正八面体外接与内切球的几个不变量

设正八面体 A1 - A2 A3A4A5- A6棱长为 a,Mi( i=1 ,… ,1 2 )为各棱中点 ,Nj( j=1 ,… ,8)为各面中心 ,O为其内切球和外接球中心 ,r与 R分别为其半径 ,则有定理 1　设 P为正八面体外接球上任一点 ,则( 1 ) ∑6i=1 PA2i=1 2 R2 ;( 2 ) ∑1 2i=1 PM2i=1 8R2 ;( 3) ∑8i=1 PN2i=323R2 .证明　由 O是外接球心 ,知 ∑6i=1 OAi=0 ,OP=OAi=R,∴∑6i=1 PA2i=∑6i=1 PAi2 =∑6i=1 ( OAi- OP) 2=∑6i=1 ( OAi2 + OP2 ) - 2 OP∑6i=1 OAi=∑6i=1 ( R2 + R2 ) =1 2 R2 .类似可证 ( 2 ) ,( 3) .应用相应结果 ,可证定理 2　设 P′为正…     

多面体的外接球与内切球

例1如图1,在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．     

球的内接与球内切问题

在立体几何第二章中，关于球的内接与球内切问题，有些同学搞不太清楚，在此将有关的’规律作一小结，以帮助同学们学习．要解决这类问题，一方面要搞清楚球的内接与球内切的含意，另一方面要作出适当的轴截面，把空间问题转化为平面问题，下面就各种情况举例说明。     

关于几何体有内切球的一个命题

引例 已知圆台全面积与其内切球全面积之比为k(k>1)，求它们的体积之比．     

内切和外接

1.正方体的内切球、棱切球、外接球与正方体的各个面、各条棱都相切的球,经过正方体各个顶点的球分别称为正方体的内切球、棱切球、外接球.     

几何体间的切与接

一、选择题 1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1内有一个内切球,点E、F、M、N分别是棱AD、A1D1、AB、A1B1的中点,过EF和MN作一截面,则截面图形是（）．     

与四面体内切球和旁切球半径有关的几个不等式

讨论了四面体的高与内切球半径、旁切球半径之间的关系，得到了几个与其有关的不等式。     

有内切球的旋转体的两条性质

设Q为旋转体(圆柱、圆台、圆锥、球缺),且存在内切球,则 (1)Q体积与表面积数值相等时,内切球半径为3,反之亦然. (2)Q体积与表面积数值相等时,内切球体积与表面积数值相等,反之亦然.     

正四面体外接球和内切球的半径的求法

题 已知正四面体ABCD的棱长为a,求其外接球的半径尺和内切球的半径r．     

体积与表面积等值的旋转体与内切球

贵刊早在1990年第6期“体积与表面积等值的四面体与内切球”一文中就给出了关于多面体与其内切球的几个有趣结论，十余年后读来仍受启发．本文进一步验证了某些旋转体(圆柱、圆台、圆锥、球缺)也具有同样的性质：     

例谈球接、切问题的处理策略

在有关球的诸多问题中,球的接、切问题将球与其他常见多面体有机结合起来,全方位、多视点、深层次地考查了立体几何的基本思想,由于这类问题一般不易画出其立体图形,且常与函数、方程、不等式等数学知识相联系,综合性强,涉及的知识面广,思维价值高,要求学生有较强的空间想象能力与分析解决问题的能力. 为此,笔者在近年来的教学实践中,更关注了有关球的接、切问题的处理方法. 球作为一种常见的几何体,其基本思想仍然是将三维空间立体图形化归为二维空间平面图形的问题,但球又有着许多不同于其他几何体的独特性质,因而在处理方法上应该有着它的独到之处,本文试图从以下几个方面来介绍球的接、切问题的常见的转化策略:     

特殊四面体外接球和内切球半径的非常规解法——构造法

【例1】求棱长为a的正四面体外接球的半径．分析：如图1,以正四面体A1-BC1D的棱长为侧面对角线构造相应的正方体A1B1C1D3-ABCD,此时所求正四面体A1-BC1D外接球半径就是正方体A1B1C1D1-ABCD外接球半径．     

与球有关的接、切问题例析例析

在平时的学习与考试中，经常会出现与球有关的接、切问题，同学们感到较棘手．下面通过几道例题加以分析，希望给同学们以启发．     

球与几类特殊四面体的切接问题的探索

球与多面体的切接问题,一般通过作截面把立体图形平面化,然后用平面几何的相关知识来解决,而球与几类特殊的四面体(三棱锥)的切接问题,可以转化为球与长方体的切接问题来解决.长方体(正方体)与球的三种切接关系:一、球内切正方体的各个面,称球为正方体(棱长为a)的     

与球有关的组合体

人民教育出版社(A版)必修2第一章空间几何体中涉及球的体积和表面积的运算,对于初次接触立体几何的学生来说,由于空间想象力的缺乏且图形比较难画,难于确认球的半径,给运算带来了不便.近日,笔者正在教授这一部分的内容,对此做了相应的总结,愿     

空间想象是前提 构造图形是关键——需要空间想象的几则关于球的立几题

在高考、竞赛中,经常出现短小精悍、新颖别致、设计独特、能力立意高、很灵活的关于球的立几小题,以考查同学们的空间想象能力和构造图形的能力.现采撷几例加以分析,以期对提高同学们的空间想象能力和构造图形的能力有所帮助,同时也供同仁教学参考.例1(2011年高考数学全国卷Ⅱ·理11文12)已知平面β截一球面得圆M,过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4,圆M的面积为4π,则圆N     

关于长方体外接球的几个不变量

文给出了矩形外接圆周上点的两个有趣性质: (1)矩形外接圆周上任一点到各顶点距离的平方和为8R~2; (2)矩形外接圆周上任一点到各边中点距离的平方和为6R~2(R为外接圆的半径)。 本文将这两个结论由平面推广到空间,     

运用割补法解决球的切、接问题

球是立体几何中的一个重要的几何模型,与球有关的考题"琳琅满目"。"割补法"是解决立体几何问题的重要方法,简单地说就是把不规则的几何体割或补成规则的几何体。本文举例说明"割补法"在球的切、接与截面等典型问题中的应用。     

四面体有外接球和内切球吗？

众所周知,任意△ABC都有外接圆和内切圆．三角形与空间的四面体有可类比性,类比可知：任意四面体s—ABc都有外接球和内切球．由于类比得出的结论未必正确,自然会思考：该结论是否正确？如果正确,如何证明？     

球的外接和内切几何体例谈

球内接外切几何体是高考中的一类常见题型.解决球的外接几何体基本方法有对称法,构造直角三角形法,补体法;确定球心位置法,截面法.求内切球半径的通用做法是体积分割法和利用相似比和勾股定理的截面法.