与垂足三角形内切圆有关的一个等式

定理设△ABC边为n，6，c，外接圆半径为尺，垂足△DEF的内切圆半径为r，则r=α^2＋b^2＋c^2-8R^2/4R.     

关联三角形四个内切圆的一组等式

定理 设△ABC内切⊙I（r）的三条切线DE／／BC,FG／／CA,HK／／AB,BC=a,CA=6,AB=c,△ADE、△BGF、△CHK内切圆半径分别为ra、rb、rc,△ABC外接圆半径为R,半周长为s,面积为△,则如下八个等式成立：     

三角形内切圆半径的计算

如果已知三角形的三条边,它的形状、大小就确定了,它的内切圆便是唯一的,内切圆半径应该可以求出．以下我们研究如何求三角形内切圆半径．     

三角形内切圆的半径公式及其应用

任何三角形都有唯一的内切圆,该圆的圆心就是三内角平分线的交点,半径就是圆心到三边的距离,其大小不仅与三角形的周长有关,而且还与三角形的面积有关,在许多与内切圆有关的三角形问题中都会涉及到半径,因此,本文首先推导出三角形内切圆的半径公式,然后举例予以说明.     

如何求三角形的内切圆与外接圆的半径

同学们常常会遇到求三角形的内切圆与外接圆的半径的问题．在知道一个三角形的三边长的情况下，如何求此三角形的内切圆与外接圆的半径呢？现举例如下：     

周界中点三角形内切圆半径之间的一个不等式

定理 设,,DEF分别是△ABC的边BC、CA、AB上的周界中点,且BCa=,CAb=,ABc=,s=()/2abc ,△ABC、△AEF、△BDF、△CED的内 切圆半径分别为r、 Ar、Br、Cr, 则有 3272256ABCrrrr. 证明 由三角形周界中点的定义知 ,sABAEcAE= = ,sACAFbAF= = ∴AEsc=-,AFsb=-. 在△AEF中,由余弦定理知: 2222cosEFAEAFAEAFA= -?2()2(1cos)AEAFAEAFA=- ? 2222()2()()(1)2bcabcsbscbc -=- --- 2()()()()()sbscabcabcbcbc--- -=- 2224()()()sbscbcbc--=- 224()()/,sbscbc-- ∴2()()/.EFsbscbc-- 同理 2()()/.DEsasbab-- 2()…     

任意三角形的外接圆与内切圆半径的求法

已知三角形的三边,如何求三角形的外接圆半径R和内切圆半径r？     

周界中点三角形两个面积不等式的最佳形式——等式

设D,E,F为ΔABC的边BC，CA，AB的周界中点，ΔABC，ΔAEF，ΔBFD，ΔCDE，ΔDEF的面积分别为Δ，ΔA，ΔB，Δc,Δ0,R和r分别为ΔABC的外接圆，内切圆半径，有献证明了：     

有关三角形内切圆的问题

近年来各地的中考试卷中，经常出现有关三角形内切圆的问题，不少同学感到比较困难。事实上，解答这类问题关键在于求内切圆的半径。     

一个关于三角形角平分线与旁切圆半径的不等式

约定△ＡＢＣ的内切圆半径、外接圆半径与面积分别记为ｒ、Ｒ、Δ ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,ＡＢ =ｃ ,ｓ=12 (ａ +ｂ+ｃ) ,其相应边上的高线、角平分线与旁切圆半径分别记为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ,ｗａ、ｗｂ、ｗｃ,ｒａ、ｒｂ、ｒｃ。文 [1 ]介绍了在一个锐角三角形ＡＢＣ中 ,有不等式∑ｗａｗｂ≥∑ｈａｒａ ①其中∑是关于三边ａ、ｂ、ｃ的循环和。文 [2 ]研究了循环和∑ｈａｒａ,得到 :在任意三角形ＡＢＣ中 ,有∑ｒａｒｂ≥∑ｈａｒａ ②本文将循环和∑ｒａｒｂ 与∑ｗａｗｂ 作比较 ,得到下述定理及其推广。定理　对任意△ＡＢＣ ,有∑ｒａｒ…     

关联四个圆的一个恒等式

文 [1 ]给出了关联三个圆的一个结论 :图 1命题　在圆内接四边形ABCD中 ,O、R分别是其外接圆的圆心和半径 ,I1、I2 分别是△ACD、△BCD的内切圆的圆心 ,r1、r2 分别是△ACD、△BCD的内切圆半径 ,O到I1、I2 的距离分别记为d1、d2 .则有R2 -d21r1=R2 -d22r2 .①本文将给出该命题的一个推广 ,得出涉及两个三角形、关联四个圆的一个恒等式 .命题　设△A1B1C1的外心为O1,内心为I1,外接圆半径为R1,内切圆半径为r1,O1I1=d1;△A2 B2 C2 的外心为O2 ,内心为I2 ,外接圆半径为R2 ,内切圆半径为r2 ,O2 I2=d2 .则有R21-d21R1r1=R22 -d2…     

