例说空间中动点的轨迹问题

2008年高考数学北京卷理科第8题是一道典型的空间动点的轨迹问题： 如图1，动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M、N．     

在运动与变化的数学美中体验想象的驰骋——一道意境幽远的高考立体几何题赏析

2008年高考数学北京卷文、理第8题: 如图,动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,过点P作垂直于平面BB1D1D的直线,与正方体表面相交于M、N.设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)的图像大致是( )     

正方体的基本截面图形

下列五个正方体图形中,l 是正方体的一条对角线,点 M 、 N 、 P 分别为其所在棱的中点,能得出l ⊥ 面MNP的图形的序号是___. ① ② ③ ④ ⑤ 此乃 2003 年全国高等理科 16 题.文[1]对它的背景、解法作了粗浅的探讨,作为对问题的进一步思考,我们曾以信息技术为工具,对正方体的基本截面图形做了较深入的剖析,以丰富对正方体的内在结构的认知. 设 A1,A2,LA20 分别表示正方体的顶点或棱的中点,则由这 20 个点可以确定截面 16 类,共 299 个,它们构成了正方体截面的基本图形. 例 1 (2003 年高考理科 16 题) …     

每期一题

题已知M为边长是1的正方体AC_1的棱AA_1的中点,P为CC_1上任一点,求过D、M、P的截面中所有的四边形面积的最大值。解分两步,设N为CC_1的中点,首先证明当P在CN上(包括N点)时,截面是平行四边形;而当P在NC_1上(不包括N)时,截面是五边形。然后求四边形面积的最大值     

动中探定 以定制动——一道2022年福建省高三质检题的探究

<正>1试题呈现(2022年福建省高三诊断性测试第11题)正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别为棱AB,CC₁,C₁D₁的中点,Q∈平面MNP,B₁Q=AB,直线B1Q和直线MN所成角为θ,则()．A.MN∥AC₁B.θ的最小值为■.A,M,N,P四点共面D.PQ∥平面ACD₁2试题分析本题以正方体为载体,考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系,线线所成的角、动点的轨迹问题等基础知识;     

一道课本习题的多种解法与拓展

题目(人教版《数学》第二册P80第5题)如图1,已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a,M是棱AA′的中点,点O是对角线BD′的中点,求证OM为     

2022年全国联赛A2卷第6题解法赏析

<正>2022年全国高中数学联赛A2卷第6题为一道立体几何题．试题以正方体为载体，以面面相交为命题背景，设计求解相交直线的夹角余弦值．试题在常规解答之外留给竞赛生较大的发挥空间，以供学生展示学科综合能力．笔者提供多种解答，以求抛砖引玉．题目如图1，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M,N分别为棱A₁B₁,BB₁的中点，过D,M,N三点作该正方体的截面，     

关于达到最小距离的点对数

一、引言 对于平面上n个点组成的集合 F。={P。}‘止、,令D二maxP‘p,,d二min尸‘P,, M。={(p‘,p,);p‘p,二D,p‘,p, 任F。}, 二。={(P‘,P,);P‘P,=d,P‘,P, 任F。},}M,}、}二。!表示集合M二、二二的元素个数. 关于}M二},即n点组成集合F。的直径条数,已有结论〔1〕:IM。!簇:,且确有尤个点使{M。}二n. 本文讨论!m,、!,即达到最小距离的点对数,得到!从,1《3,},n;!(5,},n。}成7,1,n6!镇9,{m,1提12,!。2。}(24,!m。}蕊26,)二,。}(19,而且上述上界不能改进,即确有点集,使等号成立.对于n妻9,我们证明: !M。I成3n一11. 二、几个引理 对…     

借助化归 避免漏选——2003年高考填空立几题的求解

2003年高考全国卷中填空题最后一题是这样的:下列5个正方体图形中,l是正方体的一条对角线,点M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出l⊥面MNP的图形的序号是________。(写出所有符合要求的图形序号)     

立体几何创新题型

解析：如图1—2,当点P在正方体的表面ABB1上时,因BC⊥平面AB1,得点P到直线BC距离就是点P到点B的距离,     

立体几何中共点共线共面问题的证明方法

一、点共线的证明证点共线通常运用公理2,即证明这些点同时在两个平面内,则它们必在两平面的交线上.例1正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,求证:点C1,O,M共线.证明如图1     

4．北京卷第14题

题目 如图1,在棱长为2的正方体 ABCD=A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为________．     

错解剖析

例1如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M、N分别是棱AA1和CC1上的动点,且AM=C1N.求证:四边形MBND1是平行四边形.     

