对教材中点到直线的距离公式推导的建议

人教版高级中学课本《平面解析几何》全一册 (必修 )第一章第 1 .1 0节“点到直线的距离”在开头这样写道 :“已知点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )和直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 ,怎样求点Ｐ到直线ｌ的距离呢 ?根据定义 ,点Ｐ到直线ｌ的距离是点Ｐ到直线ｌ的垂线段的长 .设点Ｐ到直线ｌ的垂线为ｌ′,垂足为Ｑ .由ｌ⊥ｌ′可知ｌ′的斜率为 ＢＡ(Ａ≠ 0 ) ,根据点斜式可写出ｌ′的方程 ,并由ｌ与ｌ′的方程求出点Ｑ的坐标 ;由此可根据两点距离公式求出 |ＰＱ|,这就是点Ｐ到直线ｌ的距离 .这个方法虽然思路自然 ,但是运算很繁 .”接着一转笔锋 ,用平面几何和三…     

平面向量在解析几何中的应用

向量是中学数学中的一个有力工具 ,其应用非常广泛 ,特别在解析几何里应用更加直接 ,不少问题应用向量解决 ,往往能简化运算 ,收起到意想不到的效果 .下面结合新编教材习题和近几年高考试题谈谈它的应用 .一、运用向量求轨迹方程例 1　 (1 995年全国高考题 )如图 1 ,已知椭圆 ｘ22 4+ ｙ21 6=1 ,直线ｌ:ｘ1 2 + ｙ8=1 ,Ｐ是直线ｌ上的点 ,射线ＯＰ交椭圆于点Ｒ ,又点Ｑ在ＯＰ上且满足｜ＯＰ｜·｜ＯＱ｜=｜ＯＲ｜2 ,当点Ｐ在ｌ上移动时 ,求点Ｑ的轨迹方程 ,并说明轨迹是什么曲线 .解　如图 1 ,ＯＱ ,ＯＲ ,ＯＰ共线 ,设ＯＲ =λＯＱ ,ＯＰ=…     

点线距公式的简捷证明

设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )为任一点 ,直线ｌ的方程为Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 (Ａ2 Ｂ2 ≠ 0 ) ,我们来求Ｐ到ｌ的距离ｄ .设Ｑ(ｘ1,ｙ1)为Ｐ在ｌ上的射影 ,当ＡＢ≠ 0 ,且Ｐ不在ｌ上时 ,有ｄ =|ＰＱ|=(ｘ1-ｘ0 ) 2 (ｙ1-ｙ0 ) 2=(ｘ1-ｘ0 ) 2 [1 (ｙ1-ｙ0ｘ1-ｘ0) 2 ]=(ｘ1-ｘ0 ) 2 (1 Ｂ2     

一道高考数学题的推广

下面是 2 0 0 2年的一道高考题 :设Ａ、Ｂ是双曲线ｘ2 -ｙ22 =1上的两点 ,点Ｎ( 1 ,2 )是线段ＡＢ的中点 .( 1 )求直线ＡＢ的方程 ;( 2 )如果线段ＡＢ的垂直平分线与双曲线交于Ｃ、Ｄ两点 ,那么Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ 4点是否共圆 ?第 ( 1 )小题 .应用作差法和中点坐标公式易求得直线ＡＢ的斜率ｋ=1 ,方程为ｘ -ｙ+1 =0 .第 ( 2 )小题 ,解法很多 ,为简化解题过程 ,可绕过求交点 ,直接建立圆的方程 ,证明 4点在这个圆上 .∵ＣＤ ⊥ＡＢ ,且过点Ｎ( 1 ,2 ) ,∴ＣＤ的方程为ｘ +ｙ-3 =0把直线ＡＢ、ＣＤ看成二次曲线 (ｘ-ｙ+1 ) (ｘ +ｙ-3 ) =0 ,这样…     

