C_(F(n))~(f(n))

刘克明 《中学数学月刊》1996,(5)

满足f(f(x))=x和f(f(x))=f(x)的函数f(x)的图象特征及其应用

<正>用图象法表示函数具有直观、形象的优点.在解题中我们经常借助于图象理解问题、解决问题,数形结合的思想方法就是生动的体现.本文笔者试图从函数图象的角度,谈谈满足f(f(x))=x和f(f(x))=f(x)的函数f(x)的图象特征,以及它们在解决相关问题中的应用.一、两个命题命题1对于函数f(x),f(f(x))=x的充要条件是f(x)的图象关于直线y=x对称.证明因为f(f(x))=x,所以点(f(x),x)在函数f(x)的图象上;又(x,f(x))也     

关于f″(h(x)) p(x)f′(h(x)) q(x)f(h(x))=F(x)的求解定理

文献中曾给出了 f′(h(x))=g(x)的若干求解公式.本文先提出三个引理,再借助复合函数求导法则、积分方法及变量替换法,给出新的微分方程 f″(h(x)) p(x)f′(x)) q(x)f(h(x))=F(x)·论证它在一定条件下的可积性,并获得通解的具体表达式.所得结论是对文献中问题的拓广与深化.     

f'(h(x))=g(x)几个求解定理

研究一般的f'(h(x))=g(x)的求解问题是相当困难的,人们仅就h(x)=e~(αx)及g(x)为某几类函数f(x)作了研究。本文在此基础上再作进一步的探讨,给出了更为广泛深入的结论。     

型如(A±2(B~(1/2))~(1/(A±2(B~(1/2)))根式化简应注意的问题

给出根式(A±2(b~(1/b)))~(1/A±2(b~(1/b)))的化简定理及化简应注意的两个问题.     

数论函数方程φ(φ(n))=S(n~(15))的可解性

φ(n)为Euler函数,S(n)为Smarandache函数.研究了数论函数方程φ(φ(n))=S(n~(15))的可解性问题.借助函数φ(n)和S(n)的性质,利用初等方法给出数论函数方程φ(φ(n))=S(n~(15))的仅有正整数解n=1,1728.     

关于函数方程ψ(n~(x+y))=n~xψ(n~y)+n~yψ(n~x)

对于正整数k,设ψ(k)是k的Dedekind函数.本文证明了方程ψ(nx y))=nxψ(ny) nyψ(nx)无正整数解(n,x,y).     

满足f(f(x))=x和f(f(x))=f(x)的函数f(x)的图象特征及其应用

<正>用图象法表示函数具有直观、形象的优点.在解题中我们经常借助于图象理解问题、解决问题,数形结合的思想方法就是生动的体现.本文笔者试图从函数图象的角度,谈谈满足f(f(x))=x和f(f(x))=f(x)的函数f(x)的图象特征,以及它们在解决相关问题中的应用.一、两个命题命题1对于函数f(x),f(f(x))=x的充要条件是f(x)的图象关于直线y=x对称.证明因为f(f(x))=x,所以点(f(x),x)在函数f(x)的图象上;又(x,f(x))也     

形如μ(ψ(x,y))型到μ(f(x)g(y))型积分因子的充要条件的推广

作者讨论了常微分方程有形如μ(ψ(x,y))型积分因子的充要条件推广到μ(f(x)g(y))型积分因子的充要条件并给出其计算公式.     

关于方程α2(k+2,s(n))=α2(k+1,s(n))+α2(k,s(n))的正整数解

对任意正整数a,设S(a)为a的Smarandache函数,对任意正整数r和b,设a(r,b)是b的前r位数字所组成的数。2001年,Bercze提出了一个问题:如何确定方程a2(k 2,s(n))=a2(k 1,s(n)) a2(k,s(n))n,k∈N的所有解。更进一步,Bercze又提出另一个问题:设β(r,b)是b的后r位数字所组成的数,如何确定2β(k 2,s(n))=β2(k 1,s(n)) β2(k,s(n))的所有正整数解(n,k)。运用丢番图方程的相关知识,完整地解决了Bercze所提出的两个问题,即证明了方程(1)没有正整数解(n,k),同时确定了方程(2)的所有正整数解(n,k)。     

保护(protect)湿地(wetland)

全世界(the whole world)的人们都在想尽一切办法保护湿地。比如(for exampte):设定湿地保护区,清理(clean)河流垃圾(rubbish);在学校操场(ground)、花园(garden)和城市(city)公园(park)挖掘池塘(pond),来创造新的湿地。那么,什么叫湿地呢?我们对沼泽(wetland)、湖泊(lake)、池塘(pond)这些词应该都非常熟悉(familiar)吧,其实湿地就是由沼泽、湖泊、池塘等水域地带组成(compose)的。     

一类线性函数方程Af(x)+Bf(φ(x))=g(x)的求解补注

一类线性函数方程Af(x)+Bf(φ(x))=g(x)在高中数学竞赛中较为常见,以往研究者主要探究了在非奇异(A²-B²≠0)情形下的代换解法,而对于奇异(A²-B²=0)情形没有涉及,本文补充讨论了该函数方程在奇异情形下存在解的必要条件,以及特殊解的构造,并给出了一般解的求解方法与示例.     

