为什么等于1

因为×1=0.999……①,×10=9.999……②,②-①得×9=9,所以=9/9=1。但有人根据直觉,却认为就是0.999……,它总小于1,这主要是没有把无限循环小数的意义弄清楚,把带有省略号的无限循环小数与带有省略号的有限小数混淆起来了。我们知道,可以写成无限和的形式,即=0.999……=0.9 0.09 0.009 ……=9/(10~1) 9/(10~2) 9/(10~3) ……所以恰好表示无穷     

变换方程组 巧思妙求值

下面是几道关于一次方程组的求值题,我们可避开求每个未知数的过程,通过变换方程组,利用整体法求出各代数式的值.一、变换二元一次方程组求值例1已知3x+5y=24.5,① 2x+3y=15.5,②试求5x+9y的值.解①×3,得9x+15y=73.5, ③②×2,得4x+6y=31.④由③-④ ,得5x+9y=42.5.     

0.9与1相等吗

题目　0.9与1相等吗? 分析　一般利用设未知数解方程的方法: 解　设0.9 · =x,① 则9.9 · =10x,② ②-①:9x=9, 故x=1. 另解　(利用化循环小数为分数的方法) 因为0.3 · =13, 所以0.3 · ×3=13×3. 即0.9 · =1. [编者的话]　这里是从式的变换来说明0.9 · 与1是相等的,从 高等数学的观点看,并不完全严格,权且作一种理解.有不少同学 来信,质疑0.9 · 是否等于1,并说出了种种理由,无非是…     

“似非而是”的分数运算

我们知道,分数的运算与化简都必须按照相关的法则进行,可下面的运算却出乎意料之外,令人难以相信,但其正确性却是毋须置疑的,请看:1.有趣的加法(1)35 25=53××25=265;(2)1270 230=2107××230=45010.异分母分数加法运算,本应先通分,化为同分母后再相加,而这里却是把分母相乘作分母,分子相乘作分子.究竟什么样的分数才可以这样做呢?不难发现,这样的两个分数具备条件:①分子相同;②分母之和等于分子.反过来,是不是具备这样条件的分数相加就可以采用这种方法呢?请看:a ba a bb=(b a b)a (ba a b)(=a b)a(××b a b).2.奇妙的减法(1)76-98=76-…     

质数的另一个特征

例题52=24×1 172=24×2 1112=24×5 1132=24×7 1……从以上例题可以看出,某些数的平方数都是24的整倍数多1,且这些数都是质数。是不是所有质数都具有这个特征呢?下面我们来证明一下。我们用A表示质数,n表示整数。则有A2=24n 1证明:根据A2=24n 1推导,A2-1=24n(A-1)×(A 1)=24n     

一道竞赛题的简解及联想

《中学教研》(数学)1991第8期第9页上说到一道美国数学奥林匹克竞赛题: 确定下面方程组的实数解 x+y+z=3, ① x~2+y~2+z~2=3, ② x~3+y~3+z~3=3。③ 1.该文提供了七种解题思略,看了以后很受启发,我们这里提供一种解法,可称为平移法。令 x=1+a,y=1+b,z=1+c。④将④代入①得 a+b+c=0, ⑤复将④代入②并利用⑤     

小学六年级数学素质测试卷

一、速算小天才:友情提示:细心谨慎,好好把握自己!1.直接写出得数。3.8 5.2=511×33=0.33=12×(31×41)=38÷52=12-73=25÷1%=2×21÷2×21=2.脱式计算。(能简算的要简算)①8470-104×65②(1330-252)×1151③230×101④[1-(21 83)]×543.解方程。①2x 30%x=9.2②25∶4=x∶544.文字题:①43减去35乘3的倒数,所得的积再除以34,商是多少?②一个数的13比它的25%多12,求这个数?(用方程解)二、博士辨是非:友情提示:认真思考,小心易迷惑式题!1.一个班级中,学生的出勤率与缺勤率成反比例。()2.数a的21与数b的53相等,则a一定大于b。()3.一块长50厘米,…     

