绝对值与数轴

同学们在学习了有理数、数轴进入学习绝对值的时候 ,如何深刻地理解概念 ,渗透数形结合、分类及转化的数学思想 ,综合地应用有理数、数轴及绝对值的有关知识 ,将对培养同学们的综合思维能力有着重要的作用。一、利用绝对值概念解题绝对值的概念主要是 :如果ａ>0 ,那么 |ａ| =ａ;如果ａ<0 ,那么 |ａ| =-ａ ;如果ａ=0 ,那么 |ａ| =0。( 1 )根据绝对值的定义 ,求出代数式的范围例 1　如果ａ >0 ,ｂ <0 ,ｃ <0 ,化简|ａ|ａ + |ａｂ|ａｂ + |ａｂｃ|ａｂｃ 的值。解 :根据绝对值的定义 ,原式 =1 - 1 + 1 =1。例 2　如果ａ、ｂ、ｃ为有理数 ,化简|…     

绝对值

绝对值是中学数学中一个十分重要的概念 .有关绝对值的问题 ,在许多综合性题目中经常涉及 ,它是考查学生用化归与分类思想解决问题的好素材 ,也是各级数学竞赛的热点问题 .一、基础知识1 实数绝对值的意义 :|ａ|=ａ　　 (ａ >0 ) ,0　　 (ａ =0 ) ,-ａ　 (ａ <0 ) .绝对值在数轴上的几何意义 :表示一个数的点离开原点的距离 (不考虑方向 ) .2 .一个数的绝对值一定是非负数 ,即 |ａ|≥ 0 ;若干个非负数的和为零 ,则每个非负数为零 ;互为相反数的绝对值相等 ,即 |ａ|=|-ａ|.3 .化简含绝对值的式子 ,关键是去绝对值符号 ,先根据所给的条件 ,确…     

浅谈关于绝对值的化简

进入初中阶段,绝对值总是学生们感觉较难的问题·无论是从绝对值的几何定义,还是绝对值的代数定义,都揭示了绝对值的一个重要性质———非负性,也就是说任何一个有理数的绝对值都是非负数,即:无论a取任意有理数都有|a|≥0·下面关于绝对值的化简题作一探讨·一、含有一个绝对值符号的化简题1·已知未知数的取值或取值范围进行化简·如,当x>2时化简|2x-3|+x(根据绝对值的意义直接化简)解:原式=2x-3+x=3x-3·2·没有告诉未知数的取值或取值范围进行化简·如,化简|x-5|+2x(必须进行讨论)我们把使绝对值符号内的代数式为0的未知数的值叫做界值,…     

"三角判别式"及其应用

高中代数上册第 2 97页给出了三角方程 ａｓｉｎｘ ｂｃｏｓｘ ｃ =0 (ａ、ｂ不同时为零 )有解的 条件是 | ｃ ａ2 ｂ2 |≤ 1 ,即ａ2 ｂ2 -ｃ2 ≥ 0。若记Δ = ａ2 ｂ2 -ｃ2 ,并称其为“三角判别式” ,可进一步得到 : 定理　对于三角方程ａｓｉｎｘ ｂｃｏｓｘ ｃ =0 (0≤ ｘ <2π ,ａ、ｂ不同时为零 ) ,则 ①方程有两个不同解 Δ >0 ; ②方程有唯一解 Δ =0 ; ③方程无解 Δ <0。 证明极其简单 ,只要将原方程化为ｓｉｎ(ｘ φ) = -ｃ ａ2 ｂ2 ,其中 φ由ｓｉｎφ =ｂ ａ2 ｂ2 ,ｃｏｓ…     

初一代数期末测试题

一、填空题 (15分 )1 用科学记数法表示 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 2 9=.2 不等式组12 ｘ≥ 1ｘ - 3≤ 0的解集是 .3 (ｘ -ａ) (ｘ ａ) (ｘ4 ａ4 ) (ｘ2 ａ2 ) =.4 当ｘ时 ,代数式13(ｘ - 1)5的值不是正数 .5 方程组 ａｘ ｂｙ =13ａｘ - 4ｂｙ =18和 4ｘ - ｙ =53ｘ ｙ =9有相同的解 ,那么ａ ｂ的值为 .6 若 |ｘ 1| (ｙ - 2 ) 2 =0 ,则ｘｙ =.7 若有理数ａ满足 ａ|ａ|=- 1,则ａ是 .8 若 11- |1-ｘ|有意义 ,则ｘ取 .9 12 5ａ3ｂ3÷ 5ａｂ =.10 [(-ｘ) 3]4 =.11 若ａ <0 <ｂ ,且 |ａ|>ｂ ,则化简 |ａ ｂ|- |ａ -ｂ|- |ｂ -ａ|=.12…     

