3~2+4~2=5~2的联想

对于一个很简单的数学关系,若能深入思考,勇于联想,常能结出丰硕之果.本文以“3~2+4~2=5~2”为例,来跟踪一下数学思维的发展轨迹. 当你看到“3~2+4~2=5~2”之后,能想到些什么呢?如果你善于观察,便会从中看到3,4,5是3个连续的正整数,进而就会自然地想到     

赏析1~2+2~2+3~2+…+n~2=?的推理过程

<正>苏教版高中数学选修2-2推理案例赏析这一节中,安排了这样一道例题:我们知道,1+2+3+…+n=n(n+1)/2(一次式和),那么1~2+2~2+3~2+…+n~2=?(二次式和)     

F_p上的不定方程x_1~2+x_2~2…+x_n~2=a

本文不用特征而直接用勒让德符号和线性代数方面的知识导出F_p上不定方程x_1~2+x_2~2+…+x_n~2=a对应于(a/p)=0,1及-1的非平凡解解数和全部解解数公式.     

函数y=((x-a)~2+b~2)~(1/2)+((x-c）~2+d~2）~(1/2)的最小值的求法探索

对于求函数的值域,本文将从函数表达式的结构入手,从不同的角度探索该函数值域的多种求法.下面提供几种求该函数的最小值的方法,供大家参考.1 构造等差数列 例1 求函数的最小值. 解:函数定义域为R,由已知得成等差数列,故令     

不等式a_1~2+a_2~2+…+a_n~2/n≥(a_1+a_2+…+a_n)~2/n的证明

本刊1983年第二期《不等式(a~2+b~2)/2≥((a+b)/2)~2的推广与应用》一文证明了下面命题: 若a_1,a_2,…,a_n都是实数(n属于自然数),则有     

(a+b)~2≠a~2+b~2,为什么

上面这个错误的等式是显而易见的.但在学习了这部分知识后,在利用乘法公式的计算中,有些同学却屡改屡犯,这是为什么呢?可能是老师在给这部分学生纠正错误时,只注重了从表面或运算结果的角度去分析,而忽略了从"学生的学习心理"方面去分析问题.同学们可能会这样想:     

由(k+1)~2=k~2+2k+1想到的

完全平方公式:(k+1)2=k2+2k+1是同学们非常熟悉的乘法公式之一.接下来请同学们和我一起利用这个公式进行一个小研究. [探索一]在这个公式中,如果分别令k= 1,2,3,…,n,那么可以得到以下n个等式:     

关于(λ~5-4λ~3+λ~2+4λ,λ~2-2λ+1,λ)—Ⅰ型循环拟差集

利用不定方程y~2=x~3-2X+1及y~2=X~3-4x+1的结果,将得到:若存在(λ~5-4λ~3+λ~2+4λ+4λ,λ~3-2λ+1,λ)——Ⅰ型循环拟差集,则λ只取有限几个值.     

用构模法求y=((x-a)~2+b~2)~(1/2)±((x-c)~2+d~2)~(1/2)的最值

本文通过例子说明上述无理函数最值的几种构模法. 例求函数y石砚石不万百的最小值. 解法1:(构造解析几何模型) 少=丫(二一。)’+(O功了+万厂可耳~而万而不丫%2+4原式配成 二尸刀+尸刀卜 求y的最小值,只要求马尸召+尸D,的最小值.将尸召、山尸刀1所在的两个面展成一个平面(图3),可见当点尸在连线BD,上时,PB+PD,取A得最小值是BD:二了丽r丁丽不=3涯\尸\①井酌 该式表示x轴上的动点P(x,0)与两个定点A(0,2)、B(3,一l)的距离之和,即y刻PAI+l PBI.由图l可见,当动点尸在连线AB上,即X二!AB3时,y的最小值是=办饱+3,=3涯解法2:(构造立体九何=…     

N~+和N_2~+离子注入硅的材料性能研究

本文应用X射线衍射方法、红外光谱分析方法、扩展电阻测量方法研究了N+和N+2注入硅的应变、损伤度、扩展电阻率随注入剂量、注入深度变化的规律,形成Si3N4非晶层的条件.建立了多层的物理模型和胁变函数的数学模型,利用计算机和曲线拟合等手段,得出了合理的结论.     