质数的另一个特征

例题52=24×1 172=24×2 1112=24×5 1132=24×7 1……从以上例题可以看出,某些数的平方数都是24的整倍数多1,且这些数都是质数。是不是所有质数都具有这个特征呢?下面,我们来证明一下。我们用A表示质数,n表示整数,则有A2=24n 1。证明:根据A2=24n 1推导A2-1=24n(A-1)×(A 1)=24n从以上例题可以看出,某些数的平方数都是24的整倍数多1,且这些数都是质数。是不是所有质数都具有这个特征呢?下面,我们来证明一下。我们用A表示质数,n表示整数,则有A2=24n 1。证明:根据A2=24n 1推导A2-1=24n(A-1)×(A 1)=24n因为(A-1)、A、(A 1)是三个连续自…     

三年级数学期末训练

一、直接写得数。600×4=630-70=80÷20=0×130=121÷11=98×20=600×3=84÷6=350÷50=72÷12=13×50=54 38=720÷90=25×8=400 350=二、填空。1.①9平方分米=()平方厘米②28平方千米=()公顷③500毫米=()分米④3千克=()克⑤6000平方分米=()平方米⑥112时=()分2.在()中填上合适的单位。①大楼高30()②轮船载重30()③小红身高140()④轮船每小时行30()3.下列括号内最大能填多少?①60×()<258②46×()<217③()×24<100④()×53<3024.在○里填上“>”、“<”或“=”。①300厘米○3米②800克○8千克③小红买了20个本子,平均分成10份,每份占总数的(…     

取共轭求解时要检验

对于一个复数方程,两边取模会导致增解,而两边同时取共轭得到的是与原方程同解的方程,怎么会导致增解呢?但这样的奇怪事情却发生了:请看下面两例. 例1 已知z是复数,且z~3=z,求z. 解法一:在z~3=z两边取模得|z|~3=|z|,即|z|=1或|z|=0.若|z|=1,则在z~3=两边同乘以z得z~4=1,z=±1或z=±ι.连同z=0共五个解,代入原方程知都是原方程的解. 解法二:z~3=. ①两边同取共轭得=z ②把①中的=z~3代入到②式中得z~9=z,解得 z=0或z~8=1. 显然比上面解法多出4个根.奇怪的是①式与②式互为充要条件,是同解的,由它们联立的方程组所得的结果应该是它们的公共解,而解为什么能多呢?我们再看一例.     

用“代数法”编题初探

所谓代数法,就是用字母代替数的方法。怎样运用这一方法编制一些数学题目呢?例1请你编一个一元一次方程,使它的解是5.解:第一步,写出一个含有数字5的数字等式,比如:23×5-100=3×5;第二步:用字母x代替等式中的数字5,得:23·x-100=3·x;第三步:整理,得所编的一元一次方程为:23x-100=3x.例2请你编一个二元一次方程组,使它的解是:a=21b=32.解:第一步:写出二个不同的且都含有数字12和32的数字等式。比如:2×21 3×23=3①5×21-6×23=-23②第二步:用字母a代替①式和②式中的21,字母b代替①式和②式中的32,得:2·a 3·b=35·a-6·b=-23第三步:整理…     

七年级数学常见求和方法例谈

在数式的运算中,求和是一种常见的运算.但若数值大、项数多,则运算繁杂,容易出错,若能掌握一定的方法,则往往能化繁为简,简捷求解.下面介绍一些初中数学中常见的求和方法,供同学们学习时参考.一、倒序相加法例1求S=1 2 3 … 2006的值.解:S=1 2 3 … 2006,①S=2006 2005 … 1,②(① ②)÷2得:S=(1 20062)×2006=2013021.二、裂项相消法例2计算:1×12 2×13 3×14 ... 2005×12006解:原式=1-12 21-13 31-41 ... 20105-20106=1-20106=22000065.三、凑整求和法例3求S=19 199 1999 … 199…$999个9解:原式=20-1 200-1 2000-1 … (200…99$个00-…     

一些特殊方程组的解法

<正>一、叠乘法例1解方程组:ab=1,①bc=2,②cd=3,③de=4,④ae=6.⑤解由①×②×③×④×⑤,得a2b2c2d2e2=144.∴abcde=12,⑥abcde=-12.⑦将①、③分别代入⑥、⑦,得e1=4,e2=-4.同理可得a1=32,a2=-32,b1=23,b2=-23,c1=3,c2=-3,d1=1,d2=-1.     

