中国古代的四种级数算法

在中國最古的兩本算书——周髀算經和九章算术中就提到等差級數,但沒有求總和的簡捷方法。到南北朝的時候(五世紀和六世紀間),張丘建算經里有一個題目:“今有女子不善織,日減功迟,初日織五尺,末日織一尺,今三十日織訖。問織幾何?”將該書所舉的算法譯成公式:設初項(即初日織)為a,末項(即末日織)為l,项數(即共織日數)为n,則總和(即共織尺數)为     

未定系数法

1.学生們通常要在大学一年級里研究有理函数的積分时才能学到未定系数法。我尝試着以数学小組的材料的形式來叙述未定系数法。也許有些教师認为,在課堂上以一种有趣的、一反通常敍述方法的形式講一講某一种未定系数法的应用也是可能的。 2.假設要求不進行乘法运算,求積 (x-1)(x+2)(x-3)。 顯然,在積中得到一个三次多項式,其首項系数为1,常数項为6。     

从2007年高考谈常见数列通项公式的求法

1利用等差(比)数列公式用等差、等比数列公式求通项公式,首先要会判断出所求数列是等差数列还是等比数列,然后求出数列的首项和公差(比),最后利用等差(比)数列通项公式写出通项公式.     

等差中项纵横谈

众所周知，三数a、A、b成等差数列的充要条件是A＝a b/2，其中A叫做a与b的等差中项．对于一些题设中直接或间接出现形如a b=2A的数学题，如能联想到等差中项的定义，利用等差中项A作代换：a=A d，b=A-d，则能为解题开辟新的途径．下面笔者就从纵横两方面浅谈等差中项在解题中的应用．一、求代数式或三角式的值例1已知x-y=1/2,x~2 y~2=1，求x~2-y~2的值（1982年高考文科试题）．例2己知5tgx xecx=5，求cosx的值．简析略解；本题常规法是，用万能公式求出tgx/2的值．再用万能公式求得cosx的值．而用等差中项方法求解，更为简便．二、解方程…     

不画图,求三角形内角的三种方法

在现行高中教材中,利用两直线夹角公式求三角形的内角时,教材是根据已知条件画出这个三角形,然后根据图形来确定3个内角的始边与终边,即确定内角是“谁到谁”所成的角,依公式tanθ=1k2 -k2kk11,(k1k2≠-1)(1°)再分别求出两个内角(第3个内角用三角形内角和公式求出).本文将介绍     

“平均数”浅说

求平均数的问题,是小学数学教学实践中经常要遇到的一个问题。如:求平均分数、平均年龄、平均身高、平均时间,等等。如果两个数分别是a和b,那么这两个数的平均数A,可用公式(1)求出:     

求数列通项的几种方法

数列这部分内容是中学数学的一项重要内容,也是考试大纲所要求掌握的重点内容。本文介绍取倒数法、待定系数法、加减换元法,利用函数的关系构造新数列求数列通项公式。求数列通项这类问题往往需要将递推关系进行适当变形处理,将其转化为等差或等比这两类最基本的数列,从而求出它们的通项,进而求出数列前n项和,这种思路和方法也体现了数学的重要思想—化归与转化思想。构造新的等差或等比数列,求通项公式是一种常见方法。     

理化课程纲要

初級工科,雖以技能为重,然度量衡之單位,物體之組織,自然界簡單現象之鑒別,耍為工科学生應有之常識。抑且為進求高深學問之預備。一、学科理化二、年级二年級上學期三、每周時數 二時四、教程(一)物理     

不动点与递推数列的“亲密对接”

已知某数列的递推公式求该数列的通项公式是数列的一个基本问题,求通项公式的常用方法是将递推关系转化为等差或等比数列的递推关系．在平时的教学实践中发现,一些数列递推关系,若由函数的不动点来指导递推关系的变形过程,便可较快地求出递推数列的通项公式．     

不动点法求数列通项

已知某数列的递推公式求该数列的通项公式是数列的一个基本问题,求通项公式的常用方法是将递推关系转化为等差或等比数列的递推关系．在平时的教学实践中,发现有两类递推关系,若由函数的不动点来指导递推关系的变形过程,便可较快地求出递推数列的通项公式．     

反比例函数

【要点解析】(一)反比例函数的定义定义:一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=kx(k为常数,k≠0)的形式,那么称y为x的反比例函数.1.自变量x与因变量y都不能为0.利用k=xy可确定反比例函数解析式.只要有一对对应值或图象上一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式.但需注意,如果题中只告诉我们点到某条坐标轴的距离时,求出的答案往往不唯一.反比例函数和正比例函数容易混淆,现将这两种函数的有关性质与知识列表归纳总结如下,以便记忆和理解.2.反比例函数定义的两种等价形式(1)y=kx(k≠0)也可以写成y=kx-(1k≠0)的形式.例1k为何…     

求数列通项公式的基本策略

<正>数列的通项公式是研究数列性质的前提,求数列的通项公式是数列的基本问题之一,求数列的综合题是高考的热点问题.求数列通项公式的方法灵活多变、形式灵活多样,这些解题技巧最终都可以归结为几种基本方法.只要掌握了这些方法,便可以以不变应万变.为帮助同学们系统复习,下面以2014年高考真题为例对数列通项公式的常用求法进行归纳总结.一、基本量法求等差(比)数列通项公式是最基本的方法基本量法即先判断数列是等差(或等比)数列,根据题目条件求出a_1,d(或q),再由等差数(或等比)数列的通项公式写出其通项公式.     