(a~2 +b~2 +k_1ab)~(1/2)+(b~2 +c~2 +k_2bc)~(1/2)>(a~2 +c~2 +k_3ac)~(1/2)的探究——反思、与读者也与自己对话

我们在文 [1 ]的案例 3中 ,谈了数形结合的双向沟通 ,顺便对题目 (文 [1 ]例 3、4、5 ,此处统一为例 1 )例 1　已知a >0 ,b >0 ,c >0 ,求证 :( 1 )a2 +b2 +ab +b2 +c2 +bc>a2 +c2 +ac;( 2 )a2 +b2 -ab +b2 +c2 -bc ;≥a2 +c2 +ac,( 3 )a2 +b2 -ab +b2 +c2 -bc>a2 +c2 -ac.从特殊到一般作出了推广 :a2 +b2 +k1ab +b2 +c2 +k2 bc≥a2 +c2 +k3ac .①其中 |ki|<2 ,i=1 ,2 ,3 .这对b +k1a≥ 0且b +k2 c≥0 (特别地k1≥ 0 ,k2 ≥ 0 )时 ,结论是显然的 ,有左边≥a +c=a2 +c2 +2ac >右边 .但当k1、k2 中出现负数呢 ?文 [2 ]指出 ,推广式①并非永远…     

浅谈(a~2+b~2)/2≥[(a+b)/2]~2的证明

(a2+b2)/2≥((a+b)/2)~2(人教版第二册第11页第1题)是一个很重要的不等式,证明它有很多方法,用它可以求某些式子的最值,并且可以证明一些不等式,下面给出几种有关它的证明方法以及它的一些应用.     

(2+(2+((2+…)~(1/2)))~(1/2))~(1/2)值的三种求法

题:求(2+(2+((2+…)~(1/2)))~(1/2))~(1/2)的值.此题常见于高中数学复习资料和趣味数学题集中,其解法具有一定的技巧性,但有的题解在并未进行证明的情况下,贸然令原式为l,得(2+l)~(1/2)=l求得l=2.这是不     

2~k+2~k=2~(k+1)的应用

利用等式2k+2k=2K=1①可求形如xp+yq=zn（n,p）=1,（n,q）=1的不定方程的一组正整数解。例1、求方程y2＋x3＝z5的一组正整数解。解：…2、3的最小公倍数是6。既是6的整数倍又比5的整数倍小1的最小的k的值是24,即有224＋224＝225,(212)＋（28）3＝（25）5”y＝212’,x＝28,z＝z5即为要求的一组正整数解。例2、求方程z3＋x7＝y4的一组正整数解。解：3×7＝21,又3×21＝63＝64－1则有沙十3ee一岁,即（3z）’＋（3＊二（3”）‘”＝一户1二3’,歹一3‘’为要求的一组正整数解。例3、求方程＞十二二;的一组正整数解。U3M、Al＼jjq：l…     

思考角度不同,方法层出不穷——巧算1/2+1/2~2+…+1/2~n的值

同学们在思考一个问题的时候,要善于从不同的角度入手,找出解决问题的切入点,拓展自己的思维.例如下面一题:求21 212 … 21n的值(结果用n表示).由于我们无法知道确切的项数,所以用直接的加法计算是无法解决的,但是如果换个角度思考,那么解决的方法就很多.方法一:巧妙拆项12=1-2     

O_2~+、O_2~-、O_2~(2-)、O_3、O_3~-结构简析

关于O_2~+、O_2~-、O_2~(2-)、O_3、O_3~-结构,是一个很重要的问题.弄清楚它们的结构就不难了解由它们所引起的化学反应及形成的化合物的性质.本文只想简析它们的结构,而对于它们的性质将不加详细讨论.     

一个漂亮等式的简单证明——(a~2+b~2+c~2+d~2)(e~2+f~2+g~2+h~2)=x~2+y~2+z~2+u~2

正引子:高中学生在复数学习过程中,经常会遇到这样一个习题:试证(a2+b2)(c2+d2)可表示成x2+y2的形式.事实上,令z1=a+bi,z2=c+di,两数相乘,得(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.两边平方可得,|(a+bi)(c+di)|2=|a+bi|2|c+di|2=|(ac-bd)+(ad+bc)i|2,即(a2+b2)(c2+d2)=(ac-bd)2+(ad+bc)2,令x=acbd,y=ad+bc,即得结论.     

关于Diophantine方程x+y+xy=2~(p-1)

设p是素数,对于非负整数k,设F(k)=22k 1是第k个Fermat数,本文证明了:方程x y xy=2p-1没有正整数解(x,y)的充要条件是P=2或者P=F(k)且F(2k)也是素数.     

公式(a+b)~2=a~2+2ab+b~2的教学设计

公式（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２的教学设计□徐光考（浙江省台州市椒江二中３１８０００）《九年义务教育初级中学数学大纲》明确提出：“在教学时，应当注意数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展，……，使学生在这些过程中展开思维，从而发展...     

关于asinα+bcosα=(a~2+b~2)~(1/2)sin(α+)的应用

人民教育出版社出版的数学第一册(下)(试验本)P45例5. 求证:cosa+√3sina=2sin(π/6+a).它事实上是介绍了一种三角函数的变形技巧.而这种变形技巧所蕴含的数学思想是化归思想,把形如asina+