用配极变换讨论二次曲线的性质

本文仅讨论常态二次曲线。其非齐次方程和齐次方程分别为：配极变换：平面内的点与其关于一条常态二次曲线的极线成—一对应，这种—一对应称为配极对应（配极变换）。其表达式为：其中为非零常数，Y（y1，y2，y3）为平面内一点，其极线是U（u1，u2，u3），Aij是系数行列式|aij     

关于求二次曲线方程的一种方法

在笛卡儿直角坐标系之下,平面上一条二次曲线的方程总可以表示为α_(11)x~2+α_(22)y~2+2α_(12)xy+2a_(13)x+2α_(23)y+α_(33)=0①当行列式|α_(ij)|≠0(i,j=1、2、3时),①式表示一条常态二次曲线;当行列式|α_(ij)|=0(i,j=1、2、3)时,①式表示一条变态的     

对二次曲线上的有理点的探讨

我们知道,在直角坐标系中由二元二次方程ax^2＋bxy＋cy^2＋dx＋ey＋f=0所确定的曲线称为二次曲线．若点（x,y）在二次曲线上,且x、y均为有理数,则称点（x,y）为二次曲线上的有理点．     

平移公式的应用

平面解析几何中的平移公式 x=x′ h ① y=y′ k一般用来化简二次曲线方程,但若能恰适地应用平移公式,在解题时将有很大的帮助. 例1 自平面上任意一点P(h,k)作一对直线,分别与一条二次曲线Ax~2 2Bxy Cy~2 2Dx 2Ey F= ②交于Q、R及M、N四点,求证:当这对直线方向固定时,|PQ|·|PR|/|PM|·|PN|为定值. 证明:设两直线l_1、l_2的固定倾斜角分别为α、β,平移坐标原点至 P(h,k),如图,则二次曲线②化为: Ax′ 2Bx′y′ Cy′ 2(Ah Bk     

运用三倍角公式求三次方程的解

在古代数学家找到二次方程解法之后,经过六百多年的努力探索才找到三次方程的解法,后人称为卡丹解法。对于标准型的三次方程 x~3 px q=0 (1)卡丹解法系引进变换x=u v (2)将其化为一个二元三次联立方程 u~3 v~3=-q (3) uv=-p/3 (4)这组方程可用二次方程的解法求解。     

椭圆型和抛物型二次曲线的退化特征

在平面直角坐标系下，当二次方程F(x,y)=a11x^2 2a12xy^2 2a13x 2a23y a33=0表示的曲线是两条直线(相交、平行或重合的实的或虚的)时，就说此二次曲线是退化的。     

分离参数法在二次方程根分布问题中的应用

已知二次方程的实根分布在给定的区间内，求方程中参数的取值范围问题，称为二次方程根分布问题．二次方程根分布问题在高中数学中应用十分广泛，许多数学问题可以转化为二次函数根分布问题．解二次方程根分布问题的基本原则是数形结合，     

一类具有样条和逼进性质的n次代数曲线

在平面上,将形如（1－u）l1l2－ul0~2=0的二次曲线族中的l0~2换成l0~n,得到一类形如（1－u）l1l2－ul0~n=0的n次代数曲线,文章通过对此类曲线正则性、凸性的研究,给出了此类曲线在插值和逼进等方面的应用．     

二次曲线方程化简的一种新方法

二次曲线方程的化简是中学数学教学十分重要的内容,而通常所用的方法是选取旋转角θ,用坐标变换 x=x' cosθ-y'sinθ y=x'sinθ+y'cosθ代入方程Ax~2+2Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0,再进行二项式展开,合并同类项,计算繁复。本文介绍的方法将使方程的化简更为简便。首先介绍Ax~2+2Bxy+Cy~2+F=0(B≠0)的方程的化简。定理设二次曲线方程为Ax~2+2Bxy+Cy~2+F=0,则 (1)如果λ_1和λ_2是二次方程|_B~(A-λ) _(C-λ)~B|=λ~2-(A+C)λ+AC-B~2=0 ①的二个根,那么二次曲线方程可化为λ_1x'~2+λ_2y'~2+F=0 ②     

坐标法思想下的“曲线与方程”概念的教学设计

解析几何的核心思想是“坐标法”．在直角坐标系中,平面上的点用坐标（x,y）表示,把曲线看成是适合某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标（x,y）所满足的二元方程f（x,y）=0表示曲线,用代数方法研究方程的性质,进而间接地研究曲线的性质．这就要求曲线和方程之间必须具有某种等价关系,即给“曲线的方程”下一个合理的定义,对合理性的要求就是能通过方程研究曲线的性质．     

关于代数方程求模最小根的倒数幂级数法

通过探讨复系数代数议程f（x）＝0的模数小根α1与幂级数收敛半径R之间的联系，给出了序列收效于α1的三个充分条件；从而这些条件也分别成为序列收效于|α1-1|的充分条件．并由bn（n＝1，2，…）的行列式表示式推导出bn的递推公式，进而推导出求代数方程的模最小根的倒数幂级数法．     

