一个不等式推广的再研讨

第39届IMO预选题11[1]如下:设x,y,z是正实数,且xyz=1,证明:x3 y3(1 y)(1 z)(1 z)(1 x) z3≥.3(1)(1 x)(1 y)4文[2]将(1)式推广为:定理1设xi∈R (i=1,2,L,n),且x1x2Lxn=1,a≥1,n≥2,有nn∑(xii=1a x1)L(a xi?1)(a xi 1)L(a xn)≥n.(2)?1(a 1)n本文给出定理1的一个推广:定理2设xi     

Hardy空间H~1(R~n)的一个等价刻画

证明当n≥2时,L1(Rn)上的实值函数f∈H1(Rn)的一个充分必要条件是f的一阶Riesz位势I1 f=∫R n|y|1-nf(x-y)dy满足▽(I1 f)∈L1(Rn),其中▽(I1 f)=(x1I1 f,…,x n I1 f)是I1 f在Rn上的弱导数.     

设计性单摆实验三例

一、摆球质量分布不均匀时,设计实验测量g例1现有一根不可伸长的长细绳、秒表、30cm长的刻度尺以及一块质量约为几千克(质量分布不均匀)的摆球,请你设计一个测定重力加速度的实验,写出实验步骤,并推导出重力加速度的表达式(用测定的物理量来表示).解析用细线系住小球做成一个单摆(设摆长为L),悬挂起来,让摆角在小于5°的条件下振动n次(如30次),用秒表记下振动时间t1,算出周期T1,即T1=t1n;再使摆线增长ΔL,重复上述实验,记下n次全振动所需的时间t2,算出周期T2,即T2=t2n.∵T1=2πLg√,∴L=T12g4π2.∵T2=2πL+ΔL√g,∴L+ΔL=T22g4π2.…     

平面闭折线k号心的一个有趣性质

本文在文[1]的基础上,探讨平面闭折线A(n)关于点P的k号心与它的一级顶点子集V j(1≤j≤n)关于点P的k号心之间的关系.定义从闭折线A(n)的n个顶点中任取一个顶点A j(1≤j≤n),其余(n?1)个顶点组成的集合,称为闭折线A(n)的一级顶点子集,记为V j,即V j={A1,A2,L,A j?1,A j 1,L,An}.     

偶数条边的平行凸多边形的一个性质

定理对边平行、对角线交于一点的凸2n 边形,其交点平分任一条对角线.证明:如图,在2n 边形 A_1A_2…A_(2n)中,A_1A_2∥A_(n 1)A_(n 2),…,A_nA_(n 1)∥A_(2n)A_1.对角线 A_1A_(n 1),     

一道对数比较大小题目的多种解法

扭匆对于n>1，n〔N’，试比较109。(n 1)与109。 ;(n十2)的大小.解法1:作差比较法. 109。(n 1)一109。一 ，(n 2)= l 109。 一n一109。 1(n 2)一竺卫丝遍塑口里遍述二上丝> 109。 1刀109， In 109。 In > 109。 In 109二(n l)>109。 1(n 2).解法2:作商比较法.由已知得109。(n l)>o，logn ，(n 2)>0. 109。 1(n 2) 109。(n 1)一「109， ，(n 2) 109。 ，n]’一‘09· ’、”卞‘少’‘。g” ’儿\L—-一了—一—」一厂109。 ，(nZ Zn)]2一「109。 ，(n 1)2]2_1—l—l、、、l—l—工L乙」L乙J 109。(”十1)>109。 一(n 2).点评:以上两种解…     

梅涅劳斯定理在n维空间中的一个推广

梅涅劳斯定理:直线L与△ABC的三边AB,BC,CA分别交于X,Y,Z三点,当且仅当λ_1λ_2λ_3=-1。其中λ_1=(AX)/(XB),λ_2=(BY)/(YC),λ_3=(CZ)/(ZA)。下面试将该定理推广到n维空间。 设V是实数域R上的一个n维向量空间R~n,对于V中任一对向量ξ=(X_(11),X_(12),…,X_(1n)),η=(X_(21),X_(22),…,X_(2n))。记d(ξ,η)=~(1/2)(sum from i=1 to n(X_(2i)-X_(1i))~2),定义内积     