物理竞赛中简谐运动周期的四种求法

物理竞赛中在解决简谐运动问题时,经常会涉及周期的求解。本文通过具体实例,介绍物理竞赛中简谐运动周期的四种求法。一、周期公式法由简谐运动的周期公式T=2πm/k可知,运用周期公式求周期的关键是求出回复力系数k。通常情况下,可以通过两种途径求出回复力数。一是通过对简谐运动物体进行受力分析求出回复力,然后根据物体简谐运动时回复力大小的特征F=kx,找到回复力F与位移x的关系求出回复力系数k;二是通过求简谐运动物体在位移为x时的势能,然后根据物体作简谐运动时势能Ep=kx2/2,找到Ep与x2的关系求出回复力数k。例1如图1所示,摆球质量为…     

由递推公式求数列通项的一种方法——展开求和法

由递推公式求数列的通项,这个问题学生掌握起来是比较困难的。如何利用已经学过的知识,找出其间的规律,化难为易,是解决这种难题的关键。中学课本中等差数列和等比数列,其通项可以写成递推公式的形式。等差数列:a_n=a_(n-1)+d,(n>1);等比数列:a_n=a_(n-1)q,(n>1)。由这两个递推公式,反过来求其通项是很容易的。如果给出形如 a_(?)—a_n=a(a_n—a_(n-1)或形如 a_(n+1)—a_n=(a_n—a_(n-1)+b(其中 n≥1,a、b 是常数)的递推公式,那么如何求出已知数列的通项 a_n 呢?解决这种问题的方法分两个步骤:第一,把所给的递推公式先化成等差或等比数列     

浅谈高考对求数列通项公式问题的考查

<正>一、直接利用等差或等比数列定义求通项利用已知条件求出首项与公差(公比)后再写出通项.例1已知实数列{an}是等比数列,其中a7=1,且a4、a5+1、a5成等差数列,求数列{an}的通项公式.     

數學教學質量檢查

一 從四月二十三日至五月底,我校在教育局教學研究室試點工作組的協助下進行了數學教學質量的檢查,全體數學教師都積極地參加了此項工作。檢查的內容是學生的知識質量、敎師的教學以及這兩方面存在問題的原因。現將我們在檢查中發現的問題分別叙述於次: 一、學生知識質量的一般情况: 解放後幾年來,在學校教學工作上,進行了一系列的改造,由於教師同志不斷的努力,學生的成績有了顯著的提高。他們一般地明確學習是為了祖國,而且也知道學好數學對於參加各項建設的重要意義。有不少學習較好的同學,在運用一些數學上的定理、法則、公式進行各種練習時,不但能求出正確的結     

一道代数式求值题的多种解法

已知:x1、x2是方程x2-x-9=0的两个实数根,求代数式x2+7x22+3x2-66的值(湖北省黄岗市2001年中考数学题) 分析这是一道求一元二次方程两实根的代数式值的问题,首先想到可利用求根公式,分别求出该两个实数根,然后代入,即可求出值来。如果所求得的根为整数、分数,则代入运算比较方便;如果是无     

一类特殊数列的前n项和公式

如果数列的通项是其中b,d,r为常数,且。那么,该数列有这样一些特点：它的每一项都是r个因子的乘积,且这r个因子中每相邻两个因子相差d,数列各项中的第个因子构成以d为公差的等差数列,则有下面两个求和公式：证明：先征（1）式即将（3）式两边同时减去,得在（3）式中令k＝n,得：再证（2）式由（3）式可得：Q同时减（4）式两边得：在（4）式中令k＝n,得注：在应用上面两个公式时,首先要求出所给数列满足公式（1）入2）的礼,然后再求出b,d,r的值。下面通过若干实例来说明上面两个公式在求和中的应用。例1,求数列IXZX3,2X3X4…     

递推数列通项公式的一种常用求法——待定系数法

在求递推数列通项公式时 ,我们常用累加法、累乘法、迭加法、以及 Sn 公式法 ,但对较复杂的递推数列 ,用待定系数法求通项公式是一种很有效的方法 .本文对以下 5种类型进行阐述 ,供读者参考 .1　形如 an+1=pan+ q(p,q为常数 )可设待定系数 k,配成 (an+1+ k) =p(an + k)利用对应系数相等求出 k,转化为等比数列求出通项公式 an.例 1　数列 {an}中 ,a1=2 ,an+1=13 an-4,求通项公式 an.解 :设 (an+1+ k) =13 (an+ k)an+1=13 an -23 k令 -23 k =-4,所以 k =-6所以 (an+1+ 6 ) =13 (an + 6 )所以数列 {an+ 6 }是以首项 a1+ 6 =8,公比为 13 的等比…     

是错解？是简解!——一个令大家纠结多年的数列通项公式求解方法的正确性探究

在处理数列问题时,常常遇到＂已知数列{an}的首项a1,并且知道an＋1与an满足的一个递推关系式an＋1=f（an）,求数列{an}的通项公式＂的一类问题.对于此类问题,如果递推关系式an＋1=f（an）不容易转化为等差型数列或等比型数列时,则我们只有使用杀手锏＂归纳——猜想——证明＂的方法求之,即先求出数列的前几项,通过归纳、猜想出数列{an}的通项公式,最后运用数学归纳法证明之.