常系数线性微分方程的特解求法的另一证明

在王高雄等人编的《常微分方程》的教材中,常系数齐线性方程y~n a_(n-1)y~(n-1) …… a_1·y a_oy=0的n个线性无关的特解及非齐线性方程y~n a_(n-1)·y~(n-1) …… a_1·y a_oy=e~(λx)·A_m(x)的特解的证明过程有一定的技巧性,本文介绍的证明方法没有用到变换的方法,证明更为简单.     

n阶变系数常微分方程的不变式及其求法

本文讨论了n阶变系数线性常微分方程y~(n P_1(x)y~(n-1) … P_(n-1)(x)y~1 P_n(x)y=0分别在变换y=u (x)z和t=(?)(x)下的不变式问题,并给出了在未知函数变换下的不变式的表达式及其求法。     

常系数线按非齐次微分方程和Euler方程通解的一种显示表达

一、引言 对n阶常系数线性非齐次微分方程 y~(n) p_1y~(n-1) p_2y~(n-2) … P_(n-1)y~/ P_ny=f(X)(1)其中p_1,p_2…,p_n为常数,若能求出其对应齐次方程的n个特征根,则很容易写出该齐次方程的通解Y(x)的显式表达式。 (i)当方程(1)的右端f(x)=c~(ax)[g(x)cosbx h(x)sinbx]时,其中a、b为实数,g(x)和h(x)是x的多项式,可用待定系数法求出(1)的一个特解y~*(x),从而得(1)的通解为y=r)x) y~*(x)。     

变系数线性齐次微分方程内e~(rx)型特解的求法

求一般变系数的线性齐次微分方程的特解往往只是凭观察,而没有一个有效的方法,本文根据线性无关函数组u_1,u_2,…,u_m的线性组合sum from n=l to m(i=l)k_ju_l≡0的充要条件是系数k_1,k_2,….k_m.全为零的性质,给出变系数线性齐次微分方程内e~(rx)型特解的一种求法.(sum from n=l to m(i=l)a_(ol)u_l)y~(n)+(sum from n=l to m(i=l)a_(n-1)_lu_l)y~(n-1)+…+(sum from n=l to m(i=l)a_(ol)u_l)y≡0     

n阶常系数非齐线性方程特解的系数公式

对n阶常系数非齐线性方程:(d~nX)/(dt~n)+a_(n-1)((d~(n-1)X)/(dt~(n-1)))+a_1(dX/dt)+aoX=f(t)(A)这里a_1(i=0,1,…,n-1)是常数,f(t)是连续函数,求解(A)的关键是找出(A)的一个特解.当f(t)具有某些特殊形状时,我们已知道可以使用“比较系数法”、“拉甫拉斯法” 等来求得(A)的特解,本文进一步讨论了(A)的特解与f(t)的相互依赖关系,得到了若干较好的结果.     

常系数非齐次线性微分方程求特解的两种方法

欲求形如y″ py′ qy=e~(λx)P_m(x) (1)(p、q 为常数,λ亦可为复数,P_m(x)为 m 次多项式)的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解,在诸教材及习题解答中都是设特解y~*=x~kQ_m(x)e~(λx) (2)其中 Q_m(x)是与 P_m(x)同次的多项式,而 k 是λ做为与(1)对应的齐次方程的特征方程     

非齐次常系数常微分方程特解形式的一个推导

考虑n阶非齐次常系数线性常微分方程y^(n) pn-1y^(n-1) … p1y′ p0y=f(x)，当它的右端项f(x)=e^λxPm(x)时，给出它的特解形式的推导。     

关于e~(At)的级数计算法的一点注记

常系数线性微分方程组X(t)=AX(t)(t>0)(1)X(0)=X o式中X(t)=[x_1(t),x_2(t),…X_n(t)],A为n×n实常数矩阵。其解X(t)=e~(Al)XO (2)e~(Al)=sum from n=0 to ∞(A~nt~n/n!) (3)且Reλ(A)＜0 (4)e~(Al)计算的级数方法如下:     

公式法求y″+py′+qy=p_m(x)e~(λx)的特解

求微分方程y″+py′+qy=p_m(x)e~(λx)的特解y~*,传统的方法比较麻烦。本文为此导出求特解y~*之中多项式待定系数的公式,只需简单计算即可求解。     

一种求n阶常系数非齐线性微分方程特解的新方法——围道积分法

我们大家都知道,对n阶常系数非齐线性微分方程:这里a_k(κ=0,1,…n)是常数,f(t)是连续函数;求解(A)的关键是在求出与(A)相应的齐线性方程的通解的同时找出(A)的一个特解。尽管“常数变易法”、“比较系数法”、“拉甫拉斯法”等都是解决(A)的一个特解的常用而又十分适用的方法,然而作者在文~([1])的启发下,借助围道积分的柯西残数定理,在f(t)具有某些特殊形状时,得到了一些较好的结果。     