浅谈绝对值的化简

进入初中阶段,绝对值问题是学生们感觉较难的问题.无论是从绝对值的几何定义,还是绝对值的代数定义,都揭示了绝对值的一个重要性质——非负性,也就是说任何一个有理数的绝对值都是非负数,即:无论a取任意有理数都有a≥0.下面对关于绝对值的化简题作一探讨.一、已知未知数的取值或取值范围进行化简例1当x>2时化简2x-3 x(根据绝对值的意义直接化简).解:原式=2x-3 x=3x-3.例2当x<-5时化简2x-5 6x.解:原式=-(2x-5) (-6x)=-2x 5-6x=-8x 5.二、没有告诉未知数的取值或取值范围进行化简例3化简x-5 2x(必须进行讨论).我们把使绝对值符号内的代数式为0…     

以"形"解"数" 直观简捷

“数”与“形”是数学殿堂里密不可分的两大柱石 ,“‘数’缺‘形’时少直观 ,‘形’少‘数’时难入微” .“数”与“形”的相互转化是中学数学学习与研究中运用广泛、意义深刻的一种思维方法 .若某些代数问题有明显的几何意义 ,则可转化为几何图形 ,适当地运用几何方法 ,以“形”研究“数” ,会使问题直观形象 ,解法简捷灵活 .现结合实例说明 .1　在数轴上以“形”解“数”例 1　实数ａ、ｂ满足ａ2 - 2ａ + 1 + 36 - 1 2ａ +ａ2=1 0 - |ｂ + 3| - |ｂ - 2 | .则ａ2 +ｂ2 的最大值是多少 ?( 1 998,北京市初二数学竞赛 )分析 :初看这是一道纯…     

关于形如｜a-b｜（a≠b）的绝对值的化简

绝对值在初一代数教学中既是一个重点，又是一个难点。特别是绝对值的化简，对于初学代数的学生来说更是难上加难。如何化解难度，使学生在理解和掌握绝对值概念的基础上，能迅速、准确地解决绝对值的化简问题，是教学中的重中之重。     

实数与代数式

①实数的概念与运算一、复习要点1实数的概念(1)和统称有理数.(2)无限小数叫做无理数.(3)有理数和无理数统称.(4)规定了、和的直线叫做数轴.实数与数轴上的点对应.(5)数轴上在原点的两侧、离开原点的距离相等的两个点所表示的两个数叫做,实数ａ的相反数是,零的相反数是.ａ与ｂ互为相反数ａ+ｂ=.(6)1除以一个不为零的数的商叫做这个数的,没有倒数.ａ与ｂ互为倒数ａ·ｂ=.(7)数轴上表示数ａ的点到原点的叫做数ａ的绝对值,记作.正数和零的绝对值是,负数的绝对值是它的.若|ａ|=ａ,则ａ;若ａ≤0,则|ａ|=.(8)将一个数四舍五入所得到的数,叫做这个…     

高中数学新教材第五章教学问答(二)

10 5.在教学平面向量的数量积及其运算律时 ,要注意些什么 ?答 :( 1 )向量的数量积是向量之间的一种乘法运算 .它是向量与向量的运算 ,结果却是一个数量 .( 2 )当ａ≠ 0时 ,ａ·ｂ =0不能推出ｂ =0 ,因为ａ·ｂ=0的充要条件是ａ⊥ｂ .( 3)由ａ·ｂ =ｂ·ｃ不能推出ａ =ｃ.例如 ,当ａ =0 ,ｂ⊥ｃ时 ,ａ·ｂ =ｂ·ｃ=0 ,但推不出ｃ=0 .( 4) (ａ·ｂ)ｃ不一定等于ａ(ｂ·ｃ) ,因为前者与ｃ共线 ,后者与ａ共线 ,而ｃ、ａ不一定共线 .( 5)由 |ａ|=ａ·ａ ,ｃｏｓθ =ａ·ｂ|ａ|·|ｂ|,以及ａ·ｂ =0 ａ⊥ｂ ,可知平面向量的数量积可用来处理有关…     