正n边形内接三角形的个数

定义　平面上 ,以凸n边形Q的顶点作为顶点的凸r边形 (3 ≤r≤n)称为Q的内接r边形 .命题 1　正n边形有16n(n - 1 ) (n - 2 )个内接三角形 ,其中互不全等的内接三角形有 n2 +31 2 个 ,亦即〈n21 2 〉个 .([x]表示不大于x的最大整数 ,x∈R ;〈x〉表示最接近x的整数 ,x∈R ,x≠n +12 ,n∈Z)证明 :正n边形Q的内接三角形一一对应于Q的顶点集S的三元子集 ,由相等原理[1] 知Q的内接三角形个数M =C3n=16n(n - 1 ) (n - 2 ) .如图 1 ,设△ABC为Q的内接三角形 ,A、图 1B、C按逆时针方向排列 ,设其外接圆周长为n ,依逆时针方向的弧长AB =n1,BC …     

郑重声明

命题 设ha为△ABC的边BC上的高，D为边BC上的任一点，且r,r1,r2分别是△ABC，△ABD，△ACD的半内切圆半径；设r',r1',r2'分别为对着∠BAC，∠BAD，∠CAD并分别与BC，BD，DC相切的三角形的旁切圆半径。     

关联六个圆半径的一个恒等式

命题　设ha为ABC的边BC上的高,D为边BC上的任一点,且r、r1、r2分别是ABC、ABD、ACD的内切圆半径;设r′、r′1、r′2分别为对着∠BAC、∠BAD、∠CAD并分别与BC、BD、DC相切的三角形的旁切圆半径.则rr′=r1r2 r′1r′2 r1r′1 r2r′2.图1证明:如图1,易知r=Sp,r′=Sp-a.其     

三角形的内接最大正三角形

本文探讨任意三角形其内接正三角形的边长何时取最大问题．     

三角形内接正三角形的最小面积

命题　设△ＡＢＣ的面积为△ ,三边长分别为ａ、ｂ、ｃ.则△ＡＢＣ的内接正三角形的最小面积为 △236(ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ) + 2△.图 1证明 :如图 1所示 ,正△ＰＱＲ内接于△ＡＢＣ ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ=ｂ ,ＡＢ =ｃ.设∠ＢＲＰ =θ,则易求得∠ＰＱＣ =∠Ａ+ 60° -θ .再设△ＰＱＲ的边长为ｘ ,则分别在△ＢＲＰ和△ＰＱＣ中 ,由正弦定理可得ＢＰ =ｓｉｎθｓｉｎＢｘ ,ＰＣ =ｓｉｎ(∠Ａ + 60°-θ)ｓｉｎＣ ｘ.又因ＢＰ +ＰＣ =ＢＣ =ａ ,故ｘ = ａｓｉｎθｓｉｎＢ+ｓｉｎ(∠Ａ +6 0° -θ)ｓｉｎＣ=ａｓｉｎ(∠Ａ +6 0°)ｓｉｎＣ ·ｃｏｓθ+…     

等分圆周内接三角形计数问题

等分圆周内接三角形计数问题，即圆周上等分点组成三角形个数、等腰三角形个数、直角三角形个数、锐角三角形个数、钝角三角形个数等计数问题．当等分点较多时，求解难度明显增大．本文将此类问题略作归纳．     

浅议高校内部的教育公平

教育公平包括教育机会公平、教育过程公平和教育结果公平.当前,在高等教育领域,人们将较多的关注投向了主要包括由于地区差别、城乡差别、阶层差异、性别差别、民族差别等社会原因而造成的教育机会不公平,而对于高校内部的教育过程和教育结果的不公平研究较少.文章主要分析了高等教育过程和结果的各种不公平现象,总结其原因,并提出相关改进建议,旨在进一步推进高校内部的教育公平.     

证明线段相等问题的一般思路

（本讲适合初中） 证明线段相等问题一般可从以下兰个方面寻求证题思路．[第一段]     

论列宁"事实上的民族平等"观及其在中国的实践

民族平等是马克思主义民族理论的核心,是马克思主义解决民族问题的基石和制定民族政策的重要支柱。在中国,其思想精髓始终体现于对待少数民族宽厚待遇的各项政策体系之中。