错在哪里

解析几何中的一个常见题“P是椭圆(x~2)/(a~2) (y~2)/(b~2)=1上一点,F_1、F_2是焦点,若∠F_1PF_2=α,求△PF_1F_2的面积”。下面给出二种解法. 解法一:S_△=1/2|PF_1|·|PF_2|sinα,|F_1F_2|~2=|PF_1|~2 |PF_2|~2-2|FF_1||PF_2|cosα=(|PF_1| |PF_2|)~2-2|PF_1|·|PF_2|-2|PF_1|·|PF_2|cosα=4a~2-2|PF_1|·|PF_2|(1 cosα)=4c~2, ∴|PF_1|·|PF_2|=(4a~2-4c~2)/(2(1 cosα))=(2b~2)/(1 cosα)。     

浅谈椭圆方程及其题型求解

<正>一、利用椭圆的定义解题例1已知椭圆方程(x~2)/~(a~2)+(y~2)/~(b~2)=1(a>b>0),焦点为F_1,F_2,P是椭圆上一点,∠F_1PF_2=α。求:△F_1、PF_2的面积(用a、b、α表示)。解:如图1,设P的坐标为(x,y),根据椭圆的对称性,不妨设P在第一象限。由三角形的余弦定理可知:|F_1F_2|~2=|PF_1|~2+|PF_2|~2-2|PF_1|·|PF_2|cosα=4c~2。①     

三角解几 融为一体

解析几何的本质是用代数方法研究几何问题,而三角可以实现几何特征与代数运算的有效转化,因此解析几何中的三角问题俯拾即是:一、以三角为工具,用三角的一整套变换公式,求解圆锥曲线的特征变量【例1】设P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点,F1、F2是椭圆的焦点,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,求椭圆的离心率e.解:由正弦定理得|PF1|sinβ=|PF2|sinα=|F1F2|sin(π-α-β),∴|PF1|+|PF2|sinα+sinβ=|F1F2|sin(α+β),即2asinα+sinβ=2csin(α+β),而e=ca,∴e=sin(α+β)sinα+sinβ=2sinα+β2cosα+β22sinα+β2cosα-β2=cosα+β2cos…     

椭圆弦焦角的几个结论及应用

设 F_1、F_2 是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)的焦点,过 F_1、F_2的弦交椭圆于 P 点,称∠F_1PF_2为椭圆的弦焦角,如图。设∠F_1PF_2=2θ,则有下列结论.结论1|PF_1||PF_2|cos~2θ=b~2.证明:在△F_1PF_2中,由余弦定理|PF_1|~2 |PF_2|~2-     

数学奥林匹克高中训练题（48）

2.已知F_1、F_2为椭圆E的左、右焦点,抛物线C的F_1为顶点,F_2为焦点,设P为椭圆与抛物线的—个交点。如果椭圆E的离心率e满足|PF_1|=e|PF_2|,则e的值是( )。     

椭圆离心角的一个性质及其应用

椭圆中的参数ψ叫做椭圆的离心角。它具有如下重要命题。 命题 P是椭圆(a>b>0)上的一点,c为椭圆的半焦距,F_1、F_2是两个焦点,若∠F_1PF_2=2θ,则|sinψ|=(b/c)tgθ。     

２００１年上海高考数学试题（１８）题拓广

2001年上海高考数学试题(18)题:设F_1,F_2为椭圆9/x~2 4/y~2=1的两个焦点,P,F_1,F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF_1|>|PF_2|,求|PF_2|/|PF_1|的     

椭圆焦点三角形的性质及其巧用

以椭圆上一点与椭圆两焦点为顶点的三角形叫椭圆焦点三角形.它具有下面的一些性质.若椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>)中,F_1、F_2是两焦点,P为椭圆上任一点,∠PF_1F_2=α,∠PF_2F_1=β,e为离心率,则     

焦点三角形 高考常青树

椭圆、双曲线上任一点与两个焦点F_1、F_2所成的三角形,常称之为焦点三角形。解焦点三角形问题经常借助于正余弦定理,并结合三角形边角关系的有关定理加以解题。解题中,经常需要通过变形,结合椭圆、双曲线的有关定义,使之出现|PF_1|+|PF_2|=2a或|PF_1|-|PF_2|=±2a,再结合有关条件,进行解题。     

圆锥曲线离心率范围的六种求法

例题设椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F_1,F_2,若椭圆上存在点P,使∠F_1PF_2=90°,则离心率e的取值范围是.解解法一:利用曲线范围求解     

椭圆中一道习题的应用

在解析几何习题集里有这样一个题目: 设F_1、F_2是已知椭圆的两个焦点,PQ是已知椭圆上的两个点,P点处的切线与Q点处的切线交于点M,求证:(1)∠PF_1M=∠QG_1M;(2)∠F_1MP=∠F_2MQ。证明如图1,延长F_1Q至F_1′,使|QF_1′|=|QF_2|延长F_2P至F_2′,使|PF_2′|=|PF_1|。由椭圆的光学性质可以推知,(以下从略。)     