浅谈实数的绝对值及应用

绝对值是数学中的重要概念之一,也是三种非负数之一,对于其理解并不是个难题,但要正确的应用定义处理相关习题却困难重重,因此必须不断地练习,加深对定义的理解,并掌握正确的处理方法,才能获得较高的思维能力,下边谈一下肤浅认识.一、绝对值的定义:引入绝对值的意义,以数轮为工具,通过实数点的数轴表示,给出绝对值的几何意义,也称之图形意义,即定义:数轴上表示该数的点离原点的距离,其代数表示式为:|x|=x x≥0|x|-x x<0二、对定义的理解任何实数的绝对值是一个非负数,即|x|≥0,必须切记.无论处理什么类型的题目,只要有绝对值的量存在,最关键的一步就是作去掉绝对值符号的恒等变形,切记不能简单了事,得出如下错误.如|2X-1|=2X-1:|lg5-1|=lg5-1;||a-b|=a-b;|sinA-l|=sinA-l等;上述各例忽视了绝对值的本身属性—非负数,造成错误结果.     

解代数题的几个常用方法

如何提高学生的解题能力?我认为让学生掌握一些带一般性的解题方法是一个重要的方面。下面介绍解代数题中经常使用的几个方法。一、“零点”分段法在解析式化简,解方程(或不等式),作函数图象等问题中,如遇有绝对值符号,就需要讨论,把绝对值符号去掉,使问题简化。而化简形如|f_1(x)|±|f_2(x)|±……±|f_k(x)|     

活用函数思想解题

下面,通过一些具体例子说明函数思想在解题中的运用.　　一、比较大小例1　试比较|ａ+ｂ|1+|ａ+ｂ|与|ａ|+|ｂ|1+|ａ|+|ｂ|的大小.解:对于函数ｆ(ｘ)=ｘ1+ｘ=1-11+ｘ,易知当ｘ∈(-1,+∞)时,其为增函数.而0≤|ａ+ｂ|≤|ａ|+|ｂ|,故|ａ+ｂ|1+|ａ+ｂ|≤|ａ|+|ｂ|1+|ａ|+|ｂ|.注:通常可以利用函数的单调性解决比较大小的问题.二、证明不等式例2　已知实数ａ、ｂ、ｃ∈(0,1),证明:不等式ａ(1-ｂ)+ｂ(1-ｃ)+ｃ(1-ａ)<1总成立.证明:欲证不等式等价于(1-ｂ-ｃ)ａ+(1-ｃ)(ｂ-1)<0.记ｆ(ａ)=(1-ｂ-ｃ)ａ+(1-ｃ)(ｂ-1),故欲证原不等式成立,只需证明ａ∈…     

高中数学新教材第五章教学问答(二)

(续上期 )1 0 5　在教学平面向量的数量积及其运算律时 ,要注意些什么 ?(注 :本章均用黑体字母表示向量 ,如ａ即ａ ,ＡＢ即ＡＢ 。)答 :(1 )向量的数量积是向量之间的一种乘法运算。它是向量与向量的运算 ,结果却是一个数量。(2 )当ａ≠ 0时 ,ａ·ｂ =0不能推出ｂ =0 ,因为ａ·ｂ=0的充要条件是ａ⊥ｂ。(3 )由ａ·ｂ =ｂ·ｃ不能推出ａ =ｃ。例如 ,当ａ =0 ,ｂ⊥ｃ时 ,ａ·ｂ =ｂ·ｃ=0 ,但推不出ｃ=0。(4 ) (ａ·ｂ)ｃ不一定等于ａ(ｂ·ｃ) ,因为前者与ｃ共线 ,后者与ａ共线 ,而ｃ、ａ不一定共线。(5 )由 |ａ|=ａ·ａ ,ｃｏｓθ =ａ·ｂ|ａ…     

多题一解 启迪思维

在闭区间上的二次函数的绝对值不等式的证明有一个通法 :将二次函数的系数用闭区间上的三个函数值 (一般用区间端点和中点的函数值 )来表示 ,然后借助于绝对值不等式来解决 .例 1　设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ,ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 ) .若 | ｆ( 0 ) |≤ 1,|ｆ( 1) |≤ 1,|ｆ( - 1) |≤ 1,试证 :对任何ｘ∈ [- 1,1] ,都有 |ｆ(ｘ) |≤ 54 .证明 :因ｆ( 0 ) =ｃ,ｆ( 1) =ａ +ｂ+ｃ,ｆ( - 1) =ａ-ｂ +ｃ,故解得ａ =ｆ( 1) + ｆ( - 1)2 - ｆ( 0 ) ,ｂ =ｆ( 1) - ｆ( - 1)2 ,ｃ=ｆ( 0 ) .∵　 |ｘ|≤ 1∴　 | ｆ(ｘ) | =|ａｘ2 +ｂｘ +ｃ|=ｆ( …     

