 bx c=0(a≠0)变形为ax~2=-bx-c,代换后使x降幂或升幂     

一元二次方程的图象解法

二次函数y=ax~2+bx+c(a≠0),当函数值y=0时,ax~2+bx+c=0就是一个一元二次方程.换句话说,一元二次方程的根即是二次函数.y=ax~2十bx+c的函数值为零时相应的自变量的值.因此,我们可以这样求解一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0):     

一元二次方程变形后在解题中的应用——谈整体思想渗透

有些题目中的条件是含(或可以化为)一元二次方程,往往不是去解这个一元二次方程,而是把方程适当变形后进行整体代换,从而使问题易于获得解决,它的优点是:省时、省事、思路清晰、目标明确.请看如下几例:1把方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的整体作为零值进行代换1.1求式变形后,直接代换例1已知方程x~2-x-5=0,不解方程,求:x~3-2x~2-4x+5的值.分析把求式中每三项进行分组,指数由高到     

根与系数的关系在二次函数中的应用

一元二次方程ax~2+bx+c=0和二次函数y=ax~2+bx+c的关系密不可分。在y=ax~2+bx+c中,当y=0时,就变成了ax~2+bx+c=0。而一元二次方程ax~2+bx+c=0的两根x_1,x_2,就是二次函数y=ax~2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标。因此,根与系数的关系不但可以用于方程这中,也常用于二次函数之中。 一 求待定系数的值 例1 抛物线y=x~2-(2m-1)x-2m与x轴的     

一般与特殊、方法与技巧

解一元二次方程及判断一元二次方程是否有解,是一元二次方程一章的两个重点,除要掌握基本方法外,适当的掌握一些常见的技巧可以提高学习的效率。一、解法选择技巧解一元二次方程的基本方法有:直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法,如何快速选择方法,有一定的技巧.对于一元二次方程一般式ax~2+bx+c=0(a≠0,a、b、c是常数),其中a≠0,但b、c可以为0,因此方程ax~2=0,ax~2+bx=0,ax~2+c=0,这些形式的方程因为缺项,也叫不完全的一元二次方程,是一元二次方程的特殊形式,因此解法也就会有不同的技巧.对于一元二次方程ax~2+bx+c=0中的常数项c=     

巧用二次方程解求值题

一元二次方程的一般形式为:ax2+bx+c=0(a≠0).在许多条件中,含有一元二次方程或变形后含有一元二次方程的求值题,有时并不需要解这个二次方程,而只需利用所给方程的形式或变形作代换,即可使问题得到圆满解决.现举例说明.     

当a+b+c=0时

我们知道,一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的实数根,在b~2-4ac≥0时,可由求根公式求得。 现在,我们来探究一个问题,当a+b+c=0时,一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根有什么特点? 探究 ∵ a+b+c=0,∴b=-(a+c),∴ 原方程可化为ax~2-(a+c)x+c=0,即 (ax~2-ax)-(cx-c)=0. ∴ ax(x-1)-c(x-1)=0. ∴(x-1)(ax-c)=0. ∴ X_1=1,X_2=c/a。     

一元二次方程基本概念问答

1.为什么要规定一元二次方程ax~2+bx+c=0中a≠0? 答当a=0时,方程变成了bx+c=0,这就不是一元二次方程了. 2.关于x的方程x~2(x+3)+2y-8x=x~3+2y-9(*)是一元二次方程吗?     

二次函数与一元二次方程之间的关系

二次函数y=ax~2+bx+c(a≠0),若令y=0,即为一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0).由此可见,二次函数与一元二次方程之间有着密切的联系.用数形结合的思想来理解,对它们之间的内在联系的认识将更为深刻,更有利于灵活地解题,提高解题水平.     

利用“四个二次”间的联系改编题目

中学代数中的二次三项式 ax~2 bx c,一元二次方程 ax~2 bx c=0,二次函数y= ax~2 bx c,一元二次不等式 ax~2 bx c>0(或<0),这“四个二次式”中的 a 均不为零.串起来形成“四个二次式”的知识结构.其中二次三项式是以因式分解为主,分解的方法有公式法、十字相乘法、配方法等,它是研究一元二次方程和二次函数的基础;一元二次方程又包括了一元二次方     

整系数一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)整数解存在性的讨论

定理1.整系数一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)存在整数解x=0的条件是c=0;存在整数解x=1的条件是a+b+c=0;存在整数解x=-1的条件是a-b+c=0。证明:x=0是ax~2+bx+c=0的解     

活用方程根的定义解题

大家知道,使方程左、右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的根.根据根的定义,如果x_0是一元二次方程ax~2+bx+c=0的根,那么ax_0~2+bx_0+c=0;反之,如果ax_0~2+bx_0+c=0,那么必是方程ax~2+bx+c=0的一个根     

关于二次函数性质的几点拓展

二次函数与一元二次方程之间有着密切的联系.在二次函数y=ax~2+bx+c(a≠0)中.令y=0,即得一元二次方程ax~2+bx+c=0.若此时方程有实数根,则此实数根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标.从这个基本事实出发,即可得到如下一些基本关系: 1.判别二次函数图象与x轴有无交点,可运用相应的一元二次方程根的判别式△=b~2-4ac,即     

一元二次方程虚根的分布

由于实系数一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0) ①的根的几何表示通常是借助抛物线y=ax~2+6x+c与 x 轴的交点实现的,因此一元二次方程①的虚根在坐标平面上的分布规律被了解得较少,影响到对一元二次方程性质的全面掌握。     

巧用二次议程解求值题

一元二次方程的一般形式为：ax^2＋bx＋c=0（a≠0）.在许多条件中。含有一元二次方程或变形后含有一元二次方程的求值题,有时并不需要解这个二次方程,而只需利用所给方程的形式或变形作代换,即可使问题得到圆满解决．现举例说明．     

浅谈函数值在确定抛物线与x轴交点位置中的作用

我们已知:二次函数 y=ax~2 bx c (1)一元二次方程 ax~2 bx c=0 (2)一元二次不等式 ax~2 bx c>0 (3)ax~2 bx c<0 (4)三者之间有着如下关系(为讨论方便起见,以下均假设 a     

一个结论的妙用

在初中《代数》第三册第37页中有这样一个结论: 若x_1,x_2是一元二次方程ax~2+bx+c=0的两根,则有ax~2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2). 灵活运用上述结论,解题中常能收到事半功倍的效果.下面以初中数学竞赛题为例加以说明.例1己知     

判别式法

根据b~2-4ac的值的符号可以判别一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根的情况,我们把b~2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式,通常用符号"△"来表示.具体判别方法是:一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0),(1)当△>0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当△=0时,方程有两个相等的实数根;(3)当△<0时,方程没有实数根.这三     

塔塔利亚与三次方程的故事——记数学竞赛能手塔塔利亚

学过一元二次方程的人都知道:由于人们找到了一元二次方程ax~2+bx+c=0(a(?)0)的求根公式,以后只要