一类恒等式的证明

形如f(1)+f(2)+…+f(n)=F(n)的恒等式,除用数学归纳法证明外,还可用这样的方法,即证F(n)-F(n-1)=f(n),F(0)=0。于是f(1)=F(1),f(2)=F(2)-F(1),f(3)=F(3)-F(2),…,f(n)=F(n)-F(n-1),逐项相加得f(1)+f(2)+…+f(n)-F(n)。完全类似地,对形如f(1)·f(2)…f(n)=F(n)(f(n)≠0)的恒等式,可证F(n)/F(n-1)=f(n),F(0)=1。于是,f(1)=F(1),f(2)=F(2)/F(1),…f(n)=F(n)/F(n-1),逐项相乘得f(1)·f(2)…f(n)=F(n)。此法适用于代数,三角恒等式,证法简捷。例1 求证cosx+cos2x+……cosnx     

两个完全二部图的匹配和的L(2,1)-标号

研究了两个均同构于完全二部图Km,n的图G1=(X1,Y1)与G2=(X2,Y2)的匹配和Bm,n的L(2,1)-标号问题,得到了下面的结果:(1)若X1中元素完全与X2中元素相匹配且m,n>3,则Bm,n的L(2,1)-标号数为m+n;(2)若X1中元素不完全与X2中元素相匹配且m,n>6,则Bm,n的L(2,1)-标号数为m+n+1.     

例谈周期数列

若数列an 满足递推方程an L =an(n =1,2 ,3…… )L为某一自然数 ,则称数列an 是以L为周期的周期数列 .下面我们看几个周期数列的例子 .例 1　已知an =sin( n4 π) (n∈N )求a1 a2 … a2 0 0 4的值 .简析　因为sin( n4 π)为周期函数 ,所以an 为周期数列最小正周期为 8,且a1 a2 … a8=0 ,所以a1 a2 … a2 0 0 4=a2 0 0 1 a2 0 0 2 a2 0 0 3 a2 0 0 4=a1 a2 a3 a4=1 2 .例 2　记f(n)为自然数n的个位数字 ,an =f(n2 ) -f(n) .求 :a1 a2 a3 …… a1 997.简析　易知f(n 10 ) =f(n) ,f[(n 10 ) 2 ] =f(n2 ) ,所以an 1 0 =…     

求C~(1/2)近似值的两种方法与应用

我们知道,当C>0,且C≠n2,n∈N,必须通过计算器才能得出C的近似值,那么这些近似值是如何得出,对于解决其他问题有什么帮助?如图,已知函数f(x)在互异的两个点x0,x1处的函数值f(x0)=y0,f(x1)=y1而想估计函数在另一点ξ处的函数值,最自然的想法是作过点(x0,y0)和(x1,y1)点的直线y=L1(x),用L1(ξ)作为准确值f(ξ)的近似值.如果认为这样做误差很大,而且还可以得到f(x)在另一点处的函数值,这样可以构造过点(xk,y k),(K=0,1,2)的二次曲线y=L2(x).用L2(ξ)作为准确值f(ξ)的近似值.如上图.那么如何求出L1(x)及L2(x)?1插值法已知y0=f(x0),y1=f(x1…     

关于愉快图的Bodendick猜想(Ⅰ)

在文献[1]一文中,我们证明了下述定理定理一.对于正整数n,k,若适合下列条件之一,则C_n(2k)是愉快图。(1)n≡0(mod 4),1≤k≤[(n-4)/2];(2)n≡2(mod 4),1≤k≤[(n-4)/2],k≠2;(3)n≡1(mod 4),1≤k≤n/3,k≠[(n+3)/4],k≠2;(4)n≡3(mod 4),1≤k≤n/3,k≠[(n+1)/4].     

一个圈与一个完全二部图的直积的L(2,1)-标号

通过分类讨论、归纳综合的方法,研究了一个圈与一个完全二部图的直积的L(2,1)-标号问题,得到了以下的结果:(1)当n≥3时,C3×Kn,n的L(2,1)-标号数为3n+1;当n≥3时,C4×Kn,n的L(2,1)-标号数的上界是4n;当n≥3时,C5×Kn,n的L(2,1)-标号数为5n-1;(2)当n≥3,m≥6,m≡0(mod3)时,Cm×Kn,n的L(2,1)-标号数为3n+1;当n≥3,m≥6,m≡1(mod3)或m≡2(mod3)时,Cm×Kn,n的L(2,1)-标号数的上界是4n.     