中国古代文学(二) 练习(上)

填空 (从略。可参阅<中国古代文学学习指导》中册。)选择1)(挽舟者歌》是一首()的民歌。 (1)隋代(2)初唐(3)中唐(4)晚唐2)卢照邻的《长安古意》是一首()。(l)七言古风边塞诗(2)七言歌行宫体诗(3)七言古风宫体诗(4)七言歌行山水诗3)王勃的《送杜少府之任蜀川》是一首()。(1)乐府诗(2)古风(3)绝句(4)律诗4)张九龄、王翰、王湾都是()。(1)边塞诗人(2)初盛唐之间的诗人 (3)以写律诗著称的诗人 ·(4)盛唐诗人 5)贺知章(咏柳)一诗的主题思想是()。 (1)歌咏春风吹拂的柳树 (2)借柳树歌咏春风 (3)借春风歌咏柳树 (4)借咏柳赞美春夭,借咏春风赞美创造…     

气相反应中的(Kc)不能代替(Ka)

对于气相反应,在运用化学反应等温式时,不能用来(Kc)代替(Ka),而只能用(Kp)代替(Ka).     

方程N‘(t)=r(t)N(t)(1-N(g(t)))α的正解的渐近性

研究时滞Logistic方程N'(t)=r(t)N(t)(1-N(g(t)))α的正解的渐近性,证明了在∫0+∞r(t)dt=+∞,且∫tg(t)r(s)ds≤δ(α/α-1)α-1时方程的每一正解趋于1.     

锰基化合物Mn_(0.95)Co_(0.4)Ni_(0.6)Ge的多级磁相变

通过在MnCo_(0.4)Ni_(0.6)Ge中引入Mn空位得到化合物Mn_(0.95)Co_(0.4)Ni_(0.6)Ge,实现了AFM(TiNiSi)-FM(TiNiSi)-FM(Ni2In)-PM(Ni2In)多级相变;195K时在样品中观察到了从TiNiSi到Ni_2In的结构相变;255K时在样品Mn_(0.95)Co_(0.4)Ni_(0.6)Ge中实现了由顺磁(Ni_2In结构)向铁磁(TiNiSi结构)的结构相变;并且发现在外加磁场30kOe左右时引发场致相变;在195K(ΔB=5T)时产生了-17.8J/(kg·K)的磁熵变(材料制冷能力)。     

m《f(x)/g(x)《n(m《n、g(x)≠0)的等价命题及其应用

不等式ｍ <ｆ(ｘ)ｇ(ｘ) <ｎ(ｍ <ｎ、ｇ(ｘ) ≠ 0 )等价于 [ｆ(ｘ) -ｍｇ(ｘ) ]· [ｆ(ｘ) -ｎｇ(ｘ) ]<0 .证明　 1°若 ｇ(ｘ) >0原不等式等价于ｍｇ(ｘ)<ｆ(ｘ) <ｎｇ(ｘ) ,即 [ｆ(ｘ) -ｍｇ(ｘ) ][ｆ(ｘ) -ｎｇ(ｘ) ]<0 ;2°若ｇ(ｘ) <0原不等式等价于ｎｇ(ｘ) <ｆ(ｘ)<ｍｇ(ｘ) ,即 [ｆ(ｘ) -ｎｇ(ｘ) ][ｆ(ｘ) -ｍｇ(ｘ) ]<0 .综述无论 ｇ(ｘ) >0或 ｇ(ｘ) <0均有ｍ <ｆ(ｘ)ｇ(ｘ) <ｎ [ｆ(ｘ) -ｍｇ(ｘ) ][ｆ(ｘ) -ｎｇ(ｘ) ]<0 .灵活应用上述等价关系解有关问题 ,往往会化繁为简、化难为易 ,起到事半功倍之效 .现举例说明如下 :例…     

刑法学(总论)综合练习(二)

1 填空 1)我国刑罚的目的是为了预防犯罪,表现为( )和( )两个方面。 2)死刑只适用于( )的犯罪分子。 3)死刑用( )的方法执行。 4)我国刑法规定,犯罪的时候不满( )岁的人和审判的时候( )的妇女,不适用死刑。 5)死刑缓期执行的期间,从( )之日起计算;死刑缓期执行减为有期徒刑的刑期,从( )之日起计算。 6)判处罚金,应当根据( )决定罚金数额。 7)对于( )分子,应当附加剥夺政治权利;对于( )的犯罪分子,在必要的时候,也可以附加剥夺政治     

动词(填空)精练(英文)

用括号中所给动词的适当形式填空。 1. The two sisters ______ (not see) each other since the elder sister went to London in 1948. 2. I ______ (do) my homework when Mike came last night. 3. I will return the book to him as soon as he ______ (come) back tomorrow. 4. She usually ______ (wash) her clothes on Sunday. 5. I won’t go to see the film tonight because I ______ (see) it twice. 6. My little sister ______ (finish) middle school half a year ago. 7. My parents will go out with me if they ______ (be) free next Sunday. 8. I do...     

关于函数max(f(x),g(x))的可导性

我们知道,如果函数 f(x)、g(x)在点 x_0连续,则函数 max(f(x),g(x))在点 x_0亦连续。现在要问:如果函数 f(x)、g(x)在 x_0点可导,函数 max(f(x),g(x))是否在点 x_0亦可导呢?下面的定理1和定理2给出了判别函数 max(f(x),g(x))可导的充分条件。定理1 如果函数 f(x)、g(x)在 x_0点可导,且f(x_0)