变换x=e~(λt)y在解微分方程中的作用

中山大学数学力学系常微分方程组编的《常微分方程》教材中,在解常系数线性齐次微分方程L[x]=a_1x a_1x′ … a_nx~(n)=0(1)和非齐次方程L[x]=a_0x a_1x′ … a_nx~(n)=f(t)(2)时都要用到这一变换。我们在教学中觉得把常系数线性方程经过变换x=e~(λty)后的结果写了出来并用数学归纳法加以证明较妥。这样在常系数线性齐次方程的特征方程有重根时解的讨论和非齐次方程(2)右端函数为f(t)=e~(λty)(t)(P(t)为m次多项式)的待定系数法的研究中都很方便,而且也更有说服力。即引入下面的定理。     

Putzer方法在一类n阶常系数非齐线性常微分方程P（D）x=αcose^λt＋bsine^μt中的应用

利用等价方程组和Putzer方法，研究了n阶常系数非齐线性常微分方程P(D)x=αcos e^λt bsin e^μt，得到了这种方程的一种新的求解方法，最后给出了一个详细的实例．     

高阶常系数线性非齐次微分方程特解几种非常规解法

关于高阶常系数非齐次线性微分方程y(n)+a1y(n-1)+…+an-1y′+any=f(x)特解的求法,通常采用待定系数法、常数变易法、算子法、Laplace变化法进行求解,下面介绍了除了这些方法以外的一些非常规解法,仅供教学参考.     

一类常系数非齐次线性微分方程特解的求法

针对n阶常系数非齐次线性做分方程y⁽ⁿ⁾+p_1y(n)+p_1y^(n-1)+...+p_(n-1)y'+p_ny=e(n-1)+...+p_(n-1)y'+p_ny=e^(λx)(p_1(x)cosωx+p_m(x)sinωx),运用特征函数导数法和比较系数法,得到了方程的一个公式化特解,简单易行。     

高阶常系数线性差分方程一种解法

解差分方程通常是先求对应齐次方程的通解再与非齐方程的特解叠加,对高阶(n≥2)来说寻求非齐方程的特解是困难的。本文将给出一种高阶线性差分方程的方法。 、主要内容:本文给出下面定理 定理:若r_1,r_2…r_(m-1),r_m是m(m≥2)阶常系数线性差分方程     

常数变易法求解三阶常系数非齐次线性微分方程

用解一阶微分方程的常数交易法求解三阶常系数非齐次线性微分方程y^m py^n qy′ sy=f(x)，其优点是无需求特解，无须求基本解组，但可求通解，并且给出了一个通用的公式。     

Putzer方法在一类n阶常系数非齐线性常微分方程P(D)x=a cos eλt+b sin eμt中的应用

利用等价方程组和Putzer方法,研究了n阶常系数非齐线性常微分方程P(D)x=acos eλt+bsin eμt,得到了这种方程的一种新的求解方法,最后给出了一个详细的实例.     

双曲函数在积分法求解微分方程中的应用

在求解微分方程过程中,某些积分运算利用双曲代换比较容易算出结果,除此以外,有些微分方程的解,特别是线性微分方程的解可以利用双曲函数通过积分比较方便地表示出来,本文介绍双曲函数在求解二阶常系数线性微分方程中的一些应用。方程Ⅰ.y-a~2y=f（X）（a≠0）（1） 这是二阶常系数非齐次方程,先求出对应的齐次方程 y-a~2y=0（1）’的通解:由特征方程r~2-a~2=0得特征根r_1=a,r_2=-a ∴y_1=e~(ax),y_2=e~(-ax)是（1）’的两个特解我们取y_1=e~(ax）+e_(-ax)/2=chax y_2=y_1=e~(ax)-e(-ax)/2=shax 作为（1）'的两个特解,且易证它们是线性无关的 ∴Y=c_1chax+c_2shax 是方程（1）’的通解 为求方程(1）的通解,运用常数变易法 设 y=c_1(x)chax+c_2(x)shax （2）     

不定积分的算子求法

算子与逆算子,主要应用于常系数非齐次线性微分系统的解法(见文[1]).本文将此算子法应用于求几类函数的不定积分,这不仅提供了一种不定积分的求法,而且有时比文[2]的方法还来得简便些.n阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为其中系数a_i(i=0,1,…n)为常数.现用D~ky记函数y关于x的k阶导数,即     

常数变易法求二阶常系数线性微分方程的特解

针对二阶常系数非齐次线性微分方程求特解的现有方法的局限性,提出常数变易法求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的方法．并给出四个求特解的公式。