用参数的几何意义巧解圆锥曲线问题

<正>平面内经过点M0(x₀,y₀)且倾斜角为α(α∈[0，π))的直线l的参数方程为■(t为参数)．当直线l上动点M(x,y)在点M0上方(即y> y0)时，t>0；当M(x,y)在点M0下方(即y 0M|．鉴于参数的几何意义是常见的解题切入点，本文以2022年高考题为例，展示直线参数方程在求解圆锥曲线问题时的神奇魅力．     

由一个例题到圆锥曲线“相交弦定理”的探索

例已知抛物线y2=4x外一点P(5/2,1)．(1)过点P的直线l与抛物线交于A、B两点,若点P刚好为弦AB的中点．(Ⅰ)求直线l的方程; (Ⅱ)若过线段AB上任一点P1(不含端点A、B)作倾斜角为π-arctan2的直线l1交于A1、B1两点,求证:|P1A|·|P1B|=|P1A1|·|P1B1|．分析:(Ⅰ)y=2x-4;     

关于二次曲线弦的分点问题

本刊1994年第3期刊载了张光华同志的《关于二次曲线弦分点问题的处理》一文，提出了利用偏导数法解决这一类问题的观点。本人认为，这一类问题也可用初等方法给出较为筒捷的解法。一、求二次的线以某定点为分点的弦所在直线方程右焦点F的直线与椭圆C交于A、B两点，试求直线l的方程和弦AB的解F(l，0),令A(2cosa,3sina)AF/FB=2由定比分点坐标公式得：1)．|AB|=3/2|AF|=27/8例2过点B(1,l)，能否作直线m,使m与C：x~2-y~2/2=1交于Q_1、Q_2两点，且点B是Q_1、Q_2的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在，说明理由。解设Q…     

利用异面直线上任两点间距离公式解题

已知两条异面直线a、b所成的角为θ,它们的公垂线AA′的长度为d,在直线a、b上分别取点E、F,设|A′E|=m, |AF|=n, 则|EF|=(a~2+m~2+n~2±2mncosθ)~(1/2)这就是异面直线上两点间距离公式(见高中立体几何课本乙种本第一章)本文谈谈它的一些应用。     

利用对称关系讨论一类最值问题

1．已知平面上两定点A、B及定直线L，在直线L上求一点P，使得|PA| |PB|最小。     

异面直线上两点间距离公式的应用

现行高中数学第二册(1979年6月第1版)35页介绍了异面直线上两点间距离的公式: 已知两条异面直线a、b所成的角θ,它们的公垂线AA′的长度为d,在直线a、b上分别取点E、F,设|A′E|=m,|AF|=n,则 |EF|=(d~2+m~2+n~2±2mn)~(1/2)。     

1994年初中《祖冲之杯》数学邀请赛试题及参考答案

初一年级一、填空题1.若m人在a天可完成一项工作，那么m n人完成这项工作需要ma/(m n)天．(用代数式表示）．3.设a＜-b＜c＜0，那么|a＋b| |b c|-|c-a| |a| |b|-|c|=b c-a(去掉绝对值符号）4．已知一个角的补角等于这个角余角的6倍，那么这个角等于5．由O点引出的七条射线如右图．已知OA⊥OE，OC⊥OG，∠BOC＞∠FOG，那么在右图中，以O为顶点的锐角共有15个．6．时钟在12点25分时，分针与时针之间的夹角度数为7．某人将其甲、乙两种股票卖出，其甲种股票卖价1200元，盈利20%；其乙种股票卖价也是1200元，但亏损20％．该人此交易结果…     