含绝对值题型的解法

绝对值是初中数学中一个重要的知识点,它穿插于整个初中数学之中.在此罗列一些题型,以供同学们参考. 一、解题依据1.代数定义2.几何定义:|a|表示数a的点与原点的距离. |x-a|表示数x的点与数a的点的距     

教学设计要强化创新意识

课堂教学是增强学生创新意识、培养创新精神的主战场 .教学设计是实现这一目标的主渠道 .因此 ,教师应在教学设计中强化创新意识 ,以激励学生的创新欲望 .下面仅举两例说明 .问题 1　一元二次方程求根公式的推导 .九年义务教育三年制初级中学代数教科书 (第三册 )给出如下过程 :ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 ) .因为ａ≠ 0 ,所以把方程的两边都除以二次项的系数ａ ,得ｘ2 + ｂａｘ + ｃａ=0 .移项 ,得ｘ2 + ｂａｘ =- ｃａ.配方 ,得ｘ2 + ｂａｘ + ｂ2ａ2 =- ｃａ+ ｂ2ａ2 ,即　ｘ + ｂ2ａ2 =ｂ2 - 4ａｃ4ａ2 .∵ａ≠ 0 ,∴ 4ａ2 >0 .当ｂ2 - …     

巧用焦点三角形面积公式解题

二次曲线中有许多美妙的性质 ,恰当地运用这些性质能优化我们的解题。本文介绍一个简洁优美的焦点三角形公式 ,并举例说明它的应用。定理　Ｐ是椭圆ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1 (ａ >ｂ >0 )或双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1 (ａ >0 ,ｂ>0 )上一点 ,Ｆ1(-ｃ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ,0 )是左右两焦点 ,设 |ＰＦ1|·|ＰＦ2 |=λ2 ,则焦点△Ｆ1ＰＦ2的面积Ｓ =ｂλ2 -ｂ2 。证明　 (以椭圆为例 )设 |ＰＦ1|=ｒ1,|ＰＦ2 |=ｒ2 ,∠Ｆ1ＰＦ2 =α ,则ｒ1+ｒ2 =2ａ ,α∈ (0 ,π) ,在△Ｆ1ＰＦ2中 ,由余弦定理可得 :ｃｏｓα =ｒ21+ｒ22 -4ｃ22ｒ1ｒ2=(ｒ1+ｒ2 ) 2 -4ｃ2 -2ｒ…     

构造等式利用三角代换证不等式

在不等式证明中 ,一些不等式表面上看并未显露出三角化的可能 ,如果我们深入挖掘其隐含条件 ,构造等式 ,引进三角代换 ,利用三角知识常能使问题简捷获解例 1　已知ａ >ｂ >0 ,求证 :3 ａ - 3 ｂ <3 ａ -ｂ .证明　∵ａ >ｂ >0 ,∴ (ａ -ｂ) ｂ =ａ ,于是可设 ａ -ｂ =ａｃｏｓ2 αｂ =ａｓｉｎ2 α 　 0 <α <π2 .因此原不等式等价于 1- 3 ｓｉｎ2 α <3 ｃｏｓ2 α ,即 3 ｓｉｎ2 α 3 ｃｏｓ2 α >1.∵　 0 <α <π2 ,∴ 0 <ｓｉｎ2 α ,ｃｏｓ2 α <1,于是有　 3 ｓｉｎ2 α 3 ｃｏｓ2 α >ｓｉｎ2 α ｃｏｓ2 α =1.故　原不等式…     

智解绝对值赛题

绝对值是初中代数的重点 ,它是中考与竞赛中的常见问题 ;绝对值是初中代数的难点 ,但灵活巧妙地运用绝对值的定义、非负性、几何意义 ,就能化难为易 ,智解问题 .一、智用绝对值的非负性解题例 1　 (第十六届江苏省初中数学竞赛初一试题 )如果 | x -2 | + x -2 =0 ,那么 x的取值范围是 (　　 )(A) x >2 .　　　　 (B) x <2 .(C) x≥ 2 .　　　　 (D) x≤ 2 .解 :由条件知 :| x -2 | =2 -x;由绝对值的非负性知 :2 -x≥ 0 ,即 x≤2 ,故选 (D) .评注 :所有实数的绝对值都大于或等于零 ,这是绝对值的非负性 .本题就是利用这一性质 ,求出 x的取…