巧解直线与圆锥曲线的相切问题

我们知道圆ｘ2 + ｙ2 =Ｒ2 在其上任一点 (ｘ0 ,ｙ0 )处的切线方程为ｘ0 ｘ+ ｙ0 ｙ=Ｒ2 如果对于直线Ａｘ+Ｂｙ +Ｃ =0 (Ｃ ≠ 0 )作如下变形 :Ｒ2 Ａ-ＣＲ2 ｘ +Ｒ2 Ｂ-ＣＲ2 ｙ =1.若点Ｐ(- Ｒ2 ＡＣ ,- Ｒ2 ＢＣ )满足圆的方程 ,则直线与圆相切于点Ｐ .椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1在其上任一点 (ｘ0 ,ｙ0 )处的切线方程为 ｘ0 ｘａ2 + ｙ0 ｙｂ2 =1,对于直线Ａｘ+Ｂｙ +Ｃ =0 (Ｃ≠ 0 )作如下变形 :　　　　ａ2 Ａ-Ｃａ2 ｘ+ｂ2 Ｂ Ｃｂ2 ｙ=1.若点Ｐ(- ａ2 ＡＣ , ｂ2 ＢＣ )满足椭圆方程 ,则直线与椭圆相切于点点Ｐ .双曲线ｘ2ａ2 - ｙ2…     

数学奥林匹克问题

本期问题图 1　　初 1 2 3 .　已知点Ｄ1、Ｄ2 在△ＡＢＣ的边ＡＢ上 ,且ＢＤ1=ＡＤ2 ,过点Ｄ1、Ｄ2 分别作ＢＣ的平行线 ,交ＡＣ于点Ｅ1、Ｅ2 ,点Ｐ1、Ｐ2分别为Ｄ1Ｅ1、Ｄ2 Ｅ2上的任意点 ,ＢＰ1交ＡＣ于Ｎ1,ＣＰ1交ＡＢ于Ｍ1,ＢＰ2 交ＡＣ于Ｎ2 ,ＣＰ2 交ＡＢ于Ｍ2 .求证 :ＡＭ1Ｍ1Ｂ+ ＡＮ1Ｎ1ＣＡＭ2Ｍ2 Ｂ+ ＡＮ2Ｎ2 Ｃ =1 .(郭　璋　北京市朝阳区教育研究中心 ,1 0 0 0 2 8)图 2初 1 2 4.　如图 2 ,小正方形ＡＢＣＤ各边所在直线与大正方形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′分别相交于Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ、Ｐ、Ｑ、Ｍ、Ｎ .求证 :ＥＦ +ＰＱ =ＧＨ+ＭＮ .…     

灵活运用弦长公式解一类解析几何问题

在初中阶段 ,同学们就已经熟悉弦长公式 ,这一公式在解析几何中应用十分广泛 .运用这一公式在求解直线被圆锥曲线所截的弦长时十分方便 .其实灵活运用弦长公式也可以简便地求解其它有关直线问题 .下面就是有关的几个例子 .一、弦长公式若点Ｐ(ｘ1 ,ｙ2 )、Ｑ(ｘ2 ,ｙ2 )在直线ｌ:ｙ =ｋｘ +ｂ上 ,则有｜ＰＱ｜ =( 1 +ｋ2 ) (ｘ1 -ｘ2 ) 2=1 +ｋ2 ｜ｘ1 -ｘ2 ｜ .当ｋ≠ 0时 ,｜ＰＱ｜=1 +1ｋ2 ｜ｙ1 -ｙ2 ｜ .二、几个例子例 1　已知点Ａ( 1 ,1 ) ,Ｂ( 2 ,3 ) ,将线段ＡＢ绕点Ａ按顺时针方向旋转 90°,点Ｂ与点Ｃ重合 ,求点Ｃ坐标 .分析　由…     

错在哪里

1　山东省惠民县第四中学　任秀忠　(邮编 :2 51 70 0 )题　已知定点Ａ( 0 ,-1 )、Ｂ( 0 ,3)、Ｃ( 3,3) ,以Ｃ为一焦点作过Ａ、Ｂ两点的椭圆 :( 1 )求椭圆的另一焦点Ｄ的轨迹Ｇ的方程 ;( 2 )过点Ａ的直线ｌ交轨迹Ｇ于Ｐ、Ｑ两点 ,若ＰＱ之长等于轨迹Ｇ的离心率的 3倍 ,求直线的     

