利用初等数学证明(■n n)/n>(■n(n 1))/(n 1)(n>2 n∈N)

在数学的微积分教材中,有一道习题(或例题)证明级数(?)条件收敛。这是一交错级数,若运用莱布尼兹判别法,涉及到证明 Un≥Un 1,即证明(?)nn/n>(?)(n 1)/n 1(n>2,n∈N) (1)高等数学中,通常运用导数确定其相应函数的单调性后再作推导,这种方法很简单,但用初等数学能否证明呢?经过尝试,共有两种证法,说明是可行的。现洋述如下:命题:(1)式恒成立。证法一:将不等式两边同乘以 n(n 1),得(n 1)(?)n n>n(?)n(n 1)即 (?)nn~(n 1)>(?)n(n 1)~n因为 f(x)=(?)nx 在定义域内为单调递增函数     

一个不等式的证明

最近郭燕翔同志来信问了下面的问题:“若a>1,求证(1+a~2+a~4+…+a~(2n))/(a+a~3+a~5+…+a~(2n-1))>(n+1)/n”。(1) 在解答这个问题时,得到了8种证法,今按初等证法,数学归纳法及高等数学法依次列举如下。 (一)、初等证法: 证法1 由(1)有     

要注重扩展课本例题的教学功能

目前数学教学中普遍的弊端是忽视充分发挥教材的教育功能,尤其不能着意开掘教材的潜在教育价值。对“精讲多练”的片面理解导致“题海战术”的泛滥成灾。笔者认为,纠正此种偏向,教师引导学生认真钻研教材,把数学解题教学立足点放在教材上,从教材挖掘题源,进而使教学显示新的活力是至关重要的。现举一例,略述一孔之见。例如,《高中代数》(甲种本)P 93例10: 已知:x>-1且x≠0,n∈N且n≥2, 求证:(1+x)~n>1+nx —、以例题的解法为中心引导学生一题多解,或寻求较简的解法,以开阔学生思路,培养学生灵活应用各种知识的能力。证法1,数学归纳法(课本证法)。通过课本证法的讲解,使学生明确涉及自然数n的不等式,数学归纳法是证题的重要途径,如果讲解到此为止,学生思维极易形成定势,造成以后解决此类问题时思路狭窄,影响解题能力的提高。为此,可引导学生作如下探索。     

谈一道好题

九年制义务教育教材(人民教育出版社)((几何》第二册尸二,有这样一题: 题1梯形ABCD中,点E、F分别在腰AB、CD上,EF声AD,AE:EB一m:n,求证:(m n)EF二mBC十nAD. 本文研究题1的多证、引伸及引伸题的应用,从中不难看出此题的教学价值。 一多种证法 证法1连结BD,交EF于G(如图l)丫八D// EF// BC,AEEB EG n GF 万万~石不不’丽-.’.(m n)EG一nAD.(m n)GF二mBC.又.:EF一G尸十EG:’(m n)EF=mBCAD 刀之一—, n 刀忍m十n nAD,AD ,,C F(一H一‘七G曰习 E之 B Fe一\一一图 E递 B 证法2作AG// DC,交BC、EF分别于GH(如图2)…     

一个组合数恒等式的三种证法

一个有关组合数的恒等式是 :C1 n+ 2C2 n+3C3n+… +nCnn =n· 2 n- 1 (n∈N ) .下面给出它的三种不同证法 ,其中第三种证法出人意料 ,简洁优美 ,有绝妙之处 .证法 1　倒序相加法 .设Sn =C1 n + 2C2 n + 3C3n +… + (n-1)Cn - 1 n +nCnn,则Sn =nC0 n+ (n -1)C1 n+ (n-2 )C2 n+… +Cn- 1 n ,两式相加 ,得2Sn =n(C0 n+C1 n+C2 n+… +Cn - 1 n +Cnn)=n· 2 n.∴Sn =n· 2 n- 1 .证法 2　逐项转化法 .mCmn =m· n !m !(n -m) !=n· (n -1) !(m-1) !(n -m) !=nCm - 1 n- 1 ,分别令m =1,2 ,3 ,… ,n并分别相加得 .C1 n+ 2C2 n + 3C3n+…     

读者信箱

贵刊92年第5期《递推数列不等式的若干证法》中的例5证明有误。原题及证明如下:已知正项数列{a_n}满足a_n~2≤a_n-a_(n+1)(n≥1)。证明:a_n<1/n(n≥1)。证明设a_n=t/n,则a_(n+1)=t/(n+1)。代入条件a_n~2≤a_n-a_(n+1)并整理得t~2(n+1)≤nt。解得0≤t≤n/(n+1)<1,从而,a_n=t/n<1/n。这个证法犯了用“特殊代替一般”的错误。从“设a_n=t/n,则a_(n+1)=t/(n+1)”可以看出,变量t是与n无关的变量,这在题目已知条件中是没有的。上述证法只是证     

柯西不等式的几种新证法

柯西不等式是指:对于ai,bi∈R(i=1,2,…,n),有(n∑i=1 aibi)2≤(n∑i=1 ai2)·(n∑i=1 bi2)i=1.这个不等式以对称的结构,广泛的应用,以及证法的多样性,引起了广泛的兴趣和讨论,下面给出几种新的证法.     

