方程a~x=x~a的解及a~x与x~a的大小关系

对于象4~(55)与55~4的大小比较问题,学生往往感到困难。本文将对方程a~x=x~a的解以以a~x与x~a的大小关系问题进行一般的讨论。一.函数y=x~(a/x)(x>0,a>0且a≠1)的性质 1.y=x~(a/x)在定义域上连续,可导。y′=ax~(x/a-2)(1-1nx),令y′=0,则x=e是唯一驻点,因为x∈(0,e)时,y′>0,则y是x的单调增函数;x∈(e,+∞)时,y′<0,y是x的单调减函数,所以当x=e时,函数取极大值,为e~(a/e)。     

具有初等解法的黎卡提(Riccati)方程

黎卡提方程一般不能用初等积分法求解,但当黎卡提方程的系数满足一定的条件时,可以用初等积分法求解.本文给出了几种特殊的具有初等解法的黎卡提方程.     

例谈简单的初等代数函数方程的解法

在各类考试中，经常遇到与函数方程有关的问题，或直接求解某一给定的函数方程，或根据所给的函数方程确定某些函数值或确定函数具有某种性质，这类问题通常没有通法，解法因题而异，思路灵活而奇趣横生．本以三个常见的初等代数函数方程为例，探讨其解法。     

任意初等行列混合变换解矩阵方程

本文从理论上讨论利用任意初等行列混合变换解系数矩阵为可逆矩阵的矩阵方程,任意初等行列混合变换解系数矩阵为一般m×n矩阵的矩阵方程,该方法系统完整.     

矩阵方程XAX=A的解的讨论

讨论了在A是可逆矩阵时矩阵方程XAX=A的对称解、正交解、正定解的结构,并给出了解的一般结构和表达形式.     

函数方程的初等解法

解函数方程是很难的数学问题,本文阐述解函数方程的最常用初数方法,包括赋值法,换元法,柯西法,不动点法。并结合具体实例说明这些方法在解函数方程中的运用及解题关键。     

一类可用初等积分法求解的Riccati方程

先对Riccati方程的性质、形式作一般介绍,然后给出一类可用初等积分法求解的Riccati方程的具体形式,并举例给出结果和加以讨论.     

矩阵方程AX=B有解的判定和解的结构

矩阵方程AX=B是线性方程组的一个推广方向,其解存在的充要条件为:R(A)=R(A);解的结构为:AX=B的任意两解差为AX=O的解,AX=B的任一解与AX=O的任一解之和还是AX=B的解;通解为:AX=O的通解与AX=B的一个特解之和。     

关于丢番图方程x3+p3n=Dy2的讨论

得到了当DN*,D >2,D无平方因子且不被6k + 1形素数整除时,方程x3 + p3n = Dy2在素数p 7(mod 12)时的全部正整数解的通解公式.     

关于指数Diophantine方程a~x+b~y=c~z的一个猜想

设r是大于1的奇数,m是偶数,U_r和V_r是适合的整数,证明了:当r=3(mod4),m=2(mod4),m>r/Ⅱ且c是素数方幂时,方程口。a~x+b~y=c~x仅有正整数解(x,y,z)一(2,2,r).     

一类可用初等积分法求解的Riccati方程

先对Riccati方程的性质、形式作一般介绍,然后给出一类可用初等积分法求解的Riccati方程的具体形式,并举例给出结果和加以讨论。     

也谈四元矩阵方程AX-YB=C有解的条件及其解

对于矩阵方程AX-YB=C的解存在问题有许多研究，本文在讨论矩阵方程AX-YB=I有解的充要条件及解的结构的基础上，证明了矩阵方程AX-YB=C有解的充分必要条件。     

一类Cauchy型函数方程的解的讨论

用多种方法求出cauchy型函数方程f（x＋y）=f（x）＋f（y）的连续解，并给出R上的不连续解。     

一类Riccati方程的解

本文用初等积分法,求出了一类特殊的Riccati方程y′=f(x)y^2 g(x)y h(x)，若f(x)=Aexp[-∫g(x)dx],h(x)=Bexp[∫g(x)dx]通解的解析表达式。（1）当AB=m^2时，y=m/Atan(mx C)e^∫g(x)dx (2)当AB=-m^2时，y=m/A(1 Ce^2mx/A1-Ce^2mxe^∫g(x)dx。     

运用方程讨论斜三角形的解

在解斜三角形的四种类型中,已知三边和已知两角一边及已知两边和夹角的三角形的解是无需讨论的,但已知两边和其中一边的对角的三角形的解就需要讨论.教材认为,这种情况用正弦定理解,在用正弦定理解的过程中,当三解形无解时,可由正弦定理公式并根据三角函数值域进行判断,而当三角形有一解或两解时,常常不     

函数方程问题的一些初等解法

函数方程问题近年来多次出现在高考和高中数学竞赛试题中,而解函数方程是比较难的数学问题,本文通过分析一些简单函数方程的初等解法,包括：换元法、递归法、假设论证法、待定系数法、赋值法及构造法,并结合具体实例说明解函数方程问题的关键,对高中函数方程问题的教学和高考复习有一定帮助。     

利用函数方程定义基本初等函数

本文利用函数方程,对基本初等函数做出定义。在这之前,采用求解微分方程的方法,对其给出合理的证明。     

用函数方程刻划基本初等函数

函数是数学中最重要的基本概念之一,而基本初等函数又占有举足轻重的地位。该文证明了某些基本初等函数可以用函数方程来刻划。