一道自主招生试题的拓展与研究

上海交通大学2009年自主招生考试数学试题中的第四题为: 求有限集A=｛a1,a2,…,an｝(n≥2),其中,a1,a2,…,an为互不相等的正整数,使得 a1a2…an=a1+a2+…+an. 本文对这一问题进行探讨,并进一步对问题加以拓展和研究.     

从一道自主招生试题的解法谈起

1问题的引出 先看一道2008年复旦大学自主招生试题．     

一道自主招生题的探究

2008年北京大学提前招生数学试题中有如下一道试题．     

一道自主招生试题的解法探究

2013年“北约联盟”（以北京大学为首11所高校组成的自主招生联盟的简称）自主招生考试有这样一道平面几何试题：     

一道高校自主招生数学试题的简解

2011年北京大学等13校自主招生联合考试数学试卷的压轴题为:求f(x)=｜ x-1 ｜+｜ 2x-1 ｜++｜2011x-1｜的最小值.解 当x＜1/2011时,f(x)=（1-x）+(1-2x)+…+(1-2 011x)严格递减,故最小值为f（1/2011）.当x≥1时,f(x)=（x-1）+（2x-1）+…+(2011x-1)严格递增,故最小值为f(1).从而f(x)在（-∞,+∞）上的最小值等于f(x)在[1/2011,1]上的最小值.注意f(x)是[1/2011,1]上的连续分段线性.     

一道北约自主招生试题的深究

正1问题的提出对任意的实数x,y都有f(x+2y/3)=1/3[f(x)+2f(y)],且f(1)=1,f(4)=7,则f(2014)的值是()A.4027 B.4028 C.4029 D.4030这是2014年北约自主招生考试的数学试题.试题以函数方程为载体,考査学生对已知条件的处理及运用,对不少考生而言,有一定的难度.     

自主招生考试中的姊妹题

看到2014年北京大学等学校联合自主招生考试数学试题的最后一题,想到了以前给学生讲过的一道复旦大学自主招生考试题目,两道题可以算是姊妹题．     

2014年华约自主招生考试试题评析

1试题综述 2014年3月1日,涵盖国内26所重点大学的三大高校自主招生联盟“华约”、“北约”和“卓越”笔试同时举行．其中由上海交通大学、中国科技大学、西安交通大学、南京大学、浙江大学、清华大学组成的“华约”笔试被称为“高水平大学自主选拔学业能力测试”（简称AAA测试）．     

一道自主招生试题的探究

这是一道古老的竞赛题,也是2012年北京大学自主招生的压轴题．     

一道复旦大学自主招生试题的解法探究

二元函数最值问题一直是各高校自主招生考试中的重点考查对象,也是学生学习的难点之一,因其灵活多变,备受命题者的关注.本文对2020年复旦大学自招试题的一道给定条件的二元函数最值问题的解法进行了深入的探究,希望给大家启发.     

一道自主招生试题的拓展

纵观2005年、2007年高考卷及2011年的卓越联盟试题,都涉及椭圆内以两条相互垂直的焦点弦为对角线的四边形面积的最值问题.对这类问题进行了深入思考,从而进行推广,得到一般的结论.     

几道清华自主招生数学试题赏析

2005年11月28日，清华大学在华东师范大学二附中举行了面向苏浙沪考生的自主招生考试，这是清华大学首次在京外地区进行自主招生，考试分笔试和面试两部分，笔试试题的难度略难于高考，其中不少试题还是很有意思的，值得玩味．我们下面就其中的几道数学试题做一些分析，愿与读者一起分享．     

一道自主招生考试题的推广

题目设a,b、c∈R＋,且a＋b＋c=1．求证： （1＋1/a）（b＋1/b）（c＋1/c〉≥1000/27． （2008,南京大学自主招生考试） 笔者所见到的证明,过程大都较为繁杂,不易深思．下面是该题的一个推广,从而,顺势获得式的一个简证．     

一道自主招生试题的解法与推广

2014年北京大学等学校联合自主招生试题第3题为： 设函数f（x）满足f（1）=1,f（4）=7,且对任意的a、b∈R,有     

一道“北约”自主招生试题的探究与推广

正题目求证:tan3°是无理数.(2014年北约自主招生数学试题)本题证法较多,但以反证法尤为突出.只要运用有理数的四则运算结果仍然是有理数就可容易完成证明,即a∈Q,b∈Q,则a+b1-ab∈Q.假设tan3°∈Q,则     

一道自主招生试题多种解题思路的思考

[试题](2010年北京大学自主招生考试数学试卷第4题)是否存在x∈(0,π/2),使得sinx,cosx,tanx,cotx为等差数列. [解析]思路一:若存在这样的x,使得sin x,cosx,tanx,cotx为等差数列,则应有     

对一道数学自主招生题的探究

2008年南京大学数学自主招生考试中有这样一道试题：     

对一道自主招生数学试题的推广

2010年浙江大学自主招生数学试题第五题是不等式证明题,笔者通过探索,本题可以进行指数推广,现介绍如下：     

2012年北大等高校自主招生一道论证题的思考

2012年北大等高校自主招生的数学试题和去年相比,在题型上作了一些调整,增加了选择题,减少了主观题的数量,从以往的5道大题变成了6道选择题+3道解答题的形式.从难度上看略高于去年,其特点是运算量不大,有较高的思维     

由一道自主招生试题谈数学归纳法的运用

中国科技大学2009年自主招生考试中有这样一道趣题【1】：问题1 2008个白球和2009个黑球任意排成一列.求证：无论如何排列,都至少存在一个黑球,其左侧（不包括自己）的黑球和白球个数相等（可以为0）.文[1]提供的构造函数的方法很难想到.笔者通过研究发现,题目中的数字不是问题的关键,如果将问题1加强为一个与自然数n有