一个值得研究的三元一次方程组

一、题目有三个数,两两相加,分别等于3,4,5,求这三个数。算术解法：根据题意,得这三个数和的2倍等于3,4,5的和,即12。故这三个数的和为6,于是,这三个数是1,2,3。代数解法：设这三个数分别为x,y,z,根据题意,得{x＋y=3①,y＋z=4②,z＋x=5③。①＋②＋③,得x＋y＋z=6。把①,②,③,分别带入④得z=3,x=2,y=1。     

义务教育课程标准实验教科书小学数学(人教版) 二年级上学期期末测试题

同学们,一个学期的学习要结束了,老师知道你学的很棒,试试吧!你一定会取得好成绩!智慧乐园1.在○里填上“>”“<”或“=”。35-16○208×9○804×4○153×6○6 6 66×6○9×42.填上合适的单位。铅笔长18()大树高6()小学生高1()12()3.在对称的图形下面画“√”。()()()4.中有()条线段,)个直角。5.水果下面藏着什么数?×=×=12神机妙算1.直接写得数。6×8=5×9=5×6=7×4=9×9=8×7=9×4=3×8=6×9=7×5=8×9=5×8=7×6=8×4=9×7=15 30=36-15=55-40=21 36=48-9=2.用竖式计算。37 2876-3690-593.笔算下面各题。39 60-7594-56 37心灵手巧1.画一…     

巧作倒数代换妙解题

倒数式换同三角代换、平均值代换等代换一样,是一种重要的代换,若有关于积的条件,常可用倒数代换。下面用此代换妙解二道竞赛试题。 例1 已知a≥b>0且3a 2b-6=ac 4b-8=0,则c的取值范围是_____ .(1996年“希望杯”全国数学邀请赛初二试题) 解 易知3a 2b=6 ① ca 4b=8 ② ①×2-②,得a(6-c)=4,即a/2·(6-c)/2=1,故可令a/2=t,(6-c)/2=1/t ③ 将a=2t代入①可解得b=3(1-t)。 由a≥b>0,得2t≥3(1-t);3(1-t)≥0。 解得3/5≤t<1,即1<1/t≤5/3。 将③代入上式,得1<(6-c)/2≤5/3, 解得8/3≤c<4。     

迎接“2000”——趣题一组

1.填上运算符号使等式成立:9 9 9 9 9 9 9 9 9=20002.在右边的算式中,“教”“学”“研”“究”四个汉字各代表一个阿拉伯数字。其中“教”=___“学”=___“研”=___“究”=___。3.计算:①1999×200020002000-2000×199919991999②1/(1×2) 1/(2×3) …… 1/(1999×2000)4.1999年元月一日是星期五,2000年元月一     

加强训练消除“定势”的不良影响

在学生的作业中,或单元测试时,一些学生常常把简单的计算题做错。例如:①3×2=5,②8 2×9=90③4.65-2.5=4.4④(1/2) (1/3)=(2/5)⑤1÷2.5=2.5……我们认为学生答题致错的主要原因是“定势”造成的干扰。所谓“定势”是指一定的     

含参一元二次方程五例

例1若关于x的方程 （m-2）x^m2-2-5x-1=0是一元二次方程,求m的值．分析根据一元二次方程的定义,得①二次项系数不为0;②未知数的最高次数是2．先利用②求值,再运用①验证．     

三角形的个数——特殊与一般的协同作用

认识往往要经历一个从特殊到一般的过程 ,这个过程简述为特殊与一般的协同作用 .下面以探求三角形的个数为例作一说明 .问题　a、b、c表示三角形三边的长 ,它们都是正整数 ,其中a≤b≤c ,若b =n ,这样的三角形有几个 ?分析　三角形的个数与n有关 ,设它的个数为f(n) ,问题变为求函数f(n)的具体表达式 .看来 ,这不是一个垂手可得的问题 ,困难在于n是任意正整数 .如果n是某个特殊正整数 ,问题的难度当然下降 .不妨从n =1,2 ,3试试看 .首先 ,正整数a、b、c受以下两式制约a≤b≤c ,　　①a +b >c .　　②1.当n =1时 ,b=1,由①得a =1;由②得c=1,可…