一个求和公式的组合证法

<正> 在高中代数中有这样一个求和公式:12+22+32+…+n2=1/6n(n+1)(2n+1). (*)这个公式有各种证明方法,这里提供一种证法,供大家欣赏.这一证法主要运用了组合数的定义及性质Cnk+1=Cnk+Cn(k-1).由n2=(n+1)n-n=2·((n+1)n)/2-n中的((n+1)n)/2可     

对于极限limn→+∞(1+1/n)n证法的比较研究

对极限limn→ ∞(1 1/n)n的几种常见证法作以比较,分析各方法的优缺点.     

间接证法质疑

什么叫做间接证法?间接证法的外延是什么?对这两个问题的回答,众多的初等数学研究教材或数学专著的答案很不一致,表现在以下三个方面:(1)对间接证法的界定不一致;(2)间接证法的外延不“同一”;(3)同一本专著里,间接证法的定义及其外延不和谐。 就间接证法概念的外延来看,主要有以下几种情况     

对于极限lim from(n→+∞) (1+1/n)~n证法的比较研究

对极限lim from 1 to ∞(1+1/n)n的几种常见证法作以比较,分析各方法的优缺点.     

不等式（1／n＋1＋1／n＋2…＋1／2n）^2〈1／2的六种不同证法

给出了不等式((1)/(n+1)+(1)/(n+2)+…+(1)/(2n))2＜(1)/(2)的六种不同证法.     

不等式(1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/2n)~2<1/2的六种不同证法

给出了不等式(1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/2n)2<1/2的六种不同证法。     

数学教学礼记四则

一、数列{(1+1/n)~n}单调有界性的另一证法《高等数学》中的一个重要极限(?)(1+1/n)~n=e的证明方法是以牛顿二项展开式及等比数列求和为依据的,一般的教学参考书以及数学分析的课本中,该极限的证明也是如此,证明的篇幅既长又繁琐.作为教学的参考,现给出另一证法.     

算术平均值——几何平均值定理的一个新证明

在高中数学第三册中我们已知下面的重要定理: 定理 n个(n是大于1的整数)正数的算术平均值不小于它们的几何平均值,即如果a_1,a_2,…,a_n为n个正数,则(a_1+a_2+…+a_n/n≥(a_1a_2…a_n)~(1/n)式中等号当且仅当a_1=a_2=…=a_n成立. 由于这个定理的重要性,人们对它作出了各种各样不同的证明,这些证明体现了很多巧妙的想法.其中很多种证法都使用了数学归纳法,最常见的是法国著各数学家Cauchy提出的两种数学归纳法证法(即《高     

圆内接正n边形的几个性质

本文利用复数证法给出了圆内接正n边形的几个性质.先给出几个需要用到的公式:(1)设m是整数,则 sum from j=0 to n-1 e'~(2mjn/n)= n n|m,0     

课本中一道例题的深化

通用教材高中平面解析几何第116页上有这样一道例题: 例求证:椭圆x~2/25+y~2/9=1和双曲线x~2-15y~2=15在交点的切线互相垂直。课本首先解方程组,求得“它们有四个交点:P_1(5(15)~(1/2)/,3/4)…”笔者认为,教学中讲完课本证法后,引导学生探求新的证法是很有意义的。新的证法如下:     

用七法证(a+b)/2≥(ab)(1/2)(初二、初三)

定理如果a,b均为正数,那么(a b)≥(ab)/(1/2)(当且仅当a=b时,取“=”号)。现行教材对该定理已作了证明,本文再介绍几种别的证法以拓宽思路。证法1用二次根式的性质     

对一道课本例题的挖掘

在高中课本《平面解析几何》(统编教材)第6页,有这样一道例题: △ABC中,AO是BC边上的中线(如图1),求证:该题课本上采用解析法证明.现给出两种平面证法。     

行列式展开法则证明的局限性分析与新证法

在现行《线性代数》教材中,关于行列式按行(列)展开法则推论的证明,基本上采用同一种方法。该证法虽简捷,但却容易使人误认为此证法具有很大局限性,过于特殊,失去了一般性。用计算机程序可简捷明了地证明出此推论的正确性。