求直线对称点的一种新方法

在平面解析几何中 ,关于平行直线有如下结论 :设有两条平行直线ｌ1:Ａｘ Ｂｙ Ｃ1=0和ｌ2 :Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 =0 ,则到这两条直线距离相等的直线方程为Ａｘ Ｂｙ Ｃ1 Ｃ22 =0 .证明　设Ｐ(ｘ ,ｙ)是所求直线上任一点 ,由题设以及点到直线的距离公式 ,有｜Ａｘ Ｂｙ Ｃ1｜Ａ2 Ｂ2 =｜Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 ｜Ａ2 Ｂ2 .　　因为ｌ1与ｌ2 在点Ｐ的两侧 ,所以有Ａｘ Ｂｙ Ｃ1=- (Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 ) ,即　Ａｘ Ｂｙ Ｃ1 Ｃ22 =0为所求的直线方程 .运用该结论可以得到一种求直线对称点的新方法 .例　已知Ａ(- 2 ,4 ) ,求它关于直线ｌ:2ｘ- ｙ -1=0的对…     

点线距公式证法的改进

柯西不等式法　Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )为定点 ,Ｑ(ｘ ,ｙ)为直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 (Ａ2 Ｂ2 ≠ 0 )上的动点 ,则Ａ(ｘ -ｘ0 ) Ｂ(ｙ -ｙ0 ) =-(Ａｘ0 Ｂｙ0 Ｃ) .由柯西不等式 ,则(Ａ2 Ｂ2 ) |ＰＱ|2 =(Ａ2 Ｂ2 ) [(ｘ -ｘ0 ) 2 (ｙ -ｙ0 ) 2 ]≥ [Ａ(ｘ -ｘ0 ) Ｂ(ｙ-ｙ0 ) ]2     

高考解几对称性试题的归类及其解法

近年高考中频频出现平面解析几何中的对称问题 ,由于此类问题在现行高中《平面解析几何》中讲得较少 ,令许多考生不知从何处着手 .现将近年来高考中的平面解析几何对称试题分类解答如下 ,以利于同学们提高解题速度 ,达到举一反三的作用 .一、点关于直线对称解此类题型先利用中点坐标公式 ,设Ｐ(ｘ ,ｙ)关于直线ｌ :Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0的对称点为Ｑ(ｍ ,ｎ) ,则ＰＱ的中点在ｌ上 ,坐标为 (ｘ ｍ2 ,ｙ ｎ2 ) ,则Ａ×ｘ ｍ2 Ｂ× ｙ ｎ2 Ｃ =0 ,再根据直线ＰＱ ⊥ｌ ,得ｙ-ｎｘ -ｍ ×(-ＡＢ) =-1,进行求解 .例 1　 (’91全国 )点Ｐ(2 ,5 )关…     

直线与线段相交时参数范围的一种简便求法

在学习解析几何时,常常会遇到直线与线段相交时求参数范围的问题,这里先介绍一个简单结论,从而简捷地解决此类问题.定理　若直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ=0(Ａ2 Ｂ2≠0)与Ｐ1(ｘ1,ｙ1),Ｐ2(ｘ2,ｙ2)为端点的线段相交,则(Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ)(Ａｘ2 Ｂｙ2 Ｃ)≤0.证　设直线ｌ与线段Ｐ1Ｐ2相交于点Ｐ(ｘ,ｙ),不妨设Ｐ不重合于Ｐ2,点Ｐ内分线段Ｐ1Ｐ2—的比为λ,则λ≥0,由定比分点坐标公式,得ｘ=ｘ1 λｘ21 λ,　ｙ=ｙ1 λｙ21 λ.∵　点Ｐ(ｘ,ｙ)在直线ｌ上,∴　Ａ·ｘ1 λｘ21 λ Ｂ·ｙ1 λｙ21 λ Ｃ=0,整理,得　Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ=-λ(Ａｘ2 Ｂｙ2 Ｃ).…     