某类带非光滑系数的超复方程

本文研究一类带非光滑系数的超复方程其中A,B,F∈L.,(E),p>2,我们引入空间P_1(n)和P_(?)(n),利用压缩映象原理,得到了方程(Ⅰ)的解的连续性定理和表示定理。     

n边闭折线的计数问题

定理　平面上三三不共线的n(n≥3 )个点,可确定T(n) =12 (n -1 ) !条n边折线.证明:n边闭折线的顶点分别记为1 ,2 ,…,n -1 ,n .那么任一条闭折线都对应着这n个顶点的一个环形排列,这排列数为(n -1 ) !.但是,由于与环绕顺序无关,比如,排列1 ,2 ,3 ,…,n -1 ,n和n ,n -1 ,…,3 ,2 ,1对应同一条闭折线,因此(n -1 ) !这个数,多算了一倍,从而T(n) =12 (n -1 ) !.并进一步猜想正n边闭折线的类数L(n)有如下表达式:L(n) =[n2 ]·L(n -1 )=[n2 ]·[n -12 ]…[32 ][22 ].( [x]表示不大于x的最大整数)n边闭折线的计数问题$江苏省江阴市祝塘中学@张心…     

锌和镉与均苯三酰胺甘氨酸配合物的合成与荧光性能研究

以均苯三酰胺甘氨酸为配体,合成了[Zn3L2·15H2O]n(1)和[Cd3L2·DMF·7H2O]n(2)(L=均苯三酰胺甘氨酸,DMF=N,N-二甲基甲酰胺).并对其进行了元素分析、红外光谱、热重分析、X-射线粉末衍射和荧光光谱测定,与配体相比,[Zn3L2·15H2O]n(1)和[Cd3L2·DMF·7H2O]n(2)的荧光光谱发生了不同程度的红移和蓝移,其最大发射峰分别在467nm和428nm.     

变系数线性递归数列的通项与求和问题

一、递归数列的有关概念 对于一个复数列a_1,a_2,…,a_n…(1) 若存在K∈N与K+1个整标函数P_1(n),P_2(n),……,P_k(n)和f(n)使得对于(?)n     

2维无向超环面网的控制数

(d,k)控制数是用来刻画容错网络中资源共享可靠性的一个新参数,吕长虹和张克民得到：d=d (C(d_1,d_2,L,d_n))-1时,n维超环面网C(d_1,d_2,L,d_n)≠C(3,3,L,3)的(d,2n)控制数为2(n≥3,d_i≥3,i∈{0,1,L,n}),本文得到：2维无向超环面网C(d_1,3)的(d,4)控制数为2,如果d_4(C(d_1,3))-(m-2)＜d＜d_4(C (d_1,3))-1。     

自然数方幂和的一个性质的简证

若将前n个自然数的k次方的和记作S_k(n),亦即S_k(n)=sum from i=1 to n(i~k),我们将证明在k是奇数时,S_1(n)|S_k(n)。 由S_1(n)=1/2n(n 1),及n和n 1     

关于一个极限函数性质的研究

在本文中,笔者证明了几个函数列的单调收敛性,并给出其极限函数的有趣性质.命题1　当x>0时,函数列{An(x)=x1/2n}单调收敛.证:由于An 1(x)-An(x)=x1/2n 1-x1/2n=x1/2n 11-1x1/2,知当01时,{An(n)}严格递增,且有A2n 1(x)=An(x),limn→∞An(x)=1.命题2　若An(x)=x1/2n,则{Bn(x)=2n(An(x)-1)}递减,{Cn(x)=2n(1-1/An(x))}递增,且两个函数列极限相等.证:由x>0,An(x)>0,A2n(x)=An-1(x),有2An(x)≤A2n(x) 1≤An-1(x) 1,所以2(An(x)-1)≤An-1(x)-1,即2n(An(x)-1)≤2n-1(An-1(x)-1),因此Bn(x)≤Bn-1(x),说明{Bn…