对一类特殊的椭圆焦点三角形的研究

<正>引例已知F_1,F_2分别为椭圆(x²)/6+(y2)/6+(y²)/2=1的左,右焦点,在椭圆上是否存在一点P,使|OP|=|OF_1|?若存在,求点P的坐标,并求∠OF_(1)P的大小;若不存在,说明理由.设点P为椭圆(x2)/2=1的左,右焦点,在椭圆上是否存在一点P,使|OP|=|OF_1|?若存在,求点P的坐标,并求∠OF_(1)P的大小;若不存在,说明理由.设点P为椭圆(x²)/(a2)/(a²)+(y2)+(y²)/(b2)/(b²)=1(a>b>0)上(除长轴的两个端点外)任意一点,F_1,F_2为椭圆的两焦点,称△F_(1)PF_2为椭圆的焦点三角形.特别地,若∠F_(1)PF_2为直角时,不妨称     

焦半径公式应用类型探究

<正>焦半径公式:已知F1,F2是椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的左、右焦点,P(x_0,y_0)是椭圆上一点,则|PF_1|=a+ex_0,|PF_2|=a-ex_0。证明:椭圆的左准线方程为x=-a2=1(a>b>0)的左、右焦点,P(x_0,y_0)是椭圆上一点,则|PF_1|=a+ex_0,|PF_2|=a-ex_0。证明:椭圆的左准线方程为x=-a²/c。由椭圆的第二定义,得|PF_1|/(x_0+a2/c。由椭圆的第二定义,得|PF_1|/(x_0+a²/c)=c/a,即     

椭圆的焦点三角形

<正>由椭圆的两个焦点F_1,F_2和椭圆上任意一点P构成的三角形称为焦点三角形。由椭圆的定义,得椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和为定值,即|PF_1|+|PF_2|=2a,所以焦点三角形△PF_1F_2的周长为定值2a+2c。解答与焦点三角形相关的问题(如求△PF_1F_2的面积等)时,     

问疑答难

问题1.已知双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F_1、F_2,P为双曲线右支上任意一点,当(|PF_1|~2)/(|PF_2|)取得最小值时,求该双曲线离心率e的最大值.解:由点P在双曲线右支上,     

焦点三角形面积的妙用

以圆锥曲线上一点与其两焦点为顶点的三角形叫做焦点三角形。它们有如下的面积公式: P为椭圆(x~2)/(a~2) (y~2/b~2)=1(a>b>0)上任一点,F_1、F_2是两焦点,∠F_1PF_2=θ,则 S_(△PF_1F_2)=b~2tgθ/2 (1) P为双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2/b~2)=1上任一点,F_1、F_2是两焦点,∠F_1PF_2=θ,则     

一道焦半径拓展题的探究

<正>一、问题的提出如图1,在椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)中,F_1、F_2分别是左、右焦点,点P是椭圆上任一点,对于焦点△PF_1F_2中的两条焦半径PF_1,PF_2,现有的研究已比较深入,我考虑延长PF_1交椭圆于点Q,延长PF_2交椭圆于点M,把两条焦半径的问题拓展为四条焦半径PF_1,PF_2,QF_1,MF_2的问题.由于点P是动点,所以     

用向量方法解93年上海高考题26(1)

本文介绍用向量求解上海1993年高考数学试题26(1)的方法。上海课程改革试点教材在高二第二学期增加了“向量初步”一章,现将有关知识作一简单介绍。若向量a、b的夹角为φ,定义它们的数量积a·b=|a||b|cosφ。若a、b的坐标分别为{x_1,y_1}、{x_2,y_2},则利用上述向量知识可求解26(1);如图,P为椭圆x~2/a~2 y~2=1上的一个动点,它与长轴端点不重合,a≥2~(1/2),点F_1和F_2分别是双曲线x~2/a~2-y~2=1的左焦点和右焦点,φ=∠F_1PF_2,(1)     

用焦半径公式 简解弦长问题

<正>椭圆、双曲线或抛物线上一点与焦点的线段,叫做圆锥曲线的焦半径。(1)已知椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F_1(-c,0)、F_2 (c,0),P(x_0,y_0)是椭圆上的动点,则PF_1=a+ex_0,PF_2=a-ex_0,且焦半径的长度的取值     

椭圆双曲线焦点三角形的若干对偶性质——兼证法探微

定义以椭圆 x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)(1)的两个焦点 F_1(-c,0)、F_2(c,0)(c=(a~2-b~2)~(1/2))及椭圆上任意一点 P(但不是长轴顶点)为顶点的△F_1PF_2,叫做椭圆的焦点三角形;以双曲线 x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0)(2)的两个焦点F_1(-c,0)、F_2(c,0)(c=(a~2 b~2)~(1/2))及双曲线上任意一点 P(但不是双曲线顶点)为顶点的△F_1PF_2,叫做双曲线的焦点三角形(由对称性,本文姑且设 P 在双曲线的右支上).