例谈几何体表面两点间的最短距离

先看一个趣味数学问题,正方体木块AC1的棱长为1,蜘蛛位于A1B1的中点M处,苍蝇停留在D点,问蜘蛛应采用怎样的最短路线,才能最迅速地抓住苍蝇?     

求曲线的方程要注意什么

“已知曲线P上的任意一点M(x,y),适合几何条件p(M),求曲线P的方程”这类问题在平面解析几何里占有重要地位。经验告诉我们,解这类问题必须注意两点,否则易出差错。〔注意一〕.将曲线P(点集P)改写为集合     

“以形辅数”解题的若干途径

“以形辅数”是数形结合的一个重要方面,从思维角度看,“形”有助于人们对问题作直观的分析,所以“以形辅数”是一种重要的解题方法。一、借助不等式对应的区间或区域进行不等式组和集合运算。例1 (1988年全国高中联赛试题)有三个集合M、N、P,其中M={(x,y)||x|+|y|<1}, N={(x,y)|((x-1/2)~2+(y+1/2)~2)~(1/2)+((x+1/2)~2+(y-1/2)~2)~(1/2)<22~(1/2)},P={(x,y)||x+y|<1,|x|<1,|y|<1},则下列正确的为: (A)M(?)P(?)N;(B)M(?)N(?)P;(C)P(?)N(?)M;(D)以上均不成立。解:在平面上作出M、N、P的区域,见图1。 M是正方形ABCD内的点集, P是六边形DAEBCF内的点集,     

以空间图形为背景的轨迹问题例析

例1已知平面α∥平面β,直线l奂α,点Pl,平面α、β间的距离为8,则在平面β内到点P的距离为10,且到直线l的距离为9的点的轨迹是()A.一个圆B.两条直线C.四个点D.两个点解析如图所示,设点P在平面β内的射影是O,则OP是平面α、β的公垂线段,OP=8.在平面β内到点P的距离等于10的点到点O的距离等于6,故点的集合是以O为圆心,以6为半径的圆.在平面β内到直线l的距离等于9的点的集合是两条平行直线m、n,它们到点O的距离都等于92-82姨=17姨<6,所以直线m、n与这个圆均相交,共有四个交点.因此,所求点的轨迹是四个点.选C.例2已知正方体ABCD—…     

巧构正方体 速解高考题

一、将正四面体补成正方体例1(2006年山东卷)如图1,在等腰梯形ABCD中,AB=2CD=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合于点P,则三棱锥P—DCE的外接球的体积为()(A)4273π(B)62π(C)68π(D)264π解析:根据题意折叠后的三棱锥P—DCE为正四面体,且棱长为1.以此正四面体来构造正方体,使正四面体的各棱分别是正方体各面的对角线,如图2.则正方体的棱长为22,正方体的对角线也即正方体外接球的直径的长为26.又正方体的外接球也为正四面体的外接球,所以外接球的半径为46.所以,V球=43πr3=43π(46)3…     

2003年普高春招（北京卷）数学客观题点解

理科 1.若集合M={y|y=2x},P={y|y=√x+1},则M∩P=( ). (A){y | y>1} (B){y | y≥1} (C){y | y>0} (D){y | y≥0} 点解:求出值域本题集合M与P中的代表元素是y,则M∩P     

数学奥林匹克高中训练题(63)

第一试一、选择题 (每小题 6分 ,共 36分 )1 .已知集合P =n 3n+ 4 n5∈N ,n∈N ,Q ={m|m =( 2k - 1 ) 2 + 1 ,k∈N}.则P与Q的关系是 (　　 ) .(A)P =Q　　　　 (B)P Q(C)Q P　　 (D)P Q且Q P图 12 .如图 1 ,已知正方体ABCD -A1B1C1D1,点M、N分别在AB1、BC1上 ,且AM =BN .那么 ,①AA1⊥MN ;②A1C1∥MN ;③MN∥平面A1B1C1D1;④MN与A1C1异面 .以上 4个结论中 ,不正确的结论的个数为 (　　 ) .(A) 1　　 (B) 2　　 (C) 3　　 (D) 43.用Sn 与an 分别表示区间 [0 ,1 )内不含数字 9的n位小数的和与个数 .则limn→∞anS…