“倍立方”问题的一个解析作法

古希腊的三大数学问题之一的“倍立方”问题,多年以来,一直受到广大数学工作者的青睐,他们在努力寻找各种不同的作法.笔者在教学中得到一种有别于尺规作图的解析方法,现介绍给读者,以开阔眼界.问题　作一个正方体,使它的体积为已知正方体体积的2倍.预备定理　自抛物线ｘ2=2ｐｙ(ｐ>0)的顶点Ｏ作一直线ＯＡ,交直线ｙ=ｐ于点Ａ,交抛物线于点Ｑ,过Ｑ作ｘ轴的平行线,过点Ａ作ｙ轴的平行线,两直线相交于点Ｐ,则点Ｐ的轨迹方程为ｙ=2ｐ3ｘ-2.图1证明　如图1,设Ｐ(ｘ,ｙ)为轨迹上任意一点,取点Ｑ的坐标(ｘ1,ｙ1)为参数,∵　Ｏ,Ｑ,Ａ在同一直线上,∴…     

2001年广东省高考数学第21题的拓广

20 0 1年广东省高考数学第 2 1题 :已知椭圆 :ｘ22 ｙ2 =1的右准线ｌ与ｘ轴相交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ的直线与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在右准线上且ＢＣ ∥ｘ轴 ,求证 :直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点 .此题对一般性结论仍成立 ,还可以拓广到其它圆锥曲线 .拓广 1　已知椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1的右准线ｌ与ｘ轴相交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ的直线与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在右准线上且ＢＣ∥ｘ轴 ,求证 :直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点 (ａ >ｂ>0 ) .　　　　　图 1证明　如图 1,记直线ＡＣ与ｘ轴的交点为Ｎ ,过Ａ作ＡＤ⊥ｌ,Ｄ是垂足 .…     

例谈向量在求曲线方程时的应用

在新编高中数学教材中增加了向量一章后 ,向量的坐标可用其起点、终点的坐标来表示 ,使向量与平面解析几何有了必然的联系 ,特别是两向量垂直与平行的充要条件 ,给求曲线的轨迹方程带来了极大的方便 ,使解题过程由复杂而变为简单 ,下面举几例来说明向量在求曲线方程时的简单应用 :例 1　过定点Ｍ ( 2 ,1)引动直线ｌ,ｌ与ｘ轴、ｙ轴分别交于Ａ、Ｂ两点 ,求线段ＡＢ中点Ｐ的轨迹方程 .分析　以往解析几何中 ,设过点 ( 2 ,1)的直线的斜率为ｋ ,由点斜式得直线ｌ的方程为 :ｙ- 1=ｋ(ｘ - 2 ) ,然后分别令ｘ=0 ,ｙ=0 ,求出Ａ、Ｂ两点的坐标 ,再设…     

与二次曲线有关的两个定理及应用

在解析几何中 ,求与二次曲线中点弦有关的系列问题 ,很多同学都是通过直线和二次曲线组成的方程组来进行讨论 ,往往都很繁 .本文通过介绍两个定理 ,提供一个极其简单的方法来求解这一类问题 .定理 1　已知曲线Ｃ :Ｆ(ｘ ,ｙ) =0为二次曲线 ,Ｑ为直角坐标平面内一点 ,其坐标为 (ｍ ,ｎ) .则恒有 :(1)曲线Ｃ :Ｆ(ｘ ,ｙ) =0和曲线Ｃ′ :Ｆ(2ｍ-ｘ ,2ｎ-ｙ) =0关于Ｑ点对称 ;(2 )直线ｌ :Ｆ(ｘ ,ｙ) -Ｆ(2ｍ-ｘ ,2ｎ - ｙ) =0为过Ｑ点的一条直线 ;(3)若直线ｌ和曲线Ｃ相交于点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,则直线ｌ和曲线Ｃ必有另一公共点Ｐ′(2ｍ -ｘ0 ,2ｎ…     