2006年高考数学模拟试题（一）

第一卷(选择题共50分) 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．不等式|2-x|>1的解集是 ( ) A．{x|x<3} B．{x|13} 2．设从集合R到R的映射f：x→y=x~2-1，那么3在f下的原象构成的集合是 ( ) A．{2} B．{-2} C．{2，-2} D．{8} 3．若a，b，c成等比数列，m是a，b的等差中项，n是b，c的等差中项，则(a/m)+(c/n)= ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 4．若a=(-3，(1/3)~2)，b=((1/3)~2，1)，则a与b的夹角是 ( ) A．30° B．60° C．90° D．120° 5．如果直线l，m与平面α，β，γ，满足：l=β∩γ，l∥α，m(?)α，m⊥γ，那么必有 ( ) A．α⊥γ，l⊥m B．α⊥γ，m⊥β C．m∥β，l⊥m D．α∥β，α⊥β 6．在△ABC中，“sin(A+B-C)=sin(A-B+C)”是“△ABC是等腰三角形”的 ( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件     

一个平几命题在解几中的应用

文 [1]运用解析法给出了圆锥曲线上点的四个有趣性质 .本文由一个平几命题得到这四个性质的统一简证 .定理　设直线 l1 与 l2 交于点 O,点 M,N是 l2 上的两个定点 ,且 |OM|=m,|ON |=n(m >n>0 ) ,l1 上的点 P对线段 MN的视角为α,则当 |OP|=mn时 ,α最大 .图 1证明　如图1,过点 M,N 作⊙ C切 l1 于点 K,则∠ MKN是 MN的圆周角 ,∠MPN是 MN的圆外角 .故∠MKN是 α的最大值 ,此时 ,由切割线定理知 |OK|2 =|OM|· |ON |=mn,即当 |OP|=mn时 ,α最大 .推论　设直线 l1 ⊥ l2 于点 O,点 M,N是l2 上的两个定点 ,且 |OM|=m,|ON |=n…     

对一道高考题的推广

2013年江苏一道高考题是关于函数y=1/x(x>0)图像上一动点与直线y=x上的定点之间的距离的最小值问题,本文将函数y=1/x(x>0)进行了推广,即介绍了双曲线、椭圆和抛物线上的动点P与其对称轴x轴上的点A(m,0)之间的距离|AP|的最小值问题,通过推导发现|AP|min随着m的变化而变化,点P的个数及其在圆锥曲线上的位置均与m的临界值(椭圆、双曲线是ce,抛物线是焦参数p)有关,推广了高考题中原有的相关结论.     

来自本届上海市高考数学第十题的反馈信息

本届上海高考数学(理工农医类)最末一题(第十题)的题目是: 已知:直线y=x+m和曲线x~2+2y~2+4y-1=0交于A、B两点,P是这条直线上的点,且|PA|·|PB|=2。求:当m变化时,点P的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形。基本解法有两种形式——在直角坐标形式     

一道2011年江苏高考试题的另一个思维视角的探究

(2011年江苏卷8)在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的一条直线与函数f(x)=2x的图象交于P、Q两点,则线段PQ长的最小值是.解:P、Q两点关于原点O对称,不妨设P(m,n)为第一象限中的点,则m>0,n>0,n=2m,所以|PQ|2=4|OP|2=4(m2+n2)=4(m2+4m2)≥16(当且仅当m2=44m2,即m=2时取等号)故线段PQ的长的最小值是4.本题上述解法主要考查函数、基本不等式性质等基础知识,换一个思维视角,实际上函数y=2x即xy=     

一道习题的探究与拓展

1.问题提出直线l过点P(2,1),且分别交x轴、y轴的正半轴于点A,B,O为坐标原点.当|PA|·|PB|取最小值时,求直线l的方程.方法 1由题意可知,直线斜率存在且k<0,设l:y-1=k(x-2)(k<0),则A(2-1k,0),B(0,1-2k),∴|PA|·     