完全四次方程可化为二次方程形式来解的条件

初中代数中，在教过一元二次方程的求根公式后，还介绍了几种可以化成一元二次方程形式的高次方程，其中有双二次方程，倒数方程，三项式方程等，还有如（6x~2－7x）~2－2（6x~2－7－x）－3＝0（1）的形式的方程．学生在解这些方程时，一般没有什么困难，都能运用变量代换的方法顺利地解出来，但如果将（1）展开合并化成36x~4－84x~3＋37x~2＋14x－3＝0，要求学生来解这方程，多数就会无从着手．他们想，这是不是可以化成“二次方程”的形式？有没有一般方法来化，是不是一定能解呢？这些疑问正是要在教师引导下来共同研究的问题。我们把完…     

不同的代数变换导致不同的数形结合

解析几何中，常将方程解的个数问题分解为两个函数的交点问题，即方程人工）一y（x）的解的个数可用C；：x一f（x）与C。：x一g（X）的交点个数来判别．前者属代数范畴，而后者属几何范畴．在解决交点个数时，对特殊情况的值（临界值）又需经过计算，故两曲线交点问题的解决方法常被称为数形结合法．由于方程可变形，如将f（X）一S（X）变为人（X）二目（X），故不同的代数变换可导致不同的数形结合法．因此，对方程的合理变形，是决定数形结合难易程度的一个重要因素．以下通过举例加以说明．例已知抛物线y—－x‘＋mx－l，点A（3，0）…     

非退化二次曲线的另一分类法及其性质

我们知道平面上二次曲线的方程可写为:22a11x+2a12xy+a22y+2a13x+2a23y+a33=0.我们常用的分类方法是将它们经过平移、旋转,化为标准方程:22b11x+b22y+b33=0(b11b22≠0)或b22y2+2b13x=0(b22b13≠0)或b22y2+b33=0(b22≠0).从而,得出,共有九类形式:椭圆、虚椭圆、点椭圆、双曲线、两条相交曲线、抛物线、两条平行直线、两条虚平行直线、两条重合直线.其中,我们称椭圆、双曲、抛物线为非退化的实二次曲线.现在,本文用另一种分类方法,研究这三种曲线的性质.首先,我们定义曲线的相等:定义1若两条曲线经过平移、旋转、反射后重合,则称这两条曲线相…     

The Notion of the Equation of a Curve（曲线方程的概念）

假设在xy-平面上给定了一条曲线（图1）,方程φ（z,y）=0称为一条曲线的隐式方程,如果这条曲线上的任一点的坐标（z,y）满足它,并且满足这个方程妒（z,y）=0的任意一对数z,Y是这条曲线上一个点的坐标．显然,一条曲线由它的方程所确定,因而,我们可以说用它的方程表示的曲线．     

第三类线性分式方程的简便解法

所谓线性分式方程,是指形如的微分方程,一般分三种类型加以考查。第一类,C1=C2=0,此时方程（1）是齐次方程,容易求解。第二类,C12＝C22≠0,且k。此时可用代换a2x＋b2y=u把方程（1）化为变量可分离方程,也不难求解。比较麻烦的是第三类,即的情形。对此,各种文献上介绍的方法都是一样的：先解代数线性方程组得到x＝a．y=β．再作变换则方程（1）就可化为新变量X、Y的方程这是齐次方程,求解后再作代换X=x－a,Y=y－β,即得原方程（1）的解。为什么会想到先解代数方程组（2）,再作变换（3）呢？一般教材中很少加以解释,令初学…     

坐标系和参数方程题型与高考走势

1高考展望 1．1考点回顾 坐标法思想已成为现代数学中最重要的基本思想之一，坐标系是联系几何与代数的桥梁，是数形结合的有力工具，利用它可以使数与形相互转化．解析几何的基本思想就是在平面上引进“坐标”的概念，建立平面上的点和坐标之间的一一对应，从而建立曲线的方程，并通过方程研究曲线的性质．参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标方程的，     

某些平面曲线的垂足曲线

平面上定点C在曲线K的动切线上射影的轨迹称为曲线K关于定点C的垂定曲线．解析几何中论证过，椭圆、双曲线b2X2±a2y2＝a2b2关于其焦点的垂足曲线是圆x2＋y2＝a2，抛物线y2＝4ax关于其焦点的垂定曲线是直线x＋a＝0．本文拟研究某些其他平面曲线的垂足曲线问题。假设已知曲线Kf（X，y）＝0（1）和定点C（a，b），则曲线K的动切线方程是过点C并且垂直于切线（2）的直线方程是其中，（XY）是流动坐标，而（X，y）是曲线K上点的坐标。从方程（1）、（2）和（3）消去x和y，就得到曲线K关于定点C的垂足曲线方程．命题1椭圆关于其中心的垂足…     

二阶曲线切线交点的若干轨迹

利用交比，在仿射平面上，对于二阶曲线，探求交成θ角的两切线的交点的轨迹方程，进而揭示其若干特殊情形．     

用参数的几何意义巧解圆锥曲线问题

<正>平面内经过点M0(x₀,y₀)且倾斜角为α(α∈[0，π))的直线l的参数方程为■(t为参数)．当直线l上动点M(x,y)在点M0上方(即y> y0)时，t>0；当M(x,y)在点M0下方(即y 0M|．鉴于参数的几何意义是常见的解题切入点，本文以2022年高考题为例，展示直线参数方程在求解圆锥曲线问题时的神奇魅力．