关于几个三角公式的应用

三角学中有下面几个公式: sinαsin(π/3+α)sin(π/3-α)=1/4sin3α;(1) cosαcos(π/3+α)cos(π/3-α)=1/4cos3α;(2) tgαtg(π/3+α)tg(π/3-α)=tg3α;(3) ctgαctg(π/3+α)ctg(π/3-α)=ctg3α。(4) 这几个公式的证明是比较简单的。现对公式(1)证明如下: ∵ sinαsin(π/3+α)sin(π/3-α)=sinα[-1/2(cos(2π/3)-cos2α)]=sinα(1/4+1/2cos2α)     

“二倍角的三角函数”导学案设计

<正>1.课前预习导学1.1情景创设问题1:设α∈(π/2,π),sinα=1/2,如何求sin 2α?试判断sin 2α=2 sinα成立吗?问题2:设α∈(π/2,π),sinα=5/13,求sin 2α,你会做吗?1.2引入课题本课研究的课题:角α的三角函数与它的二倍角2α的三角函数之间存在什么样的关系?如果从形的方面来思考:看书P105图3-2-1观察函数     

此题有玄机(高二、高三)

在复习“三角函数”时,老师讲了一道三角题已知sin3α/sin(π/6-3α)=cos3α/cos(π/6-3α)=2~(1/3)(α≠kπ/4,且k∈Z),求tan2α.老师给出的解答:由已知可得     

三角恒等变形中角的变换常用的五种策略

一、“给值求值”时将“待求角”用“条件角”表示例1 已知cos(α-β)=-4/5,cos(α+β)=4/5,且α-β∈(π/2,π),α+β∈(3π/1,2π),求cos2α. 解:由已知求得sin(α-β)=3/5,sin(α+β)=-3/5.又2α=(α-β)+(α+β),所以cos2α=cos(α-β)cos(α+β)-sin(α-β)sin(α+β)·代入已知数据得cos2α=-7/25. 练一练已知sin(π/4-α)=5/13(0<α<π/4),求cos2α/(?)的值.     

关于诱导公式的“逆运用”

不少学生对诱导公式背得“滚瓜烂熟”,但却不能“倒背如流”,也就是不能“逆用”诱导公式。究其原因,还是不能灵活运用诱导公式。所谓诱导公式的“逆运用”,顾名思义,就是把诱导公式反回去应用。例如,能根据需要把sinα写成形如sin(π-α),-sin(π+α),-sin(2π-α),sin(2π+α),-sin(-α),cos(π/2-α),-cos(π/2+α),-cos(3π/2-α),cos(3π/2+α)等形式。在反三角函数的讨论及复数的研究中都需要大量“逆用”诱导公式。例1 求下列各式的值。 (1) arc sin(sin4) (2) arc ctg(ctg5) 对本题只需“逆用”恰当的诱导公式把自变量化     

一类不等式证明中的“对称配偶法”

本文对一类具有“对称”性的不等式给出一种可行的证明方法——“配偶法”,先看几个实例: 例1:若α、β、γ∈(0,π),求证:sinα+sinβ+sinγ≤3sin(α+β+γ/3) 证:对任意的x、y∈(0,π)有: sinx+siny=2sin(x+y/2)·cos(x-y/2)≤2sin(x+y/2)(∵sin(x+y/2)>0) 所证不等式左边共三项,今配一项sin(α+β+γ/3),即成偶数项。     

两道三角竞赛题错误的辨析

原题1在△ABC中,对λ≥1,求证:tan(A/λ)+2tan(B/2λ)+3tan(C/3λ)≥6tan(π/6λ),当且仅当A=π/6,B=π/3时等号成立.原证明如下:当α>0,β>0且α+β<π时,有:tanα+tanβ=(sinαcosβ+cosαsinβ)/(cosαcosβ)=(sin(α+β))/(cosαcosβ)     

韦达定理解三角题例说

一些三角问题转化为代数问题,运用韦达定理逆定理构造方程来解有时是很简便的。兹举例说明之。 [例1] 已知sinα·cosα=-(3~(1/2))/4,且(π/2)<α<3π/4,求sinα和cosα的值。解:∵(sinα+cosα)~2=sin~2α+cos~2α+2sinα cosα=1-(3~(1/2))/2,(又(π/2)<α<(3π/4)), ∴sinα+cosα>0。     

2004年高考三角求值题选

1.(全国)设α∈(0,π/2),若sinα=3/5,则cos(α π/4)=( ) (A)7/5 (B)1/5 (c)-7/5 (D)-1/5 2.(广西)已知α为锐角,且tanα=1/2,求sin2αcosα-sina/sin2αcos2α的值. 3.(广东)已知α,β,γ成公比为2的等比数列(α∈[0,2π]),且sinα,sinβ,sinγ也成等比     

2002高考（天津）试题别解

题目已知cos(α+π/4)=3/5,2/π≤α＜3/2π求cod(2α+π/4) 解法1由cos(α+π/4)=3/5,可得cosα-sinα=3√2/5…(1)再由sin2α+cos2α-1,得:2cos2α-6√2/5cosα-7/25-0,解得cosα=-√2/10或7√2/10,又π/2≤α＜3/2π,所以cosα=-√2/10,sinα=-7√2/10,所以cos2α=cos2α-sin2α=-24/25,sin2α=7/25所以cos(2α+π/4)=√2/2(cos2α-sin2α)=-31√2/50.     