2002年高考数学试卷(文科)第21题别解

题目　已知点Ｐ到两定点Ｍ(- 1 ,0 )、Ｎ(1 ,0 )的距离比为 2 ,点Ｎ到直线ＰＭ的距离为 1 ,求直线ＰＮ的方程 .解法 1　如图 1 ,作ＰＰ′⊥ｘ轴 ,ＮＮ′⊥ＭＰ,易知｜ＮＮ′｜ =1 ,｜ＭＮ｜=2 ,∠ＰＭＮ =30°.在Ｒｔ△ＰＰ′Ｎ中 ,｜ＰＰ′｜ =｜ＮＰ｜·ｓｉｎ∠ＰＮＰ′,在Ｒｔ△ＰＰ′Ｍ中｜ＰＰ′｜ =｜ＭＰ｜·ｓｉｎ30°,即｜ＮＰ｜ｓｉｎ∠ＰＮＰ′=｜ＭＰ｜·ｓｉｎ30°,又｜ＰＭ｜｜ＰＮ｜ =2 ,则ｓｉｎ∠ＰＮＰ′=22 ,得ｔａｎ∠ＰＮＰ′=± 1 ,即ＰＮ方程为ｙ =ｘ- 1或ｙ=-ｘ 1 .解法 2　取点Ｑ(3,0 ) ,则ＰＮ为△ＰＭＱ的中线…     

有心圆锥曲线的一个性质

1　两个结论通过对圆锥曲线的研究 ,笔者发现椭圆、双曲线有如下性质 .定理 1　设Ｆ1,Ｆ2 是椭圆的两个焦点 ,ＰＱ是椭圆过Ｆ2 的焦点弦 (ＰＱ不过Ｆ1) ,则三角形ＰＦ1Ｑ的旁切圆恒与边ＰＱ相切于焦点Ｆ2 (如图 1)证明　如图 1,设圆Ｏ与△ＰＦ1Ｑ三边ＰＱ、　　　　　图 1ＰＦ1、Ｆ1Ｑ或其延长线分别相切于点Ｆ′2 、Ｒ、Ｓ ,则由圆的切线性质有｜ＰＦ′2 ｜=｜ＰＲ｜ ,｜ＱＦ′2 ｜ =｜ＱＳ｜ ,｜Ｆ1Ｒ｜=｜Ｆ1Ｓ｜ .于是｜ＰＦ1｜ ｜ＰＦ′2 ｜=｜Ｆ1Ｒ｜ ,｜ＱＦ1｜ ｜ＱＦ′2 ｜ =｜Ｆ1Ｓ｜,∴｜ＰＦ1｜ ｜ＰＦ′2 ｜=｜ＱＦ1｜ ｜Ｑ…     

圆锥曲线弦的中点问题的简捷解法

有关圆锥曲线弦的中点问题 ,在现行解几教材中时常出现 ,本文将探讨解决此类问题的一种方法 ,我们称之为“中心对称变换法” .我们知道对于圆锥曲线Ｃ1 :Ａｘ2 Ｃｙ2 Ｄｘ Ｅｙ Ｆ =0 (1 )关于点Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )中心对称的曲线Ｃ2 的方程是Ａ(2ｘ0 -ｘ) 2 Ｃ(2ｙ0 -ｙ) 2 Ｄ(2ｘ0 -ｘ) Ｅ(2ｙ0-ｙ) Ｆ =0 (2 )若曲线Ｃ1 和Ｃ2 相交于Ｐ、Ｑ两点 ,则由 (1 ) -(2 )整理得(2Ａｘ0 Ｄ)ｘ (2Ｃｙ0 Ｅ)ｙ -(2Ａｘ20 2ｙ20 Ｃ Ｄｘ0 Ｅｙ0 ) =0 (3)它表示一条以对称中心Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )为中点的弦ＰＱ所在的直线 .下面我们利用以上方程解…     

如何发挥课本功能的思考

素质教育的主渠道是各学科的课堂教学 ,而课本则是演好课堂教学这台戏不可或缺的剧本。教师必须认真钻研课本 ,熟悉“剧本”规定的场景、台词 ,甚至于潜台词 ,挖掘、发现、把握课本提供的每一个教材与素质教育的结合点 ,才能发挥好课本功能 ,把素质教育的任务落到实处。　　高中平面解析几何在讲到怎样求点Ｐ(ｘ0 ,ｙ2 )到直线ｌ:Ａｘ +Ｂｙ +Ｃ =0的距离时 ,提出一种“思路自然”的方法 :设点Ｐ到直线ｌ的垂线为ｌ’ ,垂足为Ｑ ,写出ｌ’的方程 ,然后由ｌ与ｌ’的方程求出点Ｑ的坐标 ,再根据两点距离公式求出 |ＰＱ|,这就是点Ｐ到直线ｌ的…