用二级曲线方程讨论二次曲线中的问题

众所周知：二阶曲线与二级曲线统称二次曲线．为了用二级曲线方程研究二次曲线中的问题，首先叙述二阶曲线与二级曲线．二阶曲线指的是平面内满足二次方程的全体点（x1，x2，x3）的集会．当系数行列式|aij|≠0时，称为常态二阶曲线．二级曲线指的是平面内满足二次方程的全体直线〔u1，u2，u3〕的集会．当系数行列式|bij|≠0时，称为常态二级曲线．给定常态二阶曲线（n），则可化为相应的二级曲线，其方程为其中Aij为aij在|aij|里的代数余子式．给定常态二级曲线（m），则可化为相应的二阶曲线，其方程为其中Bij为bij显的代数余子式．对于二…     

让公式的推导思路来得自然些——浅谈新教材中点到直线的距离公式的推导设计

全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）《数学》第二册（上）第51页“点到直线的距离”在引入中这样写道：“在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为（x0，y0），直线l的方程是Ax+By+C=0，怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢？根据定义，点P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长（图7-17，这里略）设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q。由PQ⊥l可知直线PQ的斜率为BA（A≠0），根据点斜式可写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出|PQ|，得到点P到直线l的距离d…     

空间距离和角的向量求法

以向量为工具求空间距离和角可以避开高难度的思维和繁杂的推理,使解答过程顺畅、简捷,且解法固定．但是,其关键在于转化．一空间距离空间距离问题及其求解方法: (1)A、B两点之间的距离,可转化求向量AB的模． (2)求点O到直线CD的距离,可在CD上取一点 E,令CE=λED,由OE⊥CD或求|OE|的最小值得到参数λ值,以确定E的位置,则OE的模|OE|即为点O到直线CD的距离．     

一个命题的向量证明及推广发散

命题 :设点 P(x0 ,y0 ) ,⊙ O:x2 + y2 =r2 ,直线 l:x0 x + y0 y =r2则 1当点 P在圆上时 ,直线 l与⊙ O相切 ;2当点 P在圆外时 ,直线 l与⊙ O相交 ;3当点 P在圆内时 ,直线 l与⊙ O相离 .1　证明在直线 l上任取一点 Q(x,y) ,因为向量 OP =(x0 ,y0 ) ,OQ =(x,y)所以 OP .OQ =x0 x + y0 y =r2即 | OP| .| OQ| .cos∠ POQ =r2因为 l的一个方向向量 v=(-y0 ,x0 )所以 v.OP =0 OP⊥ l故圆心 O到 l的距离d =| OQ| .cos∠ POQ =r2| OP|| OP| >r时 ,d r;故命题为真 .2　画法已知点 P和⊙ …     

利用动直线恒过定点优化解题过程

<正>有些动直线恒过定点,解题时若能从定点入手,往往可起到"点"到路开、化难为易的功效.下面笔者通过例题介绍动直线恒过定点在解题中的应用.例1(2014年四川高考题)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA||PB|的最大值是.解直线x+my=0过定点A(0,0).直     

用直线参数方程中的t解题的三个注意点

过点P0（x0,y0）,倾斜角a的直线参数方程为这里不妨称它为直线参数方程的标准式,t、|t|分别等于有向线段的数量和长度．用直线参数方程解有关距离问题十分简便,但又极容易出错,下面通过辨析三道题的解法来说明用t解题的三个注意点．例1如图1,经过椭圆内一点A（1,1）,作直线l与椭圆交于P、Q两点,使A为线段PQ的中点,求直线l的方程．错解设l的参数方程为代入椭圆方程为因为点A是线段PQ的中点,故t;一l。,即山一t。一0,于是有整理为（4sho十C0s叶’十n（拓,n’。十。os’叶一0．此三角方程无解,所以不存在这样的直线l,故本…     

2004年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）

一、选择题 :每小题 5分 ,共 40分 .1.设全集是实数集R ,M ={x| -2≤x≤ 2 },N ={x|x <1},则M∩N ,等于 (　　 ) .(A) {x|x <-2 }　　 (B) {x| -2 相似文献