α+β的取值范围究竟是什么--《对"改换证法推广命题"一文的修正》的一点注记

对于文[1]中的推广命题: 设α、β为任意角(α、β≠kπ/2,k∈Z),则(1)sin(α+β)=sin2α+sin2β(=)α+β=2kπ;     

更正通知

本刊2014年11期《诱导公式应该换代》一文在排版时存在如下问题:图1中-π的箭头应为顺时针方向;例1第2小题应为sin（-16π/3）=sin（-5π-π/3）=-sin（-π/3）=sinπ/3=3^1/2/2;P61第3栏第2段中“因此可用公式nπ+α更替π四组公式”改为“因此可用公式nπ+α更替2kπ±α,π±α四组公式”.给读者阅读带来不便,敬请谅解.     

三角教学中应重视反证法的作用

反证法在代数、几何证题中的地位与作用,已广为人知。但作为数学的一个分支——三角,由于它有公式繁多、恒等变形十分灵活等特点,因此在三角证题中,学生往往只知道套用公式寻求直接证法,而易于忽视反证法在三角证题中的应用。一、证明等式或证明不等式问题。例1 设α、β为锐角,且sin~2α+sin~2β=sin(α+β),求证:α+β=π/2(1983年全俄中学生数学奥林匹克试题)。证明要证α+β=π/2,只须证α+β>π/2要α+β<π/2都不能成立。为此,将已知等式变形成: sinα(sinα-cosβ)=sinβ(cosα-sinβ) (*) 假若α+β>π/2,则α>π/2-β,于是sinα>cosβ,cosα相似文献   

通过构造辅助方程求某些三角函数式的值

构造法是数学中常用的也是重要的方法之一.本文将通过构造辅助方程求某些三角函数式的值,而这些三角函数的值都是不易直接求解的。例1 求sin18°的值. 解:设α=18°,那么3α=90°-2α,从而sin3α=cos2α,即 3sinα-4sin~3α=1-2sin~2α, 4sin~3α-2sin~2α-3sinα 1=O.这说明sin18°是方程4x~3-2x~2-3x 1=0的一个根. ∵ 4x~3-2x~2-3x 1=(x-1)(4x~2 2x -1). ∴原方程的根为1,(-1±5~(1/5))/4,于是sin18°=(-1 5~(1/5))/4. 例2 求 cosπ/7-cos2π/7 co3π/7的值。解:设α=π/7,并设原式为y,那么y=cosα cos3α cos5α,从而     

向量背景下的三角函数的考查

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一.它是沟通代数、几何、三角函数的一种工具.以下针对向量在三角函数的图象与性质方面的应用作一简单的介绍,体现向量在三角函数中的工具作用.一、求值例1已知△ABC的三个顶点A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),其中π2<α<3π2.(1)若|AC→|=|BC→|,求α的值;(2)若AC→·BC→=-1,求cosα-sinα的值.解:(1)AC→=(cosα-3,sinα),BC→=(cosα,sinα-3).由|AC→|=|BC→|,有(cosα-3)2 sin2α=cos2α (sinα-3)2,整理得sinα=cosα,tanα=1.又因为π2<α<3π2,所以α=5π4.(2)因为AC→·BC→=-…     

一个三角不等式的再推广

设α+β+γ=π,那么sinα+sinβ+sinγ≤((33~(1/2))/2),当且仅当α=β=γ时等号成立.这是一个众所周知的三角不等式.1964年,维西克(Vasic)对之作了推广: xsinα+ysinβ+zsinγ≤3~(1/2)/2(yz/x     

构造齐次式解题5例(高一、高二、高三)

在解题时,可能会遇到(有时需构造)各项次数相同的式子,我们称之为齐次式,下面举例说明齐次式的应用. 1.求三角函数值 例1 已知6sin2α sinαcosα-2cos2α=0,α∈(π/2,π),求sin(2α π/3)的值. (04年湖北卷) 分析 方程左端为齐次式,由已知条件可知 cosα≠0,则α≠π/2,所以 原方程可化为 6tan2α tanα-2=0,所以 (3tanα 2)(2tanα-1)=0.     

一道试题变式教学的“课堂意外”

这是一堂关于“两角和与差的正余弦”习题课.学生的《课时作业》中有这样一道选择题:已知α∈(0,π/2),β∈(0,π/2),且sinα=5/13,cos(α+β)=-4/5,则sinβ的值为().A.33/65B.16/65C.56/65D.63/65应当说这是一道在角的变换背景下,考查两角和与差的正余弦公式的常规试题,而且两个角都是锐角,通过cos(α+β)=-4/5得到sin(α+β)=3/5,通过sinα=5/13得到cosα=12/13都是很容易理解的,因此由sinβ=sin(α+β-α)=sin(α+5β)cosα-cos(α+β)sinα就可以计算出sinβ的值为56/65,故选C.     

数学练习题(十八)解答

103.α,β,τ为锐角且 cos~2α cos~2β cos~2τ=1,试证:(3)/(4)π<α β τ<π.证由条件可得:cos~2α=sin~2β-cos~2τ>0及 cos~2α=sin~2τ-cos~2β>0.因而又有:sinβ>cosτ及 sinτ>cosβ.于是:sinβ·sinτ>cosτ·cosβ,即 cos(β τ)<0,得:β τ>(π)/(2)·同法可证得:α β>(π)/(2)及τ α>(π)/(2),因而得:α β τ>(3)/(4)π·     

关于三角函数最值的几条结论

定理1 设α_1,α_2,…,α_n∈[2kπ,(2k+1)π],其中 k 取自然数,α_1+α_2+…+α_n=θ(θ为定值),则 sin α_1+sin α_2+…+sin α_n≤nsin θ/n,当且仅当α_1=α_2=……α_n=θ/n 时等号成立(其中 n≥2).证明:采用数学归纳法.①当 n=2时,sin α_1+sin α_2=2sin((α_1+α_2)/2)cos((α_1-α_2)/2)=2sin(θ/2)cos((α_1-α_2)/2)≤2sin(θ/2).②假设 n=m 时命题成立(这里的 